(3)_方差分析

单因素方差分析的数学模型
• 作分解：
xij i ij ,i 1,..., r, j 1,..., n 其中，ij N (0, 2 )
相互独立。记：
单因素方差分析的数学模型
＝1 r
r i 1
i ,
总平均值
i i , i 1, , r 对指标的效应
是总平均值，i是水平Ai对指标的效应。
单因素方差分析的数学模型
• 模型为：
xij i＋ij
r
i 0,
i 1
ij N (0, 2 ),i 1,..., r, j 1,...，n
单因素方差分析的数学模型
• 假设检验可改写为：
H 0: 1 2 ... r 0
H1:1，
，
2
r不全等于0
α＝0.01，拒绝H0－－－影响非常显著
返回
小麦产量试验数据 双因素方差分析
化肥
小麦
A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4
B1
173 172 174 176 177 179 172 173
B2
175 173 176 177 174 175 170 171
B3
177 175 174 174 174 173 169 169
方差分析的基本概念
返回
火箭射程试验数据
燃料
A1
推进器
B1
63.2
B2
56.2
B3
60.3
平均
60
A2
59.1 54.1 41.6 51.7
A3
68.1 70.9 39.2 59.3
A4
75.8 58.2 40.7 58.3
平均
66.6 59.9 45.5 57.3
双因素方差分析实例2 ——小麦产量
• 为分析4种化肥和3个小麦品种对小麦产量的影响， 把一块试验田等分成24块，对种子和化肥的每一 组合得到数据如下表，试分析不同品种的化肥和 小麦品种，对小麦产量是否有显著影响？二者的 交互作用对小麦产量是否有显著影响？
灯泡寿命试验数据
工艺
序号
A1
A2
A3
1 2 3 4 5 平均
1620 1670 1700 1750 1800 1708
1580 1600 1640 1720
1635
1460 1540 1620
1540
返回
A4
1500 1550 1610 1680
1585
双因素方差分析实例1 ——火箭射程
• 使用4种燃料，3种火箭推进器进行试验， 得到数据如下表，试分析不同燃料，不同 推进器对射程是否有显著影响？
• 指标：在试验中关心的某种试验结果。
• 因素：试验中要考察的可控制的条件。
水平：因素所处的状态。
指标 因素
水平
单因素
单因素
双因素
双因素方差分析
方差分析实例1 方差分析实例2 方差分析实例1
实例2
劳动生产率
灯泡寿命
火箭射程
小麦产量
工人 工人5水平
生产灯泡的工艺
火箭的推进器 燃料
小麦品种 化肥种类
灯泡工艺4水平
i1 j 1
统计分析
• 进一步分析可得：
ESE r(n 1) 2
r
ESA (r 1) 2
n
2 i
i 1
当H
成立时，
0
ESA (r 1) 2
H 0: 1 2 ... r 0
H1:1，
，
2
r不全等于0
统计分析
当 H0成立时，从数值上看
SA
r 1 SE
2 2 1
r(n 1)
当 H0不成立时，这个值将远远大于1
火 箭 推 进 器 3 水 平 、小麦品种3水平
燃料4水平
化肥种类4水平
单因素方差分析 实例1:劳动生产率
单因素方差分析 实例2:灯泡寿命
双因素方差分析 实例1:火箭射程
双因素方差分析 实例2:小麦产量
单因素方差分析
• 单因素方差分析的实例 • 数学模型 • 统计分析 • 单因素方差分析表
单因素方差分析的数学模型
α ＝0.01，接受H0，但α ＝0.05拒绝H0－－－影 响显著
α ＝0.05，接受H0－－－无显著影响
单因素方差分析的统计分析
• 统计分析： • 记：
xi
1 n
n
xij , xi是第i组数据的平均值
j 1
x 1 r
r
1
i1 xi rn
r i 1
n
xij ,
j 1
总均值
统计分析
• 于是，全体数据对总均值 x 的偏差平方和为：
xij ~ N(i , 2) i 1, , r, j 1, , n
单因素试验数据表
A1 A2
Ar
1 x11 x21
xr1
2 x12 x22
xr 2
n x1n x2n
xrn
单因素方差分析的数学模型
判断A的r个水平对指标有无显 著影响，相当于作以下假设检 验：
H0 : 1 2 r ; H1 : 1, 2, r不全相等
实验2 方差分析
ANalysis of Variance (ANOVA)
方差分析（Analysis of Variance）
• 方差分析的实例和基本概念 • 单因素方差分析 • 双因素方差分析
方差分析（Analysis of Variance）
• 方差分析通常用于多个总体的均值检验。 • 试验数据除了受随机因素的影响之外，还
单因素方差分析的实例1 ——劳动生产率
为考查5名工人的劳动生产率是否相同，记 录了他们每人4天的劳动生产率，试从这个 表格来判断这5人的劳动生产率有无显著差 别？
劳动生产率表格
Worker
Day
A1
A2
A3
A4
A5
1 2 3 4 平均
256
254
250
248
236
242
330
277
280
252
280
290
230
305
220
298
295
302
289
252
269 292.25 264.75 280.5 240
数据间差异 随机误差
ห้องสมุดไป่ตู้
返回
的原因：
个人的劳动生 产率不同
单因素方差分析实例2 ——灯泡寿命
• 用4种工艺生产灯泡，从各种灯泡中抽取了 若干个，测量其寿命，得到如下表格，试 推断用这几种工艺制成的灯泡寿命是否有 显著差异？
受某些其他因素的影响（效应）。 • 方差分析就是要检验哪几个因素所起的作
用是显著的，并且如何估计这些效应。 • 按因素个数的多少，方差分析分单因素方
差分析、双因素方差分析和多因素方差分 析。
进行方差分析的三个假设
➢对于检验的每一个总体，都服从正态分布 ➢每一个总体均有相同的方差 ➢从各总体抽取的是独立样本
rn
S
(xij x )2
i1 j1
对总偏差平方和S进行分解，得：
S SA SE , 其中
r
SA
i 1
n( xi
- x)2 组间平方和：各组均值对总均值的偏差平方
和。也称因素A的效应平方和。
rn
SE
(xij - xi )2
组内平方和：各组内的数据对该组均值的偏 差平方和。也称误差平方和。