原函数与不定积分的概念

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例: 求∫ (x − 2)(x2 + 3)dx. ∫ ∫ 解 : (x − 2)(x2 + 3)dx = (x3 − 2x2 + 3x − 6)dx
= ∫ x3dx − 2∫ x2dx + 3∫ xdx − ∫ 6dx
= 1 x4 − 2 x3 + 3 x2 − 6x + C. 432
8
2.∫[ f (x) ± g(x)]dx =∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
证 : 设∫ f (x)dx = F (x) + C1, ∫ g(x)dx = G(x) + C2,
则[F (x) ± G(x)]′ = f (x) ± g(x)
⇒ ∫[ f (x) ± g(x)]dx = F (x) ± G(x) + C3 ∫ ∫ = f (x)dx − C1 ± ( g(x)dx − C2 ) + C3 ∫ ∫ = f (x)dx ± g(x)dx + C4 (其中C4 = −C1 − C2 + C3).
µ +1
µ +1
(2)µ = −1,由于(ln x )′ = 1 .
x
故∫
1dx x
=
ln
x
+
C.
∫ ⇒
xµ
dx
=
1
µ +1
x
µ
+1
+
C
µ ≠ −1
ln x + C
µ = −1
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2.不定积分的几何意义
设F (x)是f (x)的一个原函数, 那么函数y = F (x)的图形是平面直角坐标系上一条曲线, 称为f (x)的一条积分曲线. 将这条积分曲线沿着y轴方向任意平行移动,就可得到f (x)的无穷多条积分曲线, 它们构成了一个曲线族, 称为f (x)的积分曲线族.
⇒ ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.
∫ ∫ ∫ 推论 : [k1 f (x) ± k2g(x)]dx =k1 f (x)dx ± k2 g(x)dx(其中k1 ≠ 0, k2 ≠ 0)
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3.[∫ f (x)dx]′ = f (x), d[∫ f (x)dx] = f (x)dx.
证 : (1)已知F (x)是f (x)的一个原函数,故F′(x) = f (x). 由(F (x) + C)′ = F′(x) = f (x)以及原函数的定义知 : F (x) + C是f (x)的一个原函数.
(2)设G(x)是f (x)的任意一个原函数,即G′(x) = f (x), x ∈ I. 则[G(x) − F (x)]′ = G′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0, x ∈ I. ⇒ G(x) − F (x) = C, x ∈ I ,即G(x) = F (x) + C, x ∈ I.
2
2
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例: 求函数f (x) = 3sin 3x的不定积分.
解 :由于(− cos 3x)′ = 3sin 3x. 故∫ 3sin 3xdx = − cos 3x + C.
例: 求函数f (x) = xµ的不定积分.
∫ 解 : (1)µ ≠ −1,由于( 1 xµ+1)′ = xµ . 故 xµ dx = 1 xµ+1 + C.
(C为任意常数)称为f (x)的不定积分,记作∫ f (x)dx,即 ∫ f (x)dx = F (x) + C.
其中f (x)称为被积函数, f (x)dx称为被积表达式, x称为积分变量,
C称为积分常数, ∫ 称为积分号(它是一种运算符号).
例: 求函数f (x) = e2x的不定积分.
∫ 解 :由于( 1 e2x )′ = e2x. 故 e2xdx = 1 e2x + C.
⇒ ∫ af (x)dx =aF (x) + C1 = a[∫ f (x)dx − C] + C1 = a∫ f (x)dx − aC + C1
∫ = a f (x)dx + C2 (其中C2 = −aC + C1)
⇒ ∫ af (x)dx =a∫ f (x)dx.
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定理5.1: 若F (x)为f (x)在区间I内的一个原函数,则集合{F (x) + C C ∈ R}是f (x)的 全体原函数构成的集合,其中F (x) + C称为f (x)的原函数的一般表达式.
定理5.1需要证明两个结论 : (1)F (x) + C是f (x)的原函数; (2) f (x)的任一个原函数都可以表示成F (x) + C的形式.
由题意知 : f ′(x) = x + ex.故f (x) = 1 x2 + ex + C. 2
由于该曲线通过点(0,2),故 1 02 + e0 + C = 2. ⇒ C = 1. 2
从而y = f (x) = 1 x2 + ex +1. 2
例:求∫ x
x − 3 + 2 ⋅ 3 x dx. x
∫ ∫ ∫ ∫ 解 : x x − 3 + 2 ⋅ 3 x dx =
这个条件一般称为初始条件, 它可以唯一确定积分常数C的值.
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例: 求函数f (x) = e3x通过点(1,1)的积分曲线.
∫ 解 :由于(1 e3x )′ = e3x ,故y = e3xdx = 1 e3x + C.
3
3
代入初始条件 : y = 1 e3 + C = 1 ⇒ C = 1− 1 e3.
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例 : 求∫ (x +1)3 dx .
∫ 解
:由于
1 4
(x
′
+
1)
4
=
(x
+ 1)3 , 故
(x +1)3 dx = 1 (x +1)4 + C. 4
例 : 求∫ 5(x + 7)6 dx .
∫ 解
:由于
5 7
(x
+
′
7)7
=
5( x
不定积分∫ f (x)dx的几何意义就是一个积分曲线族.
y
该积分曲线族的特点是 :
在横坐标相同的点处, 各积分曲线的切线斜率相等,
且都等于f (x),即各切线相互平行.
在求f (x)的所有原函数F (x) + C中,
x
o
有时需要确定一个满足条件y(x0 ) = y0的原函数,
x
即求通过点(x0 , y0 )的积分曲线.
证 : 设∫ f (x)dx = F (x) + C,则F′(x) = f (x) ⇒ [∫ f (x)dx]′ = [F (x) + C]′ = f (x). 而d[∫ f (x)dx] = d[F (x) + C] = dF (x) = F′(x)dx = f (x)dx.
4.∫ F′(x)dx =F (x) + C, ∫ dF (x) =F (x) + C. 证 :由于[F (x)]′ = F′(x) ⇒ ∫ F′(x)dx = F (x) + C
第五章 不定积分
5.1、原函数与不定积分的概念
对任意给定一个可导函数F (x),则其导函数为F′(x),微分函数为F′(x)dx.
实际问题中, 往往要解决相反的问题 : 对任意给定一个函数f (x),要找出函数F (x)使得F′(x) = f (x)或dF (x) = f (x)dx. 这就是不定积分要解决的问题.
由于∫ dF (x) = ∫ F′(x)dx = F (x) + C.
性质3与性质4说明了不定积分与微分互为逆运算.
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例:已知一曲线经过点(0,2)且在其上任一点(x, y)处的切线斜率等于x + ex , 求曲线的方程.
解 : 设曲线方程为y = f (x).
x=1 3
3
因此所求积分曲线为y = 1 e3x +1− 1 e3.
3
3
例:已知一曲线经过点(2,1)且在其上任一点(x, y)处的切线斜率等于3x,
求曲线的方程.
解 : 设曲线方程为y = f (x),由题意知 : f ′(x) = 3x,故f (x) = 3 x2 + C. 2
由于该曲线通过点(2,1),故 3 22 + C = 1 ⇒ C = −5. 2
从而y = f (x) = 3 x2 − 5. 2
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三、不定积分的基本性质
1.设a是不为零的常数, 那么∫ af (x)dx =a∫ f (x)dx.
证 : 设∫ f (x)dx = F (x) + C,则F′(x) = f (x). 故[aF (x)]′ = af (x).
由定理5.1知 : 只要找到f (x)的一个原函数F (x)就能写出f (x)的原函数的一般表 达式F (x) + C,从而就知道了f (x)的全体原函数,其中C为常数.
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二、不定积分
1.不定积分的定义
定义5.2 : 设F (x)是f (x)的一个原函数,则f (x)的原函数的一般表达式F (x) + C
+
7)6 , 故
5(x + 7)6 dx = 5 (x + 7)7 + C. 7
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例 :已知∫
f
( x)dx
=
1 2
xe − x
+ C,求不定积分∫
x −1 f (x)
dx.
∫ 解 : 在 f (x)dx = 1 xe−x + C两边对x求导数,
2
⇒ f (x) = (1 xe−x + C)′ = 1 (1− x)e−x.
2
2
∫ ∫ ∫ 从而 x −1 dx =
x −1 dx = − 2exdx = −2ex + C.
f (x)
1 (1− x)e−x
2
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−1
−1
∫ 例:已知 f (x)e x dx = xe x + C,求f (x).
例: 设f (x) = cos x, x ∈ I = (−∞,+∞), 则F (x) = sin x为f (x)在(−∞,+∞)内的一个原函数. 显然sin x + 3或sin x + 2也是f (x)在(−∞,+∞)内的一个原函数.
一般地, 对任意常数C,则sin x + C是f (x)在(−∞,+∞)内的一个原函数. 由此可见, f (x)的原函数可以有无限多个. 那么能否找到f (x)的所有原函数?
+1
dx
=
∫
(2x
−
5
+
6 )dx x +1
=
∫
2 xdx
−
5∫
dx
+
6∫
x
1 +
1
dx
= x2 − 5x + 6 ln | x +1| +C .
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∫ 例 : 求 3x exdx .
∫ ∫ 解 : 3x exdx = (3e)x dx = (3e)x + C = (3e)x + C.
xdx − 3
1dx + 2
−2
x 3 dx
=
2
3
x2
−
3 ln
x
+
1
6x3
+
C.
x
x
3
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例 : 求∫
2x2 − 3x +1 dx
x +1
.
解 :由于 2x2 − 3x +1 = 2x − 5 + 6
x +1
x +1
故∫
2x2 − 3x x +1
实际上, 积分与微分是一对互逆运算, 就像加法与减法是一对互逆运算一样.
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一、原函数
定义5.1: 设f (x)是定义在区间I (有限或无限)内的已知函数,如果存在函数 F (x)使得对区间I内任何一点x, 恒有F′(x) = f (x)或dF (x) = f (x)dx, 则称F (x)为f (x)在区间I内的一个原函数.
−1
−1
∫ 解 : 在 f (x)e x dx = xe x + C两边对x求导,
⇒
−1
f (x)e x
−1
=e x
−1
+ xe x (
1
−1
)=e x
−1
+e x
⋅1
x2
x
⇒ f (x) =Байду номын сангаас+ 1 . x
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ln(3e)
1+ ln 3
例 : 求∫ x x x dx.
1
3
解 :由于 x x x = x x ⋅ x 2 = x x 2
31
3
7
71
7
= x(x2 )2 = x ⋅ x4 = x4 = (x4 )2 = x8 .
∫ ∫ ⇒
x
x
x dx =
7
x 8 dx =
8
15
x 8 + C.
15
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