复数的三种表示形式

复数的三种表示形式
复数的三角形式
复数的极坐标形式
复数的指数形式
复数的三角形式
y
bi
r Z
Z a bi
b r sin
r 其中，
a b , cos
2 2
a r
,

a r cos
sin
b r
,
x
任何一个复数z＝a＋bi 都可以表示成 z=r(cosθ＋isinθ)的形式。 我们把r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式。
2.3
复数的三种表示形式
通过前面的学习，我们知道在电工学关于交流电的 研究中，电流、电压等物理量都可用正弦型函数来描述， 但是解题时的计算过程却相当复杂。当复数用三角形式 表示后，处理这类问题就变得十分简捷，从而确立了复 数在交流电研究中的地位。
在电工学中，正弦交流电的电压为 u U m sin t u ， 而复数 U t U m co s t i U m sin t 的虚部恰好 是电压的表达式，因此可考虑利用复数的运算法则进行正弦 交流电的有关计算。
3
解：
3 2
(co s 1 5 0 i sin 1 5 0 )


3 2 3 2 3 2
(co s
i 5π 6
5π 6
i sin
5π 6
)
e
5π 6
例2 把复数 0.78e 解：
0 .7 8e
i 23π
i 23π
表示为三角形式和极坐标形式。
2π 2π 0 .7 8 co s( ) i sin ( ) 3 3 0 .7 8 2π 3
的模是3，辐角是

分析：因为 z 3

2
解：
z 3
π 2

2
3[cos(
) i sin(

2
)]
3 (cos

2
i sin

2
)
3( 0 i )
3i
复数的指数形式
根据欧拉公式 e cos i sin ，任何一个复数 z=r(cosθ＋isinθ) 都可以表示成
式。 解： 不是复数的三角形式。
z 2 (cos
2 ( cos
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4
4
i sin
i sin

4
4
)
)
2 [cos(

4
i sin(

4
)]
2 (cos
5 4
i sin
5 4
)
复数的极坐标形式
如图所示，设复数 z＝a＋bi 的模为r，辐 角为θ，则复数z＝a＋ bi 还可以用 z r 来表 示，此时 a = r cosθ，b ＝rsinθ。
2π 3
） 表示成代
解：
（cos 2
2π 3
i sin
2π 3
）
2 [cos(
2 ( cos
1 2

3
) i sin(
i sin
3 2

3
)]

3

3
)
2(

i)
1
3i
例3 复数
z 2(cos
π 4
i sin
π 4
)
是不是复
数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi 叫 做复数的代数形式。
例1 将复数
解： 因为
r
3 i
表示成三角形式。
，b＝1，所以
a rg
a
3
( 3 ) 1 2，
2


6
3 i

π 6
即
3 i 2 (cos

6
i sin
)
2 例2 将复数 （cos 数形式。
2π 3
i sin
我们把
z r
称为复数的极坐标形式。
例1 将复数 解： 因为
z
z
3 i
3i
r
用极坐标形式表示出来。
的模 辐角 所以
( 3 ) ( 1)
2
2
2
2

6

11 6
z 2
1 1π 6
例2 将复数
z 3
π 2 π 2
化为三角形式和代数形式。
z re
i i
的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式。
其中r为复数的模，底数e＝2.71828…为无理数，幂 指数中的i为虚数单位，θ为复数的辐角，单位为弧度。 例如：
2 (cos 5 6 i sin 5 6

7
)
i
5 6
2e
i
cos

7
i sin

7

e
(cos150 i sin150 )表示为指数形式 例1 把复数 和极坐标形式。 2