信号与系统第1章

( ) ∑∞
X ejω = x(n)e−jωn
n=0
属于l1空间x(n)将是非周期的时间序列。
若上式是能量有限的傅里叶变换。显然X(ejω)也是ω的
连续函数
∞
∞
∑ ∑ X(ejω+2π ) = x(n)e−j(ω+2π)n = e− j2πn x(n)e−jωn = X(ejω )
n = −∞
n = −∞
∫ ∫ Ex =
∞ x(t) 2 dt = 1
−∞
2π
∞ X(jΩ) 2 dΩ
−∞
16
例2
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
• 令x(t)是例1中周期矩形信号的一个周期，其傅里叶 变换
∫ X(jΩ) = τ 2 Ae−jΩtdt = Aτ sin(Ωτ / 2)
−τ 2
Ωτ / 2
• 由于x(t)是实的偶信号，所以X(jΩ)也是实的，它是
∞
e jnTΩ
n = −∞
, T = 2π Ω0
(**)
• (*)和(**)这一对关系式称为“Poisson和公式”
20
二、傅里叶变换的几种形式
1. 非周期连续时间信号的傅里叶变换FT
∫ X( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
∫ x(t) = 1 ∞ X(jΩ)ejΩtdΩ
2π −∞
结论：
13
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
三、FS和FT的区别与联系（续）
• 周期信号x(t)的功率：
∫ ∫ ∑ ∫ Px
=
1 T
T 2 x(t) 2 dt = 1 T 2 x(t)x*(t)dt
−T 2
=1 T
T2ห้องสมุดไป่ตู้−T 2
x(t
⎡ )⎢⎣k
T −T 2
∞
X(kΩ
= −∞
0
)e
jkΩ
0t
⎤ ⎥⎦
*
dt
e jΩ0t
+ e− jΩ0t 2
⇔
X(jΩ) = π[δ(Ω + Ω0 ) + δ(Ω − Ω0 )]
• （4）复正弦集合
∞
∞
∑ ∑ x(t) = ejkΩ0t ⇔ X(jΩ) = 2π δ(Ω − kΩ0 )
k =−∞
k =−∞
∞
• 式中 ∑ δ(Ω − kΩ0 ) 是频域的冲激串序列。
k =−∞
kΩ0
24
4
第1章 离散傅里叶变换
二、傅里叶变换的几种形式（续）
3. 非周期离散时间信号的傅里叶变换DTFT
§1－2 DTFT 返回DFS
x(n)
∞
∑ X(ejω ) = x(n)e−jωn n = −∞
∫ x(n) = 1 π X(ejω )ejωndω
2π −π 结论：
时域的离散信号造成频域的周期谱。 时域的非周期性造成频域的连续谱。
X(ejω)⎯ω的连续函数，周期的，周期为2π。
22
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
四、几个常用周期信号的傅里叶变换（续）
• （5）时域冲激串序列（续）
∞
p(t) = ∑ δ(t − nT)
n = −∞
∑ ∑ ∞ δ(t − nT) = 1
∞
e jkΩ0t
n = −∞
T k =−∞
,
Ω0
=
2π T
频域的sinc函数，如图
X(jΩ)
1
0.5
Ω
-20
-10 -2π/τ 0 2π/τ 10
20 14
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
三、FS和FT的区别与联系（续）
• 直接求解周期信号x(t)的傅里叶变换：
∫ ∑ X(jΩ) =
∞ −∞
⎡ ⎢⎣
k
∞
X(kΩ
= −∞
0
)e
jkΩ
0t
⎤ ⎥⎦e
−
jΩt
dt
∑ ∫ =
∞
X(kΩ0 )
∞ e j(Ω−kΩ0 )tdt
−∞
k =−∞
∫∞ e±jxydx = 2πδ(y) −∞
∞
∑ X(jΩ) = 2π X(kΩ0 )δ(Ω − kΩ0 ) k =−∞
• 一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为Ω0 的冲激序列（Drac函数）所组成，这些冲激序列的 强度等于相应的傅里叶系数乘以2π。这样的离散频 谱又称为“线谱”。
8
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
• 例1 图(a)是一周期矩形信号
x(t)
A
（a） …
…
-T
-τ/2 0 τ/2
T
t
• 显然，它满足x(t)在一个周期内能量是有限的及
Dirichlet条件。其傅里叶系数
∫ X(kΩ0 )
=
1 T
τ 2 Ae− jkΩ0tdt
−τ 2
∫ eatdt = 1 eat a
二、连续非周期信号的傅里叶变换
• 设x(t)是一连续时间信号，若x(t)属于L2空间，即
∫∞ x(t) 2 dt < ∞ −∞
那么，x(t)的傅里叶变换存在，并定义为
∫ X ( jΩ ) = ∞ x(t )e − jΩtdt −∞
其反变换是
∫ x(t) = 1 ∞ X(jΩ)ejΩtdΩ
2π −∞
式中Ω＝2πf为角频率，单位是rad/s。X(jΩ)是Ω的连续 函数，称为信号x(t)的频谱密度函数，或称为频谱。
4
考核方式：
• 平时占30%－－作业、课堂作业、实验 • 期末占70%－－闭卷考试
三、特点
• 精度高 • 灵活性高 • 可靠性好 • 易大规模集成 • 时分复用 • 可获高性能指标 • 易实现二维和多维处理
2
5
绪论
一、概貌
两个基本
学科分支：
理论基础：
数字 滤波
LSI系统理论
IIR数字滤波器 FIR数字滤波器
∫ ∫ x(t) = ejΩ0t ⇔ X(jΩ) =
e∞ jΩ0t
−∞
⋅
e− jΩtdt
−∞
=
2πδ(Ω
−
Ω
0
)
• （2）实正弦
x(t) = sin Ω0t =
e jΩ0t
− e− jΩ0t 2j
⇔
X(jΩ) =
jπ[δ(Ω + Ω0 ) − δ(Ω − Ω0 )]
• （3）实余弦
x(t) = cos Ω0t =
∫T 2 x(t) 2dt < ∞ −T 2
那么，可将x(t)展成傅里叶级数，即
∞
∑ x(t) = X(kΩ0 )ejkΩ0t
k =−∞
式中X(kΩ0)是傅里叶系数，其值应是有限的，且有
∫ X(kΩ0 )
=
1 T
T 2 x(t)e− jkΩ0tdt
−T 2
X(kΩ0)代表了x(t)中第k次谐波的幅度。
18
3
第1章 离散傅里叶变换
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
四、几个常用周期信号的傅里叶变换（续）
• （5）时域冲激串序列
∞
p(t) = ∑ δ(t − nT) n = −∞
• p(t)－冲激串序列。p(t)是周期的，周期为T，将其展
成傅里叶级数，有
∞
∞
∑ ∑ p(t) = δ(t − nT) = P(kΩ0 )ejkΩ0t
9
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
• 例1 （续）
• X(kΩ0)是一离散的sinc函数，如图(b)所示，图中τ＝ 0.2T，T＝1，A＝5。
X(kΩ0) 1
0.5
（b）
Ω0
-15 -10 -5
0
5
10
周期矩形信号的傅里叶系数
k 15
12
2
第1章 离散傅里叶变换
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
第1章 离散傅里叶变换
数字信号处理
计划学时数：54学时（3学分） 主讲教师：沈小艳 电子信箱：xyshen@dlmu.edu.cn 联系电话：15840689155 QQ：525975387
1
二、系统的组成
xa(t) 前置预
滤波器
A/D x(n) 数字信号 y(n) D/A
变换器
处理器
变换器
模拟 y(t) 滤波器
二、傅里叶变换的几种形式（续）
2. 周期连续时间信号的傅里叶变换FS
∫ X(kΩ0 )
=
1 T
T 2 ~x(t)e− jkΩ0tdt
−T 2
∞
∑ ~x(t) = X(kΩ0 )ejkΩ0t k =−∞
§1－2 DTFT
x(t)
t X(kΩ0)
结论：
时域的连续函数造成频域的非周期谱。 时域的周期性造成频域的离散谱。
n = −∞
k =−∞
• 其中傅里叶系数
∫ • 于是有
P(kΩ0
)
=
1 T
T 2 δ(t)e− jkΩ0tdt = 1
−T 2
T
∑ ∑ ∞ δ(t − nT) = 1
∞
e jkΩ0t
n = −∞
T k =−∞
,
Ω0
=
2π T
(∗)
19
§1－2 DTFT
一、DTFT的定义（续）
• 对任一序列x(n)，只要它属于l1空间，就可以用前面 的方法来定义它的DTFT，即
= A ⋅ 1 ⋅ e− jkΩ0t τ 2
T − jkΩ0
−τ 2
= Aτ sin(kΩ0τ 2) T kΩ0τ 2
• X(kΩ0)是一离散的sinc函数，如图(b)所示。
11
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
一、连续周期信号的傅里叶级数
设x(t)是一个周期信号，其周期为T，若x(t)在一个周 期内的能量是有限的，即
∑ ∫ =
k
∞
X*
= −∞
(kΩ
0
)⎢⎣⎡
1 T
T2 −T 2
x(
t
)e
−
jkΩ
0t
dt
⎤ ⎥⎦
∞
∞
∑ ∑ = X*(kΩ0 )X(kΩ0 ) = X(kΩ0 ) 2
k =−∞
k =−∞
∫ ∑ Px
=
1 T
T 2 x(t) 2 dt
−T 2
∞
= X(kΩ0 ) 2
k =−∞
• 对能量信号x(t)采用同样的方法可以导出：
∫T 2
x(t) dt < ∞
−T 2
10
第一章 离散傅里叶变换
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换 §1－2 离散时间信号的傅里叶变换DTFT §1－3 连续时间信号的抽样（时域抽样定理） §1－4 离散时间周期信号的离散傅里叶级数 §1－5 离散傅里叶级数的性质－DFS §1－6 离散傅里叶变换DFT §1－7 离散傅里叶变换的性质 §1－8 频域抽样定理 §1－9 离散傅里叶变换的应用 §1－10 正弦信号的抽样
Ｈ(ejω)⎯ω的连续函数，周期的，周期为2π。
由序列z变换的定义，可得到
H(ejω ) = H(z) z=ejω 若希望Ｈ(ejω)存在，那么H(z)的收敛域应包含单位圆，即
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ H(ejω ) = h(n)e−jωn ≤ h(n)e−jωn = h(n) < ∞
n=0
n=0
n=0
若h(n)的Ｈ(ejω)存在，那么h(n)一定属于l1空间。 21
时域的连续函数造成频域的非周期谱。 时域的非周期性造成频域的连续谱。
§1－2 DTFT x(t) t X(jΩ) Ω
23
§1－2 离散时间信号的傅里叶变换DTFT
一、DTFT的定义
设h(n)为一LSI系统的单位抽样响应，该系统的频率响
( ) ∑ 应为
∞
H ejω = h(n)e− jωn
DTFT
n=0
DFT
频谱 FFT
分析 统计的频谱分析
数字逼近问题 综合问题
（结构、字长）
具体的软件、 硬件的实现
频谱分析仪 的实现
3
本课程讲授的内容
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第7章 第8章
离散时间信号的傅里叶变换 数字滤波器的基本结构（自学） 快速傅里叶变换 FIR数字滤波器设计 希尔伯特变换 离散随机信号 多抽样率信号处理
(∗)
• 代入傅里叶变换定义式：
∫ ∫ ∑ ∑ P(jΩ) =
∞ p(t)e−jΩtdt =
−∞
∞ ⎡1 −∞ ⎢⎣ T
∞
e
jkΩ
0
t
⎤ ⎥e
−
jΩt
dt
k =−∞
⎦
=
2π T
∞
δ(Ω − kΩ0 )
k =−∞
• 同理，频域的冲激串序列也可展成傅里叶级数：
∑ ∑ ∞
δ(Ω
k =−∞
−
kΩ0 )
=
1 Ω0
n X(ejω)
ω
取样频率fs与取样周期T的关系：fs=1/T 取样角频率： Ωs=2π/T 取样数字频率：ωs=2π 25
§1－2 DTFT
二、傅里叶变换的几种形式（续）
4. 周期离散时间信号的DFS（续） x(n)
结论：
n
时域的离散信号造成频域的周期谱。 时域的周期性造成频域的离散谱。
T TP=NT
X(k)
T：取样周期（时间分辨率） F：频率间隔（频率分辨率） fs：取样频率 TP：时域观察时间
• X(kΩ0)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大 小，而X(jΩ)是频谱密度的概念。
• 从量纲上看， X(jΩ)等于谐波幅度X(kΩ0)除以频率，
显见，它是频谱密度的概念。
15
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
四、几个常用周期信号的傅里叶变换
• （1）单个复正弦
∞ e± jxydx = 2πδ(y)
6
1
第1章 离散傅里叶变换
参考书：
• 《数字信号处理教程》程佩青，清华大学 • 《离散时间信号处理》奥本海姆，高教 • 《数字信号处理》胡广书，清华大学
7
§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
一、连续周期信号的傅里叶级数（续）
• 并非任一周期信号都可展成傅里叶级数。将周期信号 x(t)展成傅里叶级数，除了要满足x(t)在一个周期内的 能量是有限的条件外，x(t)还需满足如下的Dirichlet条 件： ¾ 在任一周期内有间断点存在，则间断点的数目应是 有限的； ¾ 在任一周期内极大值和极小值的数目应是有限的； ¾ 在一个周期内应是绝对可积的，即
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§1－1 连续时间信号的傅里叶变换
三、傅里叶级数FS和傅里叶变换FT的区别与联系
• 两者的区别：
傅里叶级数X(kΩ0) 周期信号
傅里叶变换X(jΩ) 非周期信号
在一个周期内能量有限
在整个时间区间内能量 有限
系数X(kΩ0)是离散的 X(jΩ)是Ω的连续函数
• FS与FT二者的物理含义不同，因而量纲不同。