2.1.曲线的参数方程PPT课件
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人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2
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29
【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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30
即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的
t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,
得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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7
【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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5
【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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6
2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
2018人教B版数学选修4-4课件2.1 曲线的参数方程最新版
曲线,则称①式为该曲线的参数方程.
1234
【做一做 1-1】
若点 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2 + cos������, sin������
(������为参数)
上任意一点, 则 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值为____________.
解析:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
π 3
,
而②无解,故点
A
在方程的曲线上,
而点 B 不在方程的曲线上.
1234
3.参数的取值范围
在参数方程中,应明确参数 t 的取值范围= =
������(������), ������(������)
来说,
如果������的取值范围不同,
它们表示的曲线可能是不相
变量t的函数
������ ������
= =
������(������), ������(������)
(������≤t≤b).①
如果对于t的每一个值(a≤t≤b),①式所确定的点M(x,y)都在一条曲
线上;而这条曲线上的任一点M(x,y),都可由t的某个值通过①式得
到,那么称①式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数. 简单地说,若t在a≤t≤b内变动时,由①式确定的点M(x,y)描出一条
1234
【做一做 2】化参数方程
������ ������
= =
1234
【做一做 1-1】
若点 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2 + cos������, sin������
(������为参数)
上任意一点, 则 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值为____________.
解析:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
π 3
,
而②无解,故点
A
在方程的曲线上,
而点 B 不在方程的曲线上.
1234
3.参数的取值范围
在参数方程中,应明确参数 t 的取值范围= =
������(������), ������(������)
来说,
如果������的取值范围不同,
它们表示的曲线可能是不相
变量t的函数
������ ������
= =
������(������), ������(������)
(������≤t≤b).①
如果对于t的每一个值(a≤t≤b),①式所确定的点M(x,y)都在一条曲
线上;而这条曲线上的任一点M(x,y),都可由t的某个值通过①式得
到,那么称①式为该曲线的参数方程,其中变量t称为参数. 简单地说,若t在a≤t≤b内变动时,由①式确定的点M(x,y)描出一条
1234
【做一做 2】化参数方程
������ ������
= =
2.1 正则参数曲线
y f ( x), z g ( x)
x(t0 ) 0.
和隐式方程
F ( x, y, z ) 0, G( x, y, z ) 0.
梯度矩阵秩为2
这些方程可以化为参数方程.
(习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)
储亚伟
课外作业： 习题 2，4.
储亚伟
微分几何
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储亚伟
例2.圆柱螺线的参数表示：
a 0. r (t ) (a cos t , a sin t , bt ), t R.. 其中 a , b 是常数，
例3.曲线 r (t ) (a cos t , a sin t ,0), t (0, 4 ) 与曲线
r (t ) (a cos 2t , a sin 2t ,0), t (0, 4 ) 同像不同长.
r(t ) (3t 2 , 2t ), r(0) 0.
x
图2-3
O
参数方程的连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念.
储亚伟
二、正则曲线
3.注记
注1.在一段曲线上 r(t ) 0, 则 r (t ) 为常向量.反之，若在 t 0 处
r (t ) 0, 则由 r (t ) 的连续性，在 t 0 附近， r (t ) 0, 故奇点总是孤立的.
无奇点的 C 3 类曲线称为正则(参数)曲线.
将参数增大的方向称为曲线的正向.
r (t ) C 3 , 3 上述定义与 E 中直角坐标系的选取无关. r (t ) 正则 注： | r (t ) | 0.
储亚伟
二、正则曲线
2.实例
例3.开椭圆弧 r (t ) (a cos t , b sin t ,0), t (0, 2 ) 是正则曲线，因
x(t0 ) 0.
和隐式方程
F ( x, y, z ) 0, G( x, y, z ) 0.
梯度矩阵秩为2
这些方程可以化为参数方程.
(习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)
储亚伟
课外作业： 习题 2，4.
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例2.圆柱螺线的参数表示：
a 0. r (t ) (a cos t , a sin t , bt ), t R.. 其中 a , b 是常数，
例3.曲线 r (t ) (a cos t , a sin t ,0), t (0, 4 ) 与曲线
r (t ) (a cos 2t , a sin 2t ,0), t (0, 4 ) 同像不同长.
r(t ) (3t 2 , 2t ), r(0) 0.
x
图2-3
O
参数方程的连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念.
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二、正则曲线
3.注记
注1.在一段曲线上 r(t ) 0, 则 r (t ) 为常向量.反之，若在 t 0 处
r (t ) 0, 则由 r (t ) 的连续性，在 t 0 附近， r (t ) 0, 故奇点总是孤立的.
无奇点的 C 3 类曲线称为正则(参数)曲线.
将参数增大的方向称为曲线的正向.
r (t ) C 3 , 3 上述定义与 E 中直角坐标系的选取无关. r (t ) 正则 注： | r (t ) | 0.
储亚伟
二、正则曲线
2.实例
例3.开椭圆弧 r (t ) (a cos t , b sin t ,0), t (0, 2 ) 是正则曲线，因
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
参数方程ppt课件演示文稿
＋( 10cos α)t＋32＝0，设 M、N 对应的参数分别为 t1、t2，而由参数 t 的几何意义得|PM|
(t 为
参数)．
思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数 k 有困难， 可通过两式相除，先降低 k 的次数，再运用代入法消去 k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2 ＝1＋sin 2θ 消去 θ；对于(3)可运用恒等式(11－＋tt22)2＋(1＋2t t2)2＝1 消去 t.
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的 消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数 的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．
【例 2】 (2010 年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线 C 的方程 y2＝3x2－2x3，设 y＝tx，t 为 参数，求曲线 C 的参数方程．
4．直线
l
的参数方程为x＝t＋3 y＝3－t
，(参数
t∈R)，圆
C
的参数方程为x＝2cos y＝2sin
θ θ＋2
(参
数 θ∈[0,2π))，则圆心到直线 l 的距离为________．
解析：参数方程化为普通方程分别为 l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2) 到直线的距离 d＝ 4 ＝2 2.
y 解：(1)两式相除，得 k＝2yx，将其代入，得 x＝1＋3·22yxx2， 化简得所求的普通方程是 4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得 y2＝2－x.又 x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为 y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由(11－ ＋tt22)2＋(1＋2tt2)2＝1，得 x2＋4y2＝1， 又 x＝11－＋tt22≠－1，得所求的普通方程是 x2＋4y2＝1(x≠－1)．
高中数学人教A版选修第二讲参数方程一曲线的参数方程课件
导入新课
某救援飞机给灾区投放救援物，已 知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的 速度作水平直线运动，为事救援物准确 落于灾区指定地面，飞行员应如何确定 投放时机呢？
y
由物理知识可知，物资投 A 出机舱后的运动轨迹如图，
V=100m/s
.M
它是这两种运动的合成：
O
X
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线 C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
导入新课
上节课我们学习了参数方程 的概念，也了解参方程和普通 方程的同异之处.现在大家来想 想：圆心在原点半径为r的圆， 我们用什么样的参数方程去表 示它呢？
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT) 高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的
(t ), (t )
求出唯一对应x,
y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
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某救援飞机给灾区投放救援物，已 知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的 速度作水平直线运动，为事救援物准确 落于灾区指定地面，飞行员应如何确定 投放时机呢？
y
由物理知识可知，物资投 A 出机舱后的运动轨迹如图，
V=100m/s
.M
它是这两种运动的合成：
O
X
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线 C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
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解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
导入新课
上节课我们学习了参数方程 的概念，也了解参方程和普通 方程的同异之处.现在大家来想 想：圆心在原点半径为r的圆， 我们用什么样的参数方程去表 示它呢？
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(t ), (t )
求出唯一对应x,
y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
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高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
返回
在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
返回
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
返回
1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
返回
[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
(t 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
返回
[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
答案：D
返回
4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程
因为 θ∈ 0,
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
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2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
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思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
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o
x 2021
5
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
解 ： 物 资 出 舱 后 ， 设 在 时 刻 t， 水 平 位 移 为 x，
500
垂 直 高 度 为 y， 所 以
2021
9
例1:
已知曲线C的参数方程是
x3t,
y
2t2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解， 因此M2不在曲线C上。
在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立
y
平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，
y轴经过点A.
A
记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资
的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，
y表示物资距地面的高度。
由于水平位移量x与高度y 是两种不
同的运动得到的，因此直接建立x,y
o
x 所2021要满足的关系式并不容易。4
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组
的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
2021
7
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
ห้องสมุดไป่ตู้
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
解得：t=2,a=9
∴a=9 2021
6
a
3t, 2t 2
1.
10
训练1：
1、曲线
x
1t2
(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y4t 3
A、（1，4）；B、( 12
5 6
, 0 );
C、(1, 3);
D、 ( 2 5 , 0 ) ; 16
2、方程 yxcsions(为参数）所表示的曲线上一点的坐标是
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
高二数学 选修4-4
一.曲线的参数方程
高二数学 选修4-4
23.01.2021
第二讲
郑2平02正1 制作
参数方程
1
1.参数方程的概念
2021
2
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
（ D）
A、（2，7）；B、( 1 , 2 ) ; 33
C、(
1 2
,
1 2
);
D、（1，0）
2021
11
训练2：
已知曲线C的参数方程是
xy1at22.t,(t为参数,aR)
点M(5,4)在该 曲线上.
（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
1+2t=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x 1 5t
y
2 12t
x 1 5t
所以，点M的轨迹参数方程为
y
2 12t
参数方程求法: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y) （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义,
建立点P坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就2是021 所由于的曲线的方程 13
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f ( t ) ,
y
g (t).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样
3.在实际问题中要确定参数的取值202范1 围
8
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
500
（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得: t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得:
y
(
x
1
2021
)
2
,
(x1)24y为 所 1求 2 .
2
思考题：动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
x 100t,
y
500
1 2
g t 2 .（g=9.8m/s2)
令 y 0, 得t 10.10s.
o
x 代 入 x 1 0 0 t,得 x 1 0 1 0 m .
所 以 ， 飞 行 员 在 离 救 援 点 的 水 平 距 离 约 为 1 0 1 0 m 时 投 放 物 资 ，
可 以 使 其 准 确 落 在 指 定 位 置 . 2021