沪教版(上海)数学高一下册-6.3 三角函数(1) 教案

三角函数（1）
●知识梳理
1.三角函数的性质和图象变换.
2.三角函数的恒等变形.
三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查.
3.三角函数与其他数学知识的联系.
特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.
【例1】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值. 解：由已知得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②
①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα 所以sin αcos β=
3013，cos αsin β=30
7.
【例2】若实数、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .
（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab ab ；
（3）已知函数()f x 的定义域k D=x|x +k Z x R 24
ππ｛≠，∈，∈｝.任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
解析：(1) (,2)( 2.)x ∈-∞+∞；
(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b ab ab +>222a b ab ab ab +> 因为33222|2|2()()0a b ab ab a b ab ab ab a b a b +--+-=+->，
所以3322|2|2a b ab ab a b ab ab +->+-，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ；
(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44
x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈-+⎪⎩， 性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π
=，
3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ-单调递增，在区间[,)224
k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为2(
,1]．
【例3】在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B .
（1）求∠C 的度数；
（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围.
解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ，
∴2sin C cos 2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2
B A -. 在△AB
C 中，－
2π＜2B A -＜2π. ∴cos 2B A -≠0.∴2sin 22
C cos 2C =cos 2C ， （1－2sin 22C ）cos 2
C =0. ∴（1－2sin 2
2C ）=0或cos 2C =0（舍）. ∵0＜C ＜π，∴∠C =2
π. （2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC
的内切圆半径 r =
21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－2
1≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤
212-.
【例4】函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ，
（1）求g （a ）；
（2）若g （a ）=
2
1，求a 及此时f （x ）的最大值. 解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）
=2cos 2x －2a cos x －1－2a =2（cos x －2
a ）2－22
a －2a －1. 若2
a ＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时，
f （x ）有最小值
g （a ）=2（－1－2
a ）2－22
a －2a －1=1； 若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2
a 时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1； 若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2
a ）2－22
a －2a －1=1－4a .
∴g （a ）=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a a a a a a （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =2
1. 由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122
222a a a a =－1或a =－3（舍）. 由⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +
21）2+21，得f （x ）max =5. ∴若g （a ）=
2
1，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。