电子光学重点-电子科技大学
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p1
p2
，莫培督
A [ Pds ] 0
p1
p2
，这种相似性是建立电子光学依据。
·复合场中的高斯轨迹方程：
r '' V '( z ) V ''( z ) B2 ( z) B( z ) r ' r r r B( z ) 0 2V ( z ) 4V ( z ) 8V ( z ) 2 2 2V ( z )
1 2 y 2 z 2 ) e m( x 得能量守恒关系式： 2 ,整理得到如下的轨迹分量式：
z 的 x 方向轨迹方程：
2 2 1/ 2 x' Az Ax d Ay Ax ( x ' y ' 1) y '( ) ( ) 0 2 2 1/ 2 dz x 2 x y x z 2 ( x ' y ' 1)
y
电子在均匀电场中的运动: 轨迹方程： 电子在均匀磁场中的运动： 电子速度垂直于 B
eE 2 z 2 2mvo
运动方程
eE 2 t y 2m z v0 t
RL
mv o v v 1 B o ，f o eB B T 2 R 2
RL
v B 1 2 sin ，f ，h v cos B 2 T B
r 2 0，r '2 1
·旁轴条件： ·复合场中的旁轴轨迹方程：
V ( z )r '' V '( z ) 2 V ( z) r ' V ''( z ) 4 V ( z) r r '2 V ( z )
2
r ' B ( z ) 0 '
,
B( z )
2 2V ( z )
I
，
R
归一化处理：
r P z z ，Z 174 P ro ro 2 r 2 ro
,
d 2R 1 2 2R ， 轨迹方程为： dZ
R dR dR ' ln R R0 ，Z ' 1 dZ ln R R0
R'
·对 R’的讨论:
dR 1 tan dZ 174 P
·电动力学法推导轨迹方程：
①直角坐标系：
mv0 2 mv 2 mv0 2 mv0 2 mv12 e，令 e 0 得 e1 e0 C 2 2 2 2 2
,
有
mv 2 e 0 e e e v 2e 5.932 105 (m / s) m 2 ,有
1 2
2
0
V ( z ir sin a )da
，
③调和级数展开式：
( r, z ) Ck Pk ( r, z z0 ) 其中，C
k 0
k
V ( k ) ( z0 ) k!
( r, z )
k 0
V
(k )
( z0 )
k!
Pk ( r，z - z0 ) 1 2 V ( z0 )[( z - z0 )
·相对论效应下的电子运动方程： dp F e E V B ，有 dt
2 z η r rr r Bz r 2 B r r (1 2 ) E r 2 E 2 E z z γ c c c 2 z r 1 r z r r 2 E r ( 2 )E 2 E z Br B z 2 c r c r r r c z z z 2 r r z Br r B E E ( 1 ) E z r 2 r 2 2 c c c
·比较拉格朗日方程和牛顿方程：
p L q Q
广义动量；
哈：
d L L dt q q
d pi Fi ，牛： dt
L q
广义力
·电子运动和光传播的相似性：
光在媒质中的运动和电子在保守场中的运功具有极大的相似性，表达式为 费马
L [ nds ] 0
时间 t
费马原理推导：
v
i 1
k
si
i
1 k 1 n i si L c i 1 c
t [ c 费马原理数学表达式：
费马原理的具体-斯涅尔定律：
1
p
p2
1
nds ] 0 L [ nds ] 0
p1
p2
n( x) sin 常数
或：n1 sin 1＝n2 sin 2＝＝nk sin k
·比较哈和莫：哈
, t )dt ] 0 A [ L ( q , q
t1
莫
A [ Pds] 0
p1
p2
哈原理适用范围广,莫培督原理只限于静场 哈氏原理需要确定时间和位置，而莫氏原理需要确定位置，且要求总能量守恒 哈密顿原理导出的微分方程是电子运动方程,莫培督原理导出的微分方程为电子轨迹方程。
·轴对称电场 E 的数学表达式（3 种） ：
①幂级数表达式：
( r, z ) ( 1) k
0
1 r 2 k (2 k ) ( ) V ( z) ( k !) 2 2
V ( z)
②积分表达式：
r2 r4 V ( z ) V ( z ) ... 4 64
(r , z )
·哈密顿原理： 每一个力学系统都由一个确定的函数 L(q,dq/dt,t)来表征，在时刻 t1 和 t2 各自具 有广义坐标 q(t1)、q(t2)所确定的位置，它在两个时刻之间的积分：
, t )dt A L ( q, q
t1
t2
取极值的条件是， 变分为 0：
, t )dt ] 0 A [ L ( q , q
P
I U 3/2
P 的物理意义：
（1）表征电子枪给出电流的能力 （2）表征电子枪和电子注空间电荷作用的程度
（3）表征电子枪的结构特点和尺寸大小，同时也是结构参数和电磁参数的连接 桥梁。
·电子注在无场空间的定量分析：
D ，
由高斯定理：
Erds
V
1
dV
，F
eEr ，m -eEr m a r
t1
t2
·莫培督原理：当力学系统能量守恒：T+U=E=const，L＝T-2E,代入
, t )dt A L ( q, q
t1
t2
，有
A
p2 p1
Pds Edt
t1
t2
，ds 为积分弧元，P 代表广义动
L P ， q 量,
A [ Pds]
p1
t2
p2
，使上式为零的表述就是莫培督原理
·空间电荷效应主要表现在三方面：
①电子之间的相互斥力很大，迫使电子注发生横向扩张； ②它使电子注内部的电位降低，电位分布发生显著变化； ③电子注内部的电位可能降到低于阴极电位， 这将限制电子注在管道内的通过能力。 由于空 间电荷效应，电子注内的电子很难在较长距离上保持近乎平行的直线轨迹。
·强流电子光学的几个假设： （1）电子轨迹满足傍轴条件：r2->0 (2) 等动能性 （3）纵向均匀性 （4）层流性 ·导流系数：
c 2/3 a a c a
4/3
P
· 导流系数 P 与枪几何尺寸间的关系：
16 2 1 cos 1 I Va3/2 9 2 [ ]2
·电子光学与几何光学的异同 相似性：1、几何光学的透镜棱镜对应于电子光学中电场和磁场的作用，聚焦偏转成像。 2、几何光学的折射率对应于电子光学的折射率 相异性：1、电子光学折射率由电场决定 2、两者折射率可选的数值相差很大 3、电子光学折射率连续可调，几何光学的与煤质有关 4、光的传播有可逆性，存在磁场时运动与方向有关，不可逆 5、电子轨迹连续变化，必须求解运动方程 6、空间电荷效应的影响
初速为 0 时，电子在正交电磁场中任 意点（经过时间 t）运动方程(摆线方程)为：
x 0 E (1 cos( Bt )) y B2 E E sin( Bt ) z t B B2
,
电子运动方程(轮摆线轨迹)：
(y
E 2 E E ) ( z t )2 ( 2 )2 2 B B B
2
·求对称轴上除鞍点外任一点 zo 附近的等位线形状：
V ( k ) ( z0 ) (r , z ) Pk (r , z z0 ) k ! k 0 展开，略去二次以上高次项：
(r , z ) V ( z0 ) ( z zo )V ( z0 ) ( z zo ) 2 V ( z0 ) / 2 r 2V ( z0 ) / 4
(
Rc ) R
R ( c ) Ra
]4/3
பைடு நூலகம்
0
U U 0 ,
U U a [ z ]4/3 d R ( ) R U U ( ) [ R ] R R U U ( ) R 0 U U 0 x y 平板二级管和无限长、同轴双圆筒二极管中: ， z
，
1 rm ro exp[( tan ) 2 ] 174 P R’=0 的意义：此时，注半径最小，称为注腰：r m，
·二极管沿轨迹的电位分布：
1 d dU (R2 ) 2 R dR dR 2 I 4 R J v 2U
球形二极管沿轨迹的电位分布： J
U Ua[
展开积分得：
Er
Ir I r Er J v 2 2 vR 2 r ，注内电场 2 ,又
ER I 2 vR ，Er I 2 vr
，由注边缘电场可知：
同理，注边缘及注外电场
d 2r P ER 2 4 r 2 2 vR ,得轨迹方程 dz
电子科技大学 - 电子光学
斯涅尔定律的推导、电极图、马鞍面图、在相对论条件下的轨迹推导、光学方 法推导电子轨迹 也是重点
光的传播：同种介质（小孔成像、本影、倒影、日食、月食） ；两种介质（光的 反射、折射）
F d F ( )0 欧拉方程： y dx y
费马原理意义：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。
光源：自身能发光的物质叫光源。 光线：这种假想的带箭头的无粗细的几何线段叫光线，可以形象描述光源 光束：具有一定关系的许多光线的集合叫光束。光束中包括无数条光线，但通常 用两三条光线来描述。 同心光束：光线实际交于一点或延长线交于一点的光束。 平行光束：光束的心在无限远处的同心光束。 像散光束：不相交于一点，且有一定关系的光线集合。 波面：光在传播过程中，具有相同的振动相位的点所组成的面。 在各向同性介质中， 光的传播方向(能量传递方向)总是和波面的法线方向(相位传 播方向)相重合。这时波面就只是垂直于光线的几何平面或曲面。 单心光束 球面波；平行光束 平面波；像散光束 高次波面 物：入射光束的心 像:出射光束的心 实像: 是实际光线的会聚，能成像 于屏，能使底片感光，也可用眼睛直接观察。 虚像: 只能用眼镜直接观察。
轴对称磁场 B 的数学表达式（2 种） ：
·非相对论条件下的电子运动方程： ·光学法推导电子轨迹方程： 费马原理：
mo
dv e(E v B) dt
L [ nds ] 0
p1
p2
斯涅尔定律： n( x) sin 常数
或：n1 sin 1＝n2 sin 2＝＝nk sin k
2
V ( z0 ) ( z - z0 )V ( z0 )
r
2
2
V ( z0 )] ...
r
2
z 0,
0
( r, z )
k 0
V
(k )
(0)
k!
P ( r，z ) V ( 0 ) V ( 0 ) z
k
1 2
V ( 0 )( z
2
) ...
电子速度与 B 有夹角
d 2x e dy dz (Ex Bz B y ) 2 m dt dt dt 2 d y e dz dx ( E y Bx Bz ) 2 m dt dt dt 2 d z e dx dy (Ez By Bx ) 2 m dt dt ·电子在复合电磁场中的运动:， dt
p2
，莫培督
A [ Pds ] 0
p1
p2
，这种相似性是建立电子光学依据。
·复合场中的高斯轨迹方程：
r '' V '( z ) V ''( z ) B2 ( z) B( z ) r ' r r r B( z ) 0 2V ( z ) 4V ( z ) 8V ( z ) 2 2 2V ( z )
1 2 y 2 z 2 ) e m( x 得能量守恒关系式： 2 ,整理得到如下的轨迹分量式：
z 的 x 方向轨迹方程：
2 2 1/ 2 x' Az Ax d Ay Ax ( x ' y ' 1) y '( ) ( ) 0 2 2 1/ 2 dz x 2 x y x z 2 ( x ' y ' 1)
y
电子在均匀电场中的运动: 轨迹方程： 电子在均匀磁场中的运动： 电子速度垂直于 B
eE 2 z 2 2mvo
运动方程
eE 2 t y 2m z v0 t
RL
mv o v v 1 B o ，f o eB B T 2 R 2
RL
v B 1 2 sin ，f ，h v cos B 2 T B
r 2 0，r '2 1
·旁轴条件： ·复合场中的旁轴轨迹方程：
V ( z )r '' V '( z ) 2 V ( z) r ' V ''( z ) 4 V ( z) r r '2 V ( z )
2
r ' B ( z ) 0 '
,
B( z )
2 2V ( z )
I
，
R
归一化处理：
r P z z ，Z 174 P ro ro 2 r 2 ro
,
d 2R 1 2 2R ， 轨迹方程为： dZ
R dR dR ' ln R R0 ，Z ' 1 dZ ln R R0
R'
·对 R’的讨论:
dR 1 tan dZ 174 P
·电动力学法推导轨迹方程：
①直角坐标系：
mv0 2 mv 2 mv0 2 mv0 2 mv12 e，令 e 0 得 e1 e0 C 2 2 2 2 2
,
有
mv 2 e 0 e e e v 2e 5.932 105 (m / s) m 2 ,有
1 2
2
0
V ( z ir sin a )da
，
③调和级数展开式：
( r, z ) Ck Pk ( r, z z0 ) 其中，C
k 0
k
V ( k ) ( z0 ) k!
( r, z )
k 0
V
(k )
( z0 )
k!
Pk ( r，z - z0 ) 1 2 V ( z0 )[( z - z0 )
·相对论效应下的电子运动方程： dp F e E V B ，有 dt
2 z η r rr r Bz r 2 B r r (1 2 ) E r 2 E 2 E z z γ c c c 2 z r 1 r z r r 2 E r ( 2 )E 2 E z Br B z 2 c r c r r r c z z z 2 r r z Br r B E E ( 1 ) E z r 2 r 2 2 c c c
·比较拉格朗日方程和牛顿方程：
p L q Q
广义动量；
哈：
d L L dt q q
d pi Fi ，牛： dt
L q
广义力
·电子运动和光传播的相似性：
光在媒质中的运动和电子在保守场中的运功具有极大的相似性，表达式为 费马
L [ nds ] 0
时间 t
费马原理推导：
v
i 1
k
si
i
1 k 1 n i si L c i 1 c
t [ c 费马原理数学表达式：
费马原理的具体-斯涅尔定律：
1
p
p2
1
nds ] 0 L [ nds ] 0
p1
p2
n( x) sin 常数
或：n1 sin 1＝n2 sin 2＝＝nk sin k
·比较哈和莫：哈
, t )dt ] 0 A [ L ( q , q
t1
莫
A [ Pds] 0
p1
p2
哈原理适用范围广,莫培督原理只限于静场 哈氏原理需要确定时间和位置，而莫氏原理需要确定位置，且要求总能量守恒 哈密顿原理导出的微分方程是电子运动方程,莫培督原理导出的微分方程为电子轨迹方程。
·轴对称电场 E 的数学表达式（3 种） ：
①幂级数表达式：
( r, z ) ( 1) k
0
1 r 2 k (2 k ) ( ) V ( z) ( k !) 2 2
V ( z)
②积分表达式：
r2 r4 V ( z ) V ( z ) ... 4 64
(r , z )
·哈密顿原理： 每一个力学系统都由一个确定的函数 L(q,dq/dt,t)来表征，在时刻 t1 和 t2 各自具 有广义坐标 q(t1)、q(t2)所确定的位置，它在两个时刻之间的积分：
, t )dt A L ( q, q
t1
t2
取极值的条件是， 变分为 0：
, t )dt ] 0 A [ L ( q , q
P
I U 3/2
P 的物理意义：
（1）表征电子枪给出电流的能力 （2）表征电子枪和电子注空间电荷作用的程度
（3）表征电子枪的结构特点和尺寸大小，同时也是结构参数和电磁参数的连接 桥梁。
·电子注在无场空间的定量分析：
D ，
由高斯定理：
Erds
V
1
dV
，F
eEr ，m -eEr m a r
t1
t2
·莫培督原理：当力学系统能量守恒：T+U=E=const，L＝T-2E,代入
, t )dt A L ( q, q
t1
t2
，有
A
p2 p1
Pds Edt
t1
t2
，ds 为积分弧元，P 代表广义动
L P ， q 量,
A [ Pds]
p1
t2
p2
，使上式为零的表述就是莫培督原理
·空间电荷效应主要表现在三方面：
①电子之间的相互斥力很大，迫使电子注发生横向扩张； ②它使电子注内部的电位降低，电位分布发生显著变化； ③电子注内部的电位可能降到低于阴极电位， 这将限制电子注在管道内的通过能力。 由于空 间电荷效应，电子注内的电子很难在较长距离上保持近乎平行的直线轨迹。
·强流电子光学的几个假设： （1）电子轨迹满足傍轴条件：r2->0 (2) 等动能性 （3）纵向均匀性 （4）层流性 ·导流系数：
c 2/3 a a c a
4/3
P
· 导流系数 P 与枪几何尺寸间的关系：
16 2 1 cos 1 I Va3/2 9 2 [ ]2
·电子光学与几何光学的异同 相似性：1、几何光学的透镜棱镜对应于电子光学中电场和磁场的作用，聚焦偏转成像。 2、几何光学的折射率对应于电子光学的折射率 相异性：1、电子光学折射率由电场决定 2、两者折射率可选的数值相差很大 3、电子光学折射率连续可调，几何光学的与煤质有关 4、光的传播有可逆性，存在磁场时运动与方向有关，不可逆 5、电子轨迹连续变化，必须求解运动方程 6、空间电荷效应的影响
初速为 0 时，电子在正交电磁场中任 意点（经过时间 t）运动方程(摆线方程)为：
x 0 E (1 cos( Bt )) y B2 E E sin( Bt ) z t B B2
,
电子运动方程(轮摆线轨迹)：
(y
E 2 E E ) ( z t )2 ( 2 )2 2 B B B
2
·求对称轴上除鞍点外任一点 zo 附近的等位线形状：
V ( k ) ( z0 ) (r , z ) Pk (r , z z0 ) k ! k 0 展开，略去二次以上高次项：
(r , z ) V ( z0 ) ( z zo )V ( z0 ) ( z zo ) 2 V ( z0 ) / 2 r 2V ( z0 ) / 4
(
Rc ) R
R ( c ) Ra
]4/3
பைடு நூலகம்
0
U U 0 ,
U U a [ z ]4/3 d R ( ) R U U ( ) [ R ] R R U U ( ) R 0 U U 0 x y 平板二级管和无限长、同轴双圆筒二极管中: ， z
，
1 rm ro exp[( tan ) 2 ] 174 P R’=0 的意义：此时，注半径最小，称为注腰：r m，
·二极管沿轨迹的电位分布：
1 d dU (R2 ) 2 R dR dR 2 I 4 R J v 2U
球形二极管沿轨迹的电位分布： J
U Ua[
展开积分得：
Er
Ir I r Er J v 2 2 vR 2 r ，注内电场 2 ,又
ER I 2 vR ，Er I 2 vr
，由注边缘电场可知：
同理，注边缘及注外电场
d 2r P ER 2 4 r 2 2 vR ,得轨迹方程 dz
电子科技大学 - 电子光学
斯涅尔定律的推导、电极图、马鞍面图、在相对论条件下的轨迹推导、光学方 法推导电子轨迹 也是重点
光的传播：同种介质（小孔成像、本影、倒影、日食、月食） ；两种介质（光的 反射、折射）
F d F ( )0 欧拉方程： y dx y
费马原理意义：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。
光源：自身能发光的物质叫光源。 光线：这种假想的带箭头的无粗细的几何线段叫光线，可以形象描述光源 光束：具有一定关系的许多光线的集合叫光束。光束中包括无数条光线，但通常 用两三条光线来描述。 同心光束：光线实际交于一点或延长线交于一点的光束。 平行光束：光束的心在无限远处的同心光束。 像散光束：不相交于一点，且有一定关系的光线集合。 波面：光在传播过程中，具有相同的振动相位的点所组成的面。 在各向同性介质中， 光的传播方向(能量传递方向)总是和波面的法线方向(相位传 播方向)相重合。这时波面就只是垂直于光线的几何平面或曲面。 单心光束 球面波；平行光束 平面波；像散光束 高次波面 物：入射光束的心 像:出射光束的心 实像: 是实际光线的会聚，能成像 于屏，能使底片感光，也可用眼睛直接观察。 虚像: 只能用眼镜直接观察。
轴对称磁场 B 的数学表达式（2 种） ：
·非相对论条件下的电子运动方程： ·光学法推导电子轨迹方程： 费马原理：
mo
dv e(E v B) dt
L [ nds ] 0
p1
p2
斯涅尔定律： n( x) sin 常数
或：n1 sin 1＝n2 sin 2＝＝nk sin k
2
V ( z0 ) ( z - z0 )V ( z0 )
r
2
2
V ( z0 )] ...
r
2
z 0,
0
( r, z )
k 0
V
(k )
(0)
k!
P ( r，z ) V ( 0 ) V ( 0 ) z
k
1 2
V ( 0 )( z
2
) ...
电子速度与 B 有夹角
d 2x e dy dz (Ex Bz B y ) 2 m dt dt dt 2 d y e dz dx ( E y Bx Bz ) 2 m dt dt dt 2 d z e dx dy (Ez By Bx ) 2 m dt dt ·电子在复合电磁场中的运动:， dt