华中科技大学硕士研究生矩阵论2012年试题

矩阵论2012年试题

一、 填空题：（每个空3分，共27分）

1、设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=i i i i i A 1013122131,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111X ,其中1-=i ，则

______,1=AX .______

1=A 2、设矩阵1000030012-⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P A ，则______;)(dim =A N .______)(λA m 3、矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000a a a a a a A ，则a 满足条件______时，矩阵幂级数∑∞=0k k A 收敛. 4、论矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221132332211A ，则A 的LDV 分解为.______= 5、设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3/10002/10001A ,)sin(A 的Jordan 矩阵______;)sin(=A J .______)sin(lim =∞>-n n A

6、设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=201a A ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=1203B ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的条件是.______≠a 二、（15分）设线性空间3R 上的线性变换T 在基},,{321e e e 下的变换矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332312322

211312

11a a a a a a a a a A ， （1） 求变换T 在基},3,{321e e e 下的变换矩阵.

（2） 求变换T 在基},,{3211e e e e +下的变换矩阵.

三、（15分）设矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000012A （1）求矩阵A 的奇异值分解.

（2）求矩阵A 的P M -广义逆+A .

四、（15分）设⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,011L W 是空间3R 的子空间， （1）求空间3R 上的正交投影变换P ，使得P 的象空间.)(W P R =

（2）求空间3R 的向量T

]3,2,1[=α在投影变换P 下的象. 五、（15分）设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=502613803A ，计算矩阵函数.At e 六、证明题：

（1）（7分）设A 是可逆矩阵，n σ是矩阵A 的最小奇异值，证明

n A σ121

=-

（2）（6分）设矩阵A 和B 都是n 阶方正，证明)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗