chapter6 傅里叶级数和傅里叶积分变换

d ( x)dx 1
sin nx (a) x
(b)
n

e
n2 x2
1 (c ) 1 n2 x2
n
狄 拉 克 函 数
Delta function & Heaviside function

x

1, x 0 d ( x )dx H ( x ) 0, x 0
x
H '( x) d ( x)

∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a)
1 ， d ( x) 2 1 2 1 e i x d 2

变换性质
1 2
d ( x)

d ( x )e i x dx

应用：单缝的Fraunhofer 衍射
傅立叶变换

例题1
1, | t | 1 2 rect (t ) 1 0, | t | 2 1 X ( ) exp(i t ) x(t )dt 2 sin T1 1 T1 exp(i t )dt 2 T1
• 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。 • 解：
f (t )


h sin T


exp(i t )d

例题3:求对称指数函数f(t)的傅立叶变换
1
f (t ) e
t
F ( )

2 2
傅立叶变换的性质

一般假定

f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) f ’(x) → iωF(ω)；
把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率， 函数值为对应的振幅。 把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。 分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪； 记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。

应用意义


物理意义


物理实现

傅立叶变换: 非周期函数的傅立叶展开

问题：

把定义在（－∞，∞）中的非周期函数 f (x)展开； 把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞；

思路：


实施：

展开公式
f ( x)


n
cn exp(i
n x ) L
1 展开系数： cn 2L

L
L
exp(i
http://wenku.baidu.com/link?url=XOszsQGeRVRTQqMRghVBFEE_40mDpQNw4Mc3uq02ppouVeGqrVnMrC201 WG7AfojqqYboSQspgoPtfFeJ2ZD8ZFkd04MSHCp0-dA7k2hCMK
狄拉兊函数的应用



基本函数族
• 组成：1，cos(nπx/l)， sin(nπx/l) • 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；

l
l l
l
n m x cos xdx ld n ,m l l n m sin x sin xdx ld n ,m l l cos

l
l
n m cos x sin xdx 0 l l
F (k )
1 ( 2 ) 2

e
i k r
f ( r )dr
课前练习
L[ Dirac (t )] ? L[ Dirac (t ) f (t )] ? F [ Dirac (t )] ? L[ Dirac (t ) f (t )] ?
狄拉兊函数

其它形式的三角函数正交完备集
2 3 n 1, cos( x 1 ), cos( x 2 ), cos( x 3 ),..., cos( x n ),... l l l l

2 3 n 1, sin( x 1 ), sin( x 2 ), sin( x 3 ),..., sin( x n ),... l l l l
http://wenku.baidu.com/link?url=XOszsQGeRVRTQqMRghVBFEE_40mDpQNw4Mc3uq02ppouVeGqrVnMrC201 WG7AfojqqYboSQspgoPtfFeJ2ZD8ZFkd04MSHCp0-dA7k2hCMK
应用：矩形小孔的Fraunhofer 衍射


T1


例题2:将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。
• 解：先求出 f (t) 的傅立叶变换
1 F ( ) 2 1 2



exp(i t ) f (t )dt
T
T
exp(i t )hdt
h sin T
代入傅立叶积分公式，得

相似性质


卷积性质


对称性质

傅立叶变换 应用举例
rect ( x) sin 1 /( ) 2
h rect ( x) h sin 1 /( ) 2
rect '( x) i sin 1 / 2
rect ( x a) e ia sin 1 /( ) 2

..., e
i
n x l
,...1, e
i x l

,e
i
2 x l
,e
i
3 x l
,..., e
i
n x l
,...
傅立叶级数的复数形式
f ( x)

n
cn exp(i
n x )， L
n x ) L
基本函数族： exp(i
nZ
正交性：

L
L
x m x exp(i n ) exp( i L L ) dx 2 Ld n , m
n x ）f L
( x)dx
困难
• 展开系数 cn 为无穷小； • 幂指数 nπx/L 不确定。

解决方法：


公式的新形式：

把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 展开公式： f ( x)

n
描述功能

位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为mδ(x-a)； 位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为qδ(x-a)； 位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为Iδ(t-a)； 质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series#/media/File:Fourier_series_and_transform.gif
傅立叶变换的意义

数学意义


从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射； f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。
空间周期性
傅里叶生平


1768年生于法国 1807年提出“任何 周期信号都可用正弦 函数的级数表示” 1822年发表“热的 分析理论”，首次提 出“任何非周期信号 都可用正弦函数的积 分表示”
傅立叶级数
1 2
n n a0 n 1 (an cos x bn sin x) l l
nm 0
傅立叶级数
1 2
1 l n 1 l n an f ( x) cos xdx, bn f ( x) sin xdx l l l l l l

n n a0 n 1 (an cos x bn sin x) l l

狄利克雷收敛定理
• 收敛条件 • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； • 在一个周期内至多只有有限个极值点。 • 收敛结果 • 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； • 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。
H '( x) d ( x)
Dirac function
>> syms x >> laplace(dirac(x)) ans = 1
>> fourier(dirac(x)) ans = 1
狄拉兊函数

性质

奇偶性质

δ(-x)=δ(x)， δ’(-x)=-δ’(x)

分析性质
1, x 0 d ( x )dx H ( x ) 0, x 0 选择性质
F ( n ) exp(i n x) n
exp(i n x) f ( x)dx

1 展开系数：F ( n ) 2


L
L
取极限：
1 • 傅立叶变换：F ( ) 2
傅立叶积分：f ( x)


exp(i x) f ( x)dx



F ( ) exp(i x)d

奇偶虚实性


Hale Waihona Puke Baidu线性性质


分析性质


x

f ( x) dx i1 F ( )
傅立叶变换的性质

位移性质

f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ； exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
f(ax) → F(ω/a)/a； f(x/b)/b → F(bω) 。 f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)； f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 正变换与逆变换具有某种对称性； 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。
rect ( x) rect ( x) rect ( )rect ( x )d
2 (1 | x |)rect( x / 2) 2 sin 2 1 /( ) 2

傅立叶变换：推广

推广1



问题：把定义在 [0, ∞) 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为(-∞,∞)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换； 注意： 偶函数满足条件f’(0)=0，形式为 f(|t|)； 奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|). 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。
1 F ( ) 2



exp(i t ) f (t )dx
f (t )



F ( ) exp(i t )d
傅立叶变换：推广2


问题：多元函数的傅立叶变换 公式：
f ( x, y )


F ( k x , k y )e
2
i ( k x x k y y )
问题：质点的密度函数如何表示？ 思路




一般定义
质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限； 极限密度为δ(x)=lim h→∞ h rect(hx)
, x 0 d ( x) 0 , x 0
数学物理方法
第六章 傅里叶级数和积分变换


6.1傅立叶级数 6.2傅立叶积分变换 6.3 d函数及其傅里叶积分变换
时域函数
original signal 3 2 1 0 -1 -2 -3 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
shift fft transform 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
1 展开系数： cn 2L

L
L
exp(i
n x )f L
( x)dx
思考题
一个以2l为最小周期的函数，利 用最小周期和其他任意周期做傅 里叶展开结果是否相同？
结论：完全相同。多余频率 对于振幅为零。 T=4π: ω=n2π/4π=0,1/2,1,3/2,2,..
T=2π: ω=n2π/2π=0,1,2,3,..
Fourier series square wave circles animation
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif
Fourier transform time and frequency domains
dk x dk y
F (k x , k y )
1 ( 2 )



e
i ( k x x k y y )
f ( x, y )dxdy
令r xi yj , k k x i k y j
f (r )

ik F ( k )e r dk