向量的充要条件

一．向量一章的十大充要条件:

⒈三点A 、B 、C 共线的充要条件是//AB AC .根据是两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在的直线平行或重合.

⒉a ∥b 的充要条件是存在不全为零的实数,,R λμ∈使0a b λμ+=.即两个非零向量a ∥b ⇔a b λ= ()0λ≠.

3.两向量()11,x y ∥()22,x y 的充要条件是1221x y x y =.

4.两个向量相等的充要条件是对应的坐标相等.即

()()12112212

,,x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩

⒌两个向量垂直的充要条件是两向量点积为零.即0a b ⋅=.

⒍两向量（x 1,y 1）⊥（x 2,y 2）的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0.

⒎向量a 与向量b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且a 与b 不平行.若坐标形式给出应是12121221

0x x y y x y x y +>⎧⎨≠⎩.

⒏向量a 与向量b 的夹角为钝角的充要条件是0a b ⋅<且a 与b 不平行. 若坐标形式给出

应是12121221

0x x y y x y x y +<⎧⎨≠⎩.

⒐//a b a b a b ⇔=±

⒑三点A 、B 、C 共线的充要条件是OA OB OC λμ=+，且1λμ+=.你能给予证明吗?

二.向量一章十大运算公式

1.中点坐标公式:122x x x +=中,y 中=122

y y +;

2.三角形重心坐标公式: 1233

x x x x ++=重, y 重=1233

y y y ++;

3.若(),a x y =,则2a x =+

4.()

2222a b a a b b +=++; 有时记作 222a b a a b b +=++

5.()2222a b a a b b -=-+;有时记作 22

2a b a a b b -=-+（公式4.与5.这两个公式的“出镜率”很高）

6.

()2222222a b c a b c a b a c b c ++=+++++你还记得导学上有这样一道习题:已知0a b c ++=,且a =3,4b =,c =5,求a b a c b c ++的值.运用该公式很容易求得.

7.cos a b a b θ= （θ为两向量的夹角）;该公式应用时两向量必须要共起点时找夹角.

8. ()11,x y ∥()22,x y ⇔1221x y x y =;

9. （x 1,y 2）⊥（x 2,y 2）⇔x 1x 2+y 1y 2

=0;

10.cos θ=a b

a b =x x y y +

三．向量这两节20道简单易错题:

⒈向量平行具有传递性;注意零向量与任何向量都平行.

⒉两向量夹角的余弦值大于0,则两向量的夹角一定为锐角; 两向量夹角的余弦值小于0,则两向量的夹角一定为钝角;

⒊AB AC BC

-=;两向量相减的差向量是连接两向量的终点,方向指向被减向量.

⒋任何向量与其负向量的和为0;注意：0与0是两个不同的的概念.

⒌所有的单位向量都相等;要记住:模为1的向量称单位向量；相等向量不仅是两个向量模相等，而且两个向量方向也要相同.

⒍正△ABC中,向量AB BC

与的夹角为60°;

⒎向量的点积(数量积、内积)具有结合律;

⒏与向量a平行的单位向量是a

a

;要明白:a

的单位向量与a平行的单位向量概念是不同

的.与向量a 同方向的单位向量称为向量a 的单位向量.

⒐一个向量在另一个向量方向上的投影一定大于0;

⒑向量a 在向量b 方向上的射影是cos b θ； ⒒a b a b 一定等于；

⒓()222a b a b 一定等于；（11.与12.两题说明向量的点积运算与实数的乘法运算是明显不相同的.）

⒔p 为有向线段12p p 的一个定比分点,且有12p p pp λ=,则λ的取值范围是R,对吗?.要记住:若分点P 是内分点时,λ>0;若分点在有向线段12p p 的延长线上,这时λ<-1; 若分点在有向线段21p p 的延长线上,这时-1<λ<0;当

分点p 与起点1p 重合时, λ=0.可以说: λ的内涵丰富.

⒕一个三角形三条边对应的向量的和为0;缺少“顺次首尾连接”,要知道:向量的加法法则是个“蛇形法则”.已知点O 是平行四边形ABCD 内的一点,,,OA a OB b OC c ===,则OD = .

⒖若22a b =,则a b =±.

比如:2220,20a a b b a b -=-=,求得向量a 与b 的夹角为0或π.

16.在△ABC 中,4,1,AB AC S ∆===,

则2AB AC =.

17.若a =3i -4j ,b =2i j -+,则a b +=（2,-2）这道题应写成正交分解的表示形式,即用基本单位向量i 和j 线性组合表示.

18.若()2,3OA =,()6,OB k =-,且OA AB ⊥, 则4k =-.

19.若AB

CD =,则ABCD 四点构成平行四边形.

20.若OA OB AB +=,则三角形AOB 为等腰直角三角形.

四.向量前两节的十个典型习题.

1.若三点P （1,1）,A （2,-4）,B （x,-9）共线,求x 的值.剖析:利用PA ∥PB .引申: 若三点P （1,1）,A （2,-4）,B （x,-9）是三角形的三个顶点,试x 的取值范围.

2.已知()()122,1,0,5,P P -若P 在直线12P P 上,且122PP PP =,试求向量OP 的坐标.剖析: