【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：15 二次函数的应用(22张ppt,含13年试题)
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第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这
种水果80千克的钱，现 在可买88千克列出关于x的一元一次方程， 解方程即可； (2)①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将(25，165)，(35，55)代入，运用待定系
数法即可求出y与x之间的函数关系式；
[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情况讨 论，建立函数关系式，在不同的情况下，必须注意自变量的取
值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最值解决问题．
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第15课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价 格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月 能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满 足一次函数关系． (1)试求y与x之间的函数关系式；
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第15课时┃ 二次函数的应用
因此当点 A 与 A′重合时，△ABC 的周长最小． 这时由作法可知：BB′＝20， ∴B′C＝ 202＋102＝10 5，∴L＝10 5＋10.
因此当△ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形， 最小周长为 10 5＋10.
考点聚焦
归类探究
考点聚焦 归类探究 回归教材
图15－2
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为W元，根据利润＝ 销售收入－进货金额得到W关于x的函数关系式为W＝－11(x－ 30)2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得
80(a＋2)＝88a， 解之得 a＝20. 答：现在实际购进这种水果每千克 20 元． (2)①∵y 是 x 的一次函数，设函数关系式为 y＝kx＋b， 将(25，165)，(35，55)分别代入 y＝kx＋b，得
解决实际问题 建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转 化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等 知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
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第15课时┃ 二次函数的应用
归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度： 1．利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题；
2 ．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
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第15课时┃ 二次函数的应用
例3 [2013· 聊城 ]已知在△ABC中，边BC的长与BC (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并 求出面积为48时BC的长； (2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ (3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？ 如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在， 请给予说明．
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第15课时┃ 二次函数的应用
－1，－ 15 4 .
∴C
∵点 C 关于原点的对称点为 D， 15 1， ∴D 点的坐标为 4 . 15 则 CE ＝DF ＝ ， 4 1 1 1 S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝ OB ·DF ＋ OB ·CE ＝ ×4 2 2 2 × 15 1 15 ＋ ×4× ＝15， 4 2 4 ∴△BCD 的面积为 15 平方米．
பைடு நூலகம்
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第15课时┃ 二次函数的应用
过点 A 作直线 l 平行于 BC， 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′， 连接 B′C 交直线 l 于点 A′，再连接 A′B，AB′，A′B′， 则由对称性得：A′B′＝A ′B，AB ′＝AB， ∴A′B＋A ′C＝A′B ′＋A′C＝B′C. 当点 A 不在线段 B ′C 上时，则由三角形三边关系可得： L＝AB ＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B ′C＋BC， 当点 A 在线段 B′C 上时，即点 A 与 A ′重合，这时， L＝AB ＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B ′C＋BC，
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
探究二
二次函数在营销问题方面的应用
第15课时
二次函数的应用
第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点一 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型， 这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题． 考点二 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象
考点聚焦
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第15课时┃ 二次函数的应用
解
(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x变
化的关系式为y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自变量x 的取值范围是0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000
＝－10(x－5)2＋6250.
因此当x＝5时，y取得最大值为6250元．
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图 形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用 条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、 全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公
式等等来寻求等量关系，构造出二次函数，再利用二次函
命题角度：
二次函数在销售问题方面的应用．
考点聚焦
归类探究
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第15课时┃ 二次函数的应用
例2 [2013· 盐城 ]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一 种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现 原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数 关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为 多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收 入－进货金额)
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第15课时┃ 二次函数的应用
解得k＝－11，b＝440，
∴y＝－11x＋440.
②设最大利润为W元，则
W＝(x－20)(－11x＋440)
＝－11(x－30)2＋1100.
∴当x＝30时，W最大值＝1100.
答：将这种水果的销售单价定为30元时， 能获得最大利润1100元．
(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关
系式为y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量x的取值范围是 0≤x≤20，
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第15课时┃ 二次函数的应用
∴y＝－20x2＋100x＋6000 ＝－20(x－2.5)2＋6125. 因此当x＝2.5时，y取得最大值为6125元． (3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件， 其利润y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250元．
边上的高的和为20.
图15－3
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第15课时┃ 二次函数的应用
1 1 解：(1)依题意得：y＝ x(20－x)＝－ x 2＋10x(0<x<20)， 2 2 1 解方程 48＝－ x 2＋10x，得 x 1＝12，x 2＝8， 2 ∴当△ABC 的面积为 48 时，BC 的长为 12 或 8. 1 1 (2)由(1)得 y＝－ x 2＋10x＝－ (x－10)2＋50， 2 2 ∴当 x＝10 即 BC＝10 时，△ABC 的面积最大，最大面积是 50. (3)△ABC 的周长存在最小的情形，理由如下： 由(2)可知△ABC 的面积最大时，BC＝10，BC 边上的高也为 10，
图15－1
S△BOD＋S△BOC求出面积即可．
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4， ∴B(4，0)， 1 把 B 点坐标代入解析式得 16a－4＝0，解得 a＝ . 4 (2)过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F， 1 1 ∵a＝ ，∴y＝ x 2－4. 4 4 令 x＝－1， 1 15 ∴m＝ ×(－1)2－4＝－ ， 4 4
数的性质即可求解．
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第15课时┃ 二次函数的应用
回 归 教 材
如何定价利润最大 教材母题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市 场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10
件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为
每件40元，如何定价才能使利润最大？
2 ．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
例1 [2013· 哈尔滨 ]某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽 度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对
称轴为y轴建立如图15－1所示的平面直角坐标系，设坐标原
点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题， 这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后 利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利 润最大问题． 探究三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及最 大面积，最小距离等；
第15课时┃ 二次函数的应用
(1)求a的值； (2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对 称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
解 析 (1)根据y轴为抛物线的对称轴，
AB＝8，可得B(4，0)，把B点坐标代入抛物
线解析式即可求得a的值； (2)根据(1)求得a的值，求出解析式，把C点 坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原 点 对 称 求 出 D 点 坐 标 ， 然 后 根 据 S△BCD ＝
(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每
月的最大利润是多少？
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)由题意，可设 y＝kx＋b，把(5，30000)，(6，20000)代入
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－10000x＋80000. (2)设利润为 W，则 W ＝(x－4)(－10000x＋80000) ＝－10000(x－4)(x－8)＝－10000(x 2 －12x＋32) ＝－10000[(x－6)2－4]＝－10000(x－6)2＋40000. 所以当 x＝6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元． 答：当销售价格定为 6 元时， 每月的利润最大， 每月的最大利润为 40000 元．
第15课时┃ 二次函数的应用
解 析 设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这
种水果80千克的钱，现 在可买88千克列出关于x的一元一次方程， 解方程即可； (2)①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
将(25，165)，(35，55)代入，运用待定系
数法即可求出y与x之间的函数关系式；
[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情况讨 论，建立函数关系式，在不同的情况下，必须注意自变量的取
值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最值解决问题．
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第15课时┃ 二次函数的应用
中考预测 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价 格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月 能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满 足一次函数关系． (1)试求y与x之间的函数关系式；
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第15课时┃ 二次函数的应用
因此当点 A 与 A′重合时，△ABC 的周长最小． 这时由作法可知：BB′＝20， ∴B′C＝ 202＋102＝10 5，∴L＝10 5＋10.
因此当△ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形， 最小周长为 10 5＋10.
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图15－2
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为W元，根据利润＝ 销售收入－进货金额得到W关于x的函数关系式为W＝－11(x－ 30)2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)设现在实际购进这种水果每千克 a 元，根据题意，得
80(a＋2)＝88a， 解之得 a＝20. 答：现在实际购进这种水果每千克 20 元． (2)①∵y 是 x 的一次函数，设函数关系式为 y＝kx＋b， 将(25，165)，(35，55)分别代入 y＝kx＋b，得
解决实际问题 建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转 化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等 知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
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归 类 探 究
探究一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度： 1．利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题；
2 ．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
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例3 [2013· 聊城 ]已知在△ABC中，边BC的长与BC (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并 求出面积为48时BC的长； (2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ (3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？ 如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在， 请给予说明．
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第15课时┃ 二次函数的应用
－1，－ 15 4 .
∴C
∵点 C 关于原点的对称点为 D， 15 1， ∴D 点的坐标为 4 . 15 则 CE ＝DF ＝ ， 4 1 1 1 S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝ OB ·DF ＋ OB ·CE ＝ ×4 2 2 2 × 15 1 15 ＋ ×4× ＝15， 4 2 4 ∴△BCD 的面积为 15 平方米．
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第15课时┃ 二次函数的应用
过点 A 作直线 l 平行于 BC， 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′， 连接 B′C 交直线 l 于点 A′，再连接 A′B，AB′，A′B′， 则由对称性得：A′B′＝A ′B，AB ′＝AB， ∴A′B＋A ′C＝A′B ′＋A′C＝B′C. 当点 A 不在线段 B ′C 上时，则由三角形三边关系可得： L＝AB ＋AC＋BC＝AB′＋AC＋BC＞B ′C＋BC， 当点 A 在线段 B′C 上时，即点 A 与 A ′重合，这时， L＝AB ＋AC＋BC＝A′B′＋A′C＋BC＝B ′C＋BC，
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
探究二
二次函数在营销问题方面的应用
第15课时
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第15课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点一 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型， 这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题． 考点二 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象
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解
(1)设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y随x变
化的关系式为y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，自变量x 的取值范围是0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000
＝－10(x－5)2＋6250.
因此当x＝5时，y取得最大值为6250元．
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方法点析 构造二次函数在几何图形中的应用，主要是求几何图 形的面积最大值的问题，求解这类问题，只要能充分运用 条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如勾股定理、 全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公
式等等来寻求等量关系，构造出二次函数，再利用二次函
命题角度：
二次函数在销售问题方面的应用．
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第15课时┃ 二次函数的应用
例2 [2013· 盐城 ]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一 种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现 原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克． (1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数 关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为 多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收 入－进货金额)
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解得k＝－11，b＝440，
∴y＝－11x＋440.
②设最大利润为W元，则
W＝(x－20)(－11x＋440)
＝－11(x－30)2＋1100.
∴当x＝30时，W最大值＝1100.
答：将这种水果的销售单价定为30元时， 能获得最大利润1100元．
(2)设每件降价x元，每星期售出商品的利润y随x变化的关
系式为y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量x的取值范围是 0≤x≤20，
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第15课时┃ 二次函数的应用
∴y＝－20x2＋100x＋6000 ＝－20(x－2.5)2＋6125. 因此当x＝2.5时，y取得最大值为6125元． (3)每件售价60元(即不涨不降)时，每星期可卖出300件， 其利润y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为65元时，一周能获得最大利润6250元．
边上的高的和为20.
图15－3
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1 1 解：(1)依题意得：y＝ x(20－x)＝－ x 2＋10x(0<x<20)， 2 2 1 解方程 48＝－ x 2＋10x，得 x 1＝12，x 2＝8， 2 ∴当△ABC 的面积为 48 时，BC 的长为 12 或 8. 1 1 (2)由(1)得 y＝－ x 2＋10x＝－ (x－10)2＋50， 2 2 ∴当 x＝10 即 BC＝10 时，△ABC 的面积最大，最大面积是 50. (3)△ABC 的周长存在最小的情形，理由如下： 由(2)可知△ABC 的面积最大时，BC＝10，BC 边上的高也为 10，
图15－1
S△BOD＋S△BOC求出面积即可．
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解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4， ∴B(4，0)， 1 把 B 点坐标代入解析式得 16a－4＝0，解得 a＝ . 4 (2)过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F， 1 1 ∵a＝ ，∴y＝ x 2－4. 4 4 令 x＝－1， 1 15 ∴m＝ ×(－1)2－4＝－ ， 4 4
数的性质即可求解．
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回 归 教 材
如何定价利润最大 教材母题 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市 场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10
件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为
每件40元，如何定价才能使利润最大？
2 ．利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
例1 [2013· 哈尔滨 ]某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽 度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对
称轴为y轴建立如图15－1所示的平面直角坐标系，设坐标原
点为O.已知AB＝8米，设抛物线解析式为y＝ax2－4.
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第15课时┃ 二次函数的应用
方法点析 二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题， 这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后 利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利 润最大问题． 探究三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及最 大面积，最小距离等；
第15课时┃ 二次函数的应用
(1)求a的值； (2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对 称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
解 析 (1)根据y轴为抛物线的对称轴，
AB＝8，可得B(4，0)，把B点坐标代入抛物
线解析式即可求得a的值； (2)根据(1)求得a的值，求出解析式，把C点 坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原 点 对 称 求 出 D 点 坐 标 ， 然 后 根 据 S△BCD ＝
(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每
月的最大利润是多少？
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)由题意，可设 y＝kx＋b，把(5，30000)，(6，20000)代入
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－10000x＋80000. (2)设利润为 W，则 W ＝(x－4)(－10000x＋80000) ＝－10000(x－4)(x－8)＝－10000(x 2 －12x＋32) ＝－10000[(x－6)2－4]＝－10000(x－6)2＋40000. 所以当 x＝6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元． 答：当销售价格定为 6 元时， 每月的利润最大， 每月的最大利润为 40000 元．