5 数形结合谈数轴

5 数形结合谈数轴
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：
1．利用数轴能形象地表示有理数；
2．利用数轴能直观地解释相反数；
3．利用数轴比较有理数的大小；
4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．
例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数． 例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：
则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )．
(湖北省初中数学竞赛选拔赛试题)
(A)b －l (B)2a －6—1
(C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b
解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性．
例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：
试判定b a b a +-，b a b a -+，cb
a c
b a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。

……….
例4(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B
两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有
一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，
|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A、B两点都不
在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，
|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=-b-(-a)=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．
(2)回答下列问题：．
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示
一2和一5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是_______；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果
∣AB∣=2，那么x为______；
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______；
④求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-1997∣的最小值．
．(2002年南京市中考题)
解题思路通过观察图形，阅读理解代数∣a-b∣所表示的意义，
来回答所提出的具体问题．
例5某城镇沿环形路有五所小学，依次为－小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、1l、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：－小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给－小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排?
(湖北省荆州市竞赛题) 解题思路通过设未知数，把调动的电脑总台数用相关代数式表示，解题的关键是，如何将实际问题转化为类似“例4”的问题加以解决．．
A 级
1．已知数轴上表示负有理数Ⅲ的点是点M，那么在数轴上与点
M相距∣m∣个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_______．
(第十五届江苏省竞赛题)
2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那
么A、B两点的距离为______．
3．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则以a－3=______．
4．已知a>0，b<O且以a+b<O，那么有理数a，b，-a，∣b∣的大小关
系是_____________.(用“<”号连接)
(北京市“迎春杯”竞赛题)
5．已知有理数以在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方，
那么( )．
(A)ab<b (B)ab>b (C)a+b>0 (D)a－b>O
6．如图，a、b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b—2a，∣a-b∣,
∣b∣-∣a∣中，负数的个数有( )．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(A)1 (B)2 (C)3 (D))4
7．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，式子|a|+|b|+|a+b||b-c|化简结果为( )．
(A)2a+3b －c (B)3b －c (C)b+c (D)c －b
8．如图所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与
点C 所表示的数最接近的整数是( )．
(A)－l (B)0 (C)1 (D)2
(第十二届“希望杯”邀请赛试题)
9．已知a 、b 、c 、d 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且6∣a ∣=6∣b ∣=3∣c ∣=4∣d ∣=6，求∣3a －2d ∣—∣3b —2a ∣+∣2b －c ∣的值．
10．电子跳蚤落在数轴上的某点K 0，第－步从K 。

向左跳1个单
位到K 1，第二步由K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3
个单位到K 3，第四步由K 3向右跳4个单位到K 4…，按以上规律跳了
100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100。

所表示的数恰是19．94，试求
电子跳蚤的初始位置K 0。

点所表示的数．
B 级
1．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示
则化简|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|的结果为_______．
2．x 是有理数，则|x-
221100∣+∣x+221
95|的最小值是______． 3．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表
示的数是——．
(1998年江苏省竞赛题)
4．若a>0，b<O ，则使∣x －a ∣+∣x-b ∣=a-b 成立的x 的取值
范围是_______．
(1998年武汉市选拔赛试题)
5．如图，直线上有三个不同的点A 、B 、C ，且AB≠BC，那么，到A 、B 、C
三点距离的和最小的点为( )．
(A)B 点 (B)线段AC 的中点 (C)线段AC 外－点 (D)无穷多个
(第十三届“希望杯”邀请赛试题)
6．已知x,y 是有理数，且(∣x ∣—1)2+(2y+1)2=0，那么x+y 的
值是( )． (A)21 (B)23 (C) 21或-23 (D)－1或2
3 7．设y=|x —l|+|x+l|，则下面四个结论中正确的是( )．
(全国初中数学联赛题)
(A)y 没有最小值
(B)只有－个x 使y 取最小值
(C)有限个x(不止－个)使y 取最小值
(D)有无穷多个x 使y 取最小值
8．如图：，数轴上标出若干
个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、
b 、
c 、
d ，且b —2a=9，那么数轴的原点对应点是( )．
(A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点
(“新世纪杯”广西初中数学竞赛题)
9．已知|x+2|+|l —x|=9－|y －5|—|l+y|,求x+y 的最大值和最小值．
(第十五届江苏省竞赛题)
10．某环形道路上顺次排列有四所中学：A 1，A 2，A 3，A 4．它们顺次
有彩电15台，8台，5台，12台，为使各校的彩电数相同，允许－些中学
向相邻中学调出彩电，问怎样调配才能使调出的彩电总台数最少?并求出彩电的最少总台数． (上海市竞赛题)。