塞瓦定理及应用

第二章 塞瓦定理及应用

【基础知识】

塞瓦定理 设A '，B '，C '分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若AA '，BB '，

CC '三线平行或共点，则

1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''． ①

证明 如图2-1（b ）、（c ），若AA '，BB '，CC '交于一点P ，则过A 作BC 的平行线，分别交BB '，

CC '的延长线于D ，E ，得

,CB BC AC EA

B A AD

C B BC

''==

''． A′

B'

C '

A

B P

P

C

B

A

A′

B'

C '

D E

C

B

A

A′

B'

C '

D E (c)

(b)(a)

图2-1

又由

BA A P A C AD PA EA '''==，有BA AD

A C EA

'=

'． 从而1BA CB AC AD BC EA A C B A C B EA AD BC '''⋅⋅=⋅⋅='''．

若AA '，BB '，CC '三线平行，可类似证明（略）． 注 （1）对于图2-1（b ）、（c ）也有如下面积证法： 由：

1PAB PBC PCA

PCA PAB PBC

S S S BA CB AC A C B A C B S S S '''⋅⋅=⋅⋅='''△△△△△△，即证． （2）点P 常称为塞瓦点．

（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证． 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理．

如图2-1（b ）、（c ），分别对△ABA '及截线C PC '，对△AA C '及截线B PB '应用梅涅劳斯定理有

1BC A P AC CA PA C B ''⋅⋅=''，1A B CB AP

BC B A PA ''⋅⋅=''

．

上述两式相乘，得

1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''． 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理．

如图2-2，设A '，B '，C '分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，且A '，B '，C '三点共线．令直线BB '与CC '交于点X ，直线C C '与AA '交于点Y ，直线AA '与BB '交于点Z ．

C

B

A

A′

B'

C 'X

Y Z

X

Y

Z C

B

A

A′

B'

C '

图2-2

分别视点C '，A '，B '，C ，A ，B 为塞瓦点，应用塞瓦定理，即

对△BCB '及点C '（直线BA ，CX ，B A ''的交点），有

1BA CA B X

A C A

B XB ''⋅⋅=''． 对△CA

C '及点A '（直线CB ，AY ，C B ''的交点），有1CB AB C Y

B C BC YC ''⋅⋅=''．

对△ABA '及点B '（直线AC ，BZ ，A C ''的交点），有1AC BC A Z

C B CA ZA ''⋅⋅=''． 对△BBC '及点C （直线BA '，B A '，C X '的交点），有1BX B A C A

XB A C AB '''⋅⋅='''．

对△CC A ''及点A （直线CB '，C B '，A Y '的交点），有1CY C B A B

YC B A BC '''⋅⋅='''．

对△AA B ''及点B （直线AC '，A C '，B Z '的交点），有1AZ A C B C

ZA C B CA '''⋅⋅='''．

上述六式相乘，有2

1BA CB AC A C B A C B '''⎛⎫

⋅⋅= ⎪'''⎝⎭

． 故

1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''． 塞瓦定理的逆定理 设A '，B '，C '分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若

1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''， ②

则AA '，BB '，CC '三直线共点或三直线互相平行．

证明若AA '与BB '交于点P ，设CP 与AB 的交点为1C ，则由塞瓦定理，有

111AC BA CB A C B A C B ''⋅⋅=''，又已知有1

11AC BA CB A C B A C B ''⋅⋅=''，由此得11AC AC C B C B '='，即1AC AC AB AB

'=

，亦即1AC AC '=，故1C 与C '重合，从而AA '，BB '，CC '三线共点． 若AA BB ''∥，则

CB CB B A BA '=''．代入已知条件，有AC A C

C B CB

''=

'，由此知CC AA ''∥，故 AA BB CC '''∥∥．

上述两定理可合写为：设A '，B '，C '分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则三直线AA '，

BB '，CC '平行或共点的充要条件是

1BA CB AC A C B A C B

'''

⋅⋅='''． ③

第一角元形式的塞瓦定理 设A '，B '，C '分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则三直线AA '，BB '，CC '平行或共点的充要条件是

sin sin sin 1sin sin sin BAA ACC CBB A AC C CB B BA

'''

⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．

④ 证明 由sin sin ABA AA C S BA AB BAA A C S AC A AC ''''

⋅==

''⋅△△∠∠，sin sin CB BC CBB B A AB B BA ''⋅=''⋅∠∠，sin sin AC AC ACC C B BC C CB ''⋅=''⋅∠∠，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立．

第二角元形的塞瓦定理 设A '，B '，C '分别△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，O 是不在△ABC 的三边所在直线上的点，则AA '，BB '，CC '平行或共点的充要条件是

sin sin sin 1sin sin sin BOA AOC COB A OC C OB B OA '''⋅⋅='''∠∠∠∠∠∠．

⑤

证明 注意到塞瓦定理及其逆定理，有 1BOA COB AOC A OC B OA C OB

S S S BA CB AC A C B A C B S S S '''

''''''=

⋅⋅=⋅⋅

'''△△△△△△ sin sin sin sin sin sin BO BOA CO COB AO AOC CO A OC AO B OA BO C OB

'''

⋅⋅⋅=

⋅⋅

'''⋅⋅⋅∠∠∠∠∠∠． 由此即证得结论．

注 在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1．特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上．④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆．

推论 设1A ，1B ，1C ，分别是△ABC 的外接圆三段弧BC ，CA ，AB 上的点，则1AA ，1BB ，1CC 共点的充要条件是