2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A
试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)
命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷
说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．
2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答
题作废．
一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)
a m
b ==r r
，则当m = 时，
向量
a b
⊥r r ．
2．
(,)(2,0)
sin()
lim
x y xy y →= ．
3．设区域D 为
22y x +≤
x 2，则二重积分
D
d σ=⎰⎰ ．
4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具
有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)L
P x y dx Q x y dy
+⎰与路径无关，则(,),(,)
P x y Q x y 应满足条
件 ．
5． 当p 时，级数21
1p
n n +∞
=∑收敛．
二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）
1．直线221:314
x y z L -+-==
-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．
A ．直线L 与平面π平行；
B ．直线L 与平面π垂直；
C ．直线L 在平面π上；
D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．
2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．
A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100
(,)y dy f x y dx
⎰
⎰
．
A ．1
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰； B ．1
1
(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．1
1
(,)x dx f x y dy ⎰⎰；
D ．11
(,)x
dx f x y dy ⎰⎰
4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1
884n n n
n B ．
∑∞
=-1
884n n n
n C ．
∑∞
=+1
824n n n
n
D ．
1
248n n
n n ∞
=⨯∑．
5
．级数1...-++
A. 发散
B. 绝对收敛
C. 条件收敛
D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2
每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin u
z e v
=，而u xy =，v x y =- 求x
z ．
2．设22(,tan())
u f x y xy =
-，其中f 具有一阶连续偏导数，求y
z ． 3．求旋转抛物面2
21
z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方
程及法线方程． 4．计算 2
2
D
x d y σ⎰⎰
，其中D 是由直线y x =．2x =和曲
线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L
⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．
6．计算2
2()(sin )L
x
y dx x y dy
--+⎰，其中L 是上半圆周
y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．
7．将函数1()3
f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑
++⎰⎰，其中∑为
1x y z ++=，0,x =
y =，0z =所围立体的外侧．
9．求抛物面2
2
z x
y =+到平面10x y z +++=的最短距离．
2009 至 2010 学年度第 2 期
高等数学（下）课程试题A 参考答案
试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银
一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1
-； 2. 2； 3. π； 4.
y P ∂∂=x
Q ∂∂； 5.
1
2
p >
二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，
1~2
每题7 分，3~9每题8 分）．
1．
z z u z v
x u x v x
∂∂∂∂∂=+
∂∂∂∂∂
……4分
sin cos u u ye v e v
=+
(sin()cos())
xy e y x y x y =-+-
……7分 2．
2212()(tan())y y u
f x y f xy y
∂''''=⋅-+∂ …
…4分
2122sec ()()y
yf f xy xy '''=-+
2122sec ()
yf xf xy ''=-+
……7分 3． 令2
2(,,)1F x y z x
y z
=+--，则
法
向量(2,2,1)
n x y =-r
，
(2,1,4)
(4,2,1)
n
=-r ……3分
在点(2,1,4)
处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0
x y z -+---=．
即
4260
x y z +--=． (6)
分
法
线方程为
214
421
x y z ---==-． ……8分 4．
2
2D
x d y
σ⎰⎰
2
2
1
21
x
x
x dx dy y
=
⎰
⎰
……4分
2
21/11(
)x x
x dx
y
=-⎰
……6分
2
31()x x dx =-⎰
32
2
1
11(
)42
x x =-94
=
……8分
5．令cos ,sin x a y a θθ==，则
sin ,cos x a y a θθ
''=-=，
ds θ=ad θ
= ……3分
20
a L
e ad π
θ
=⎰⎰ ……
6分
＝
2a
ae π ……8分
6．2
P x
y
=-，1P y ∂=-∂ ，2
(sin )Q x y =-+，1Q x
∂=-∂ ， ……
4分
(
)0D
D
Q P
I dxdy dxdy x y
∂∂=
-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分
=
……8分 7．
11
36(3)
x x =
++-
11
3
616
x =
-+ ……4分 当3
16
x -<，即 39
x -<<时，
13x +013
()66
n
n x +∞=-=-∑ ……8分
8． ⎰⎰∑
++zxdxdy yzdzdx xydydz
=
()x y z dxdydz Ω
++⎰⎰⎰
……4分 =1110
()x
x y
dx dy x y z dz
---++⎰⎰
⎰
……
6分
8
1=
……8分
9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为
1d x y z =+++
满
足条件
220
x y z +-= ……3分 拉
格
朗
日
函
数
为
222(1)()
3
x y z L x y z λ+++=++- ……5分
2(1)
20
3x x y z L x λ+++=
+=，2(1)
20
3
y
x y z L
y λ+++=
+=
2(1)
3
z x y z L λ+++=
-=，220
L
x y z λ
=+-=
解方程组得，12x y ==-，1
2
z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为
0.5,0.5,0.5)
d --=
6
=
……8分。