人教版八年级上册数学解题技巧专题：分式运算中的技巧
八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧
分式的运算技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．► 技巧一 整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二 倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三 转化法 利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1的值．二、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一 约分10．计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y.13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二 运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a15．先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.16．先化简，再求值：(x2－16x2＋8x＋16＋xx－4)÷1x2－16，其中x＝3.17．化简并求值：12a －1a－b·(a－b2a－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.详解详析1．[解析] B 原式＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0. 4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1＝－23. 5．[答案] 123[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x ＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x ＝23，即x 4＋1x ＝23，∴x 2x ＋1＝123. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34， 以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2a 2＋（ab ）2. ∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2）1＋a 2＝3.9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc a 2bc ＋abc ＋ab . ∵abc ＝1，∴原式＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1＝1. 10．[解析] A 原式＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）2＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.故选A. 11．[答案] 2[解析] 原式＝x （x ＋9）x （x ＋3）＋（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2＝x ＋9x ＋3＋x －3x ＋3＝2（x ＋3）x ＋3＝2. 12．解：原式＝（x ＋y ）（x －y ）x ＋y －（2x －y ）22x －y＝x －y －(2x －y )＝－x . 13．解：原式＝[（a －2）（a ＋2）（a －2）2－12－a ]÷2a 2－2a ＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝12(a 2＋3a )． ∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，∴原式＝12×(－1)＝－12. 14．[解析] A 原式＝a a －2·4－a 2a －a a ＋2·4－a 2a ＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A. 15．解：原式＝a 2－1a ·3a a －1－a 2－1a ·a a ＋1＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)． 当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[（x －4）（x ＋4）（x ＋4）2＋x x －4]÷1x 2－16＝(x －4x ＋4＋x x －4)·(x ＋4)(x －4)＝(x －4)2＋x (x ＋4)＝2x 2－4x ＋16.当x ＝3时，原式＝22.17．解：原式＝12a －1a －b ·a －b 2a ＋a 2－b 2a －b＝12a －12a ＋a ＋b ＝a ＋b .当a ＝10，b ＝5时，原式＝10＋5＝15.。
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
人教版八年级上册分式的乘除
人教版八年级上册分式的乘除知识点包括：
1. 分式的乘法法则：分式相乘，分子乘分子作为新的分子，分母乘分母作为新的分母，能
约分先约分。
2. 分式的除法法则：分式相除，把除式分子分母颠倒，并与被除式相乘。
3. 分式的乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。
4. 分式的混合运算：按运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），从左至右依次进
行。
5. 分式约分的意义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
6. 分式约分的方法：先确定公因式，再约去公因式。
通常选择分子和分母中的最高次项的
公因式约分。
7. 最简分式的概念：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
8. 分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式转化为同分母的分式，叫
做分式的通分。
9. 最小公倍数：两个或几个数公有的倍数叫做这几个数的最小公倍数。
10. 约分的依据：分式的基本性质。
11. 约分的方法：用分子和分母的公因式去除分子和分母，得到最简分式或一般分式的过程
叫做约分。
12. 通分的依据：分式的基本性质。
13. 通分的方法：根据两个分式的最小公倍数，将一个分式的分子与另一个分式的分母都乘
以适当的同一个非零整式，使两个分式的分母相同，这样的过程叫做通分。
人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳可修改全文
类型三：在三角板或直尺中求角度 把一块直尺与一块三角板按如图放置,若∠1＝45°,则∠2的度数为( D) A.115° B.120° C.145° D.135°
1
3
2
类型四：与平行线结合
如图,直线BD∥EF,AE与BD交于点C,若∠ABC＝30°,∠BAC＝75°,则∠CEF的
大小为( )
D
A
A. 60°
解：AC＝CE，理由如下：
BC＝DE，
E
∵AB⊥BD，ED⊥BD
∠B＝∠D
A
∴∠B＝∠D＝90°
AB＝CD
B
CD
在△ABC和△CDE中 ∴△ABC≌△CDE
∴AC＝CE.
已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F 点，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于M点，
A D 证明：
21 F5
6
E
3
4
B
C
在AB上截取线段AF＝AD， ∵∠1＝∠2
AE＝AE ∴△ADE≌△AFE(SAS) ∴∠D=∠5
∵AD∥BC
而∠5＋∠6＝180°， ∴∠6＝∠C 又∵∠3＝∠4 BE＝BE ∴△BCE≌△BFE(AAS) ∴BF＝BC
∴∠D＋∠C＝180°
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
类型一：动点变化 已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足
BC＝DE，AB＝CD.试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
E A
B
CD
类型一：动点变化
已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足 BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
分式运算技巧知识点总结
分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。
在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。
本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。
一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。
若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。
例子1：计算1/2 + 1/3。
解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。
将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。
例子2：计算2/5 + 3/5。
解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。
这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
例子3：计算3/10 + 2/5。
解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。
例子4：计算2/3 × 4/5。
解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。
2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。
例子5：计算2/3 ÷ 4/5。
解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。
三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。
「初中数学」分式运算中的十二种技巧
「初中数学」分式运算中的十二种技巧打开今日头条，查看更多图片分式的加减运算中起关键作用的就是通分，但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果.一.分式的化简技巧技巧1.整体通分法此题把a一2看作一个整体，通分较好，把a与2分开通分，2前边是'一'号，还得注意分子加减时变号，易错.技巧2.顺次通分法此题顺次通分正好最简公分母是平分差的形式，有利于计算. 技巧3.分组通分法此题若全部一起通分，不仅计算量大，而且易出错. 技巧4.先约分再通分法分式运算中，能约分的先约分计算简便，需要因式分解，化为积的形式，本题第一个分式中，分子因式分解采用分组分解法，看不懂的同学，看下边技巧5.分离分式后通分法看不懂的同学，看下一个解法，把一1/(x一4)与1/(x一3)对调位置.运算中，特别要注意负号. 技巧6.换元后通分法观察式子都有3m一2n，所以采用换元法技巧7.拆项相消法本题关键看清前后项相消，最后剩下哪一项二.分式的求值技巧技巧8.化简后整体代入法化简时注意先算乘除，后算加减. 技巧9.补项后用整体代入法本题有1/x十1/y 1/z≠0，一定有它的用处，加之给定的是对称式子，想到构造1/x十1/y十1/z这种式子.技巧10.变形后用整体代入法技巧11.倒数求值法本题巧用了x 1/x=2，然后借用完全平方公式，解出所求的值.技巧12.消元约分法设主元法这类题，初一下，二元一次方程组有过类似的题型，通过把一个未知数看成已知数表示出另两个未知数，从而可求出代数式的值.以上分享的技巧，同学们体会它的好处，优点，多问几个为什么，必要的时候记一下题型，对解分式题有帮助.感谢大家的关注、转发、点赞、交流！。
八年级数学上册解题技巧专题分式运算中的技巧(新版)新人教版
x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ． 化简 ： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ． 先 化 简 ， 再 求 值 ：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1 11．计算 －2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二 先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三 混合运算中灵活运用分配 律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入x1－ 的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋ －2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ． 解 ：原 式 ＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1） － a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－ 时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－ ＝ ＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝ － － ＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ． 解 ： 原式 ＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。
人教版八年级上册数学难点攻克
人教版八年级上册数学难点攻克难点一：分式的加减在人教版八年级上册数学中，分式的加减是一个相对较难的难点。
分式是由分子和分母组成的数学表达式，可以表示一个数或一个代数式。
分式的加减涉及到分数的相加和相减，需要掌握一定的技巧和规则。
1. 分式的相加：当分式的分母相同时，我们只需要将分子相加，分母保持不变即可。
例如，若要计算 1/4 + 1/4，由于分母相同都为 4，所以只需要将分子 1 + 1 = 2，分母不变，答案为 2/4。
当分式的分母不同但有公倍数时，我们需要将分式的分母化为相同的分母后再相加。
例如，若要计算 1/3 + 1/6，由于分母不同，我们可以找到它们的公倍数 6，然后将分子进行相应的调整：1/3 = 2/6，1/6 = 1/6，于是我们得到 2/6 + 1/6 = 3/6。
当分式的分母不同且没有公倍数时，我们需要进行通分后再相加。
通分就是将分式的分母约化为相同的分母，然后将分子相加。
例如，若要计算 1/2 + 1/3，由于分母不同，我们可以将分式的分母相乘得到公倍数 6，然后将分子进行相应的调整：1/2 = 3/6，1/3 = 2/6，于是我们得到 3/6 + 2/6 = 5/6。
2. 分式的相减：分式的相减与相加相似，我们只需要将分数的符号改为减号，然后按照相加的规则进行计算。
例如，若要计算 3/4 - 1/4，由于分母相同都为 4，所以只需要将分子相减：3 - 1 = 2，分母不变，答案为 2/4。
掌握了分式的加减规则后，我们要注意化简分式。
化简分式是将分子和分母的公因数约去，使得分式的表达更简洁。
例如，对于分式8/12，我们可以发现其分子和分母都可以除以4，所以化简后得到2/3。
总结起来，人教版八年级上册数学中的分式的加减是一个相对较难的难点，需要掌握分式的相加和相减规则，并能够进行通分和化简。
通过大量的练习和实战题目的解答，我们可以攻克这个难点，提高自己的数学水平。
八年级上册数学分式的乘除
在八年级上册的数学课程中，我们学习了一个重要的主题——分式的乘除。
分式是一种特殊的数学表达式，它包含了一个或多个字母，这些字母表示未知数。
分式的乘除运算与整数和小数的乘除运算有所不同，需要遵循一定的规则。
首先，我们来学习分式的乘法。
分式的乘法是将两个分式相乘，得到一个新的分式。
在进行乘法运算时，我们需要先将分子与分子相乘，然后将分母与分母相乘。
例如，计算2/3乘以4/5，我们可以得到(2*4)/(3*5)=8/15。
接下来，我们来学习分式的除法。
分式的除法是将一个分式除以另一个分式，得到一个新的分式。
在进行除法运算时，我们需要先将被除数的倒数乘以除数，然后进行乘法运算。
例如，计算2/3除以4/5，我们可以得到(2*5)/(3*4)=10/12=5/6。
在学习分式的乘除时，我们需要掌握一些基本的技巧和规律。
例如，我们可以将复杂的分式化简为最简形式，这样可以简化计算过程。
此外，我们还需要注意约分和通分的概念，这对于解决实际问题非常重要。
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳
新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳规则进行运算。
通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。
最后的计算结果必须化为最简分式或整式。
分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。
分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。
分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。
2x+1与2x+1的分母相同，则最简公分母为__________。
2.分式3x+2x-1的倒数为__________。
3.分式2x+1x-3的平方为__________。
4.分式2x+3x-1与分式x-42x-1的和为__________。
5.若分式a+bc与分式a-bc互为倒数，则a²-b²的值为__________。
6.若分式2x-1x-2的值等于分式3x+2x+1的值，则x的值为__________。
7.分式2x+1x-3与分式x-12x+5的差为__________。
8.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为__________。
9.若分式a+b2的值等于分式a-b3的值，则a:b的比值为__________。
10.分式2x-1x+2的平方根为__________。
二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。
分式的分子和分母都是整式B。
分式的分母不能为0C。
分式的分子和分母都是单项式D。
分式的分子和分母都是多项式2.若分式a2b的值等于分式c3d的值，则（）A。
ad=3bcB。
ac=2bdC。
ab=3cdD。
ad=2bc3.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为（）A。
八年级数学上册 15.2《分式的运算》分式运算中的常用技巧与方法素材 新人教版(2021学年)
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分式运算中的常用技巧与方法在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果。
现就分式运算中的技巧与方法举例说明。
一、整体通分法例1．化简:21a a -—a —１ 分析 将后两项看作一个整体,则可以整体通分,简捷求解.解:21a a --a －1=21a a -—(a+1)＝ 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2.计算1a b --1a b +－222b a b +—3444b a b- 分析：注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法解:1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +---—222b a b +—3444b a b- ＝222b a b -—222b a b +—3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b-=0 三、先约分，后通分例3.计算:2262a a a a ++＋22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++＝(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+＝62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4.已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值解法１：∵1x +1y＝５∴ｘy≠0,. 所以2522x xy y x xy y -+++＝225112y x y x-+++=112()5112x y x y +-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x ＋1y =5得,x y xy +=5, x+y=5ｘy ∴2522x xy y x xy y -+++＝2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+＝57xy xy =57 五、运用公式变形法例5.已知a 2—5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a≠０,∴ａ+1a =5∴a ４+41a =（ａ2+21a )２-2＝［(a+1a)2-2]２—２=(５2—2)2—２=527 六、设辅助参数法 例６．已知b c a +＝ a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b ＋c=ａk;a+c=bk;a ＋b=ｃk; 把这3个等式相加得2（a+ｂ+c)= (ａ＋ｂ+c ）ｋ若ａ+ｂ+ｃ＝0,a+b ＝ —c,则k ＝ －1若a+b+ｃ≠0,则k=2()()()a b b c c a abc+++=ak bk ck abc ⋅⋅=k ３当ｋ=—1时，原式＝ -１当ｋ=2时,原式= 8七、应用倒数变换法 例７．已知21a a a -+＝7,求2421a a a ++的值 解:由条件知a≠0,∴21a a a-+=17，即a ＋1a =87∴4221a a a++=a ２+21a +1＝(a+1a )2-１＝1549 ∴2421a a a ++＝4915八、取常数值法例8．已知：ｘyz≠0,ｘ＋y+z=0，计算y z x ++x z y++x y z + 解:根据条件可设x=1,y ＝１,z=-2。
15.2.1 分式的乘除 课件 人教版数学八年级上册
3
(2)
a4b2 －3c2
；
3
a4b2 －3c2
＝((－a43bc22))33＝－a2172cb66；
知3－练
感悟新知
3
(3)
xy x－y
；
3
解：
xy x－y
＝(x(x－y)y3)3＝(xx－3yy3)3 ；
(4)
a2－b2 ab
2
.
a2－b2 ab
2＝[(a＋(ba)b(a)2－b)]2＝(a＋ba)22b(a2－b)2.
课堂小结
分式的乘除
分式的乘除 分式的乘方 转化 分式的乘法 转化 分式的除法
混合运算
感悟新知
知1－练
例 1 计算： (1)3xy2·145xy32；(2)65xy2·(－4xy2)；(3)ab4＋ab2b2·a62－a2bb2.
解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算.
感悟新知
(1)3xy2·145xy32；
解：3xy2·145xy32＝1152xx23yy2＝45xy；
知1－练
(2)65xy2·(－4xy2)；
算后再约分；
(2)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，
看能否约分，再进行乘法运算；
(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1 的“分式”参
与运算.
感悟新知
知1－讲
特别解读 分式乘法运算的基本步骤： 1. 确定积的符号，写在积中分式的前面; 2. 运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号; 3. 约分，将结果化成最简分式或整式.
感悟新知
例 4 [母题 教材P139练习T1]计算：
知4－练
(1)98ax2yb÷23xb·32axb3y2； (2)1－3x2－x＋12x2÷(x＋1)·x42－－x1.
人教版八年级数学上册专题(十四) 分式的运算技巧
解：2a－4 (4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋2016·益阳)先化简，再求值：(x＋1 1－1－1 x)÷1－x2x2，其中 x＝－12.
解：原式＝－2x，当 x＝－12时，原式＝4
9．(2016·娄底)先化简，再求值：(1－x－2 1)·x2－x2－ 6xx＋9， 其中 x 是从 1，2，3 中选取一个合适的数． 解：原式＝x－x 3，易知 x＝1 或 3 时无意义，当 x＝2 时，原式＝－2
6．已知 x＋1x＝3，求x4＋xx22＋1的值．
解：∵x4＋xx22＋1＝(x＋1x)2－1＝32－1＝8，∴x4＋xx22＋1＝18
类型二：分式的混合运算 7．计算： (1)(a2－a b2－a＋1 b)÷b－b a；
(3)(2016·泸州)(a＋1－a－3 1)·2aa＋－22；
解：－a＋1 b (2)(x＋1)÷(2＋1＋x x2)； 解：x＋x 1
八年级上册人教版数学 第十五章 分式
专题(十四) 分式的运算技巧
类型一：条件分式求值技法 技法 1 整体代入法 将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值． 1．已知1x－1y＝5，求3yx＋－53xxyy－－3xy的值．
解：显然 xy≠0.将待求式的分子、分母同时除以 xy，
得3yx－＋35xxyy－－x3y＝－3（1x－1x－1y－1y）3 ＋5＝－35×－53＋5＝－5
x
－x≤1， 的值从不等式组2x－1＜4的整数解中选取．
解：原式＝1－x x，解不等式组－2xx－≤11＜，4， 得－1≤x＜52，当 x＝2 时，原式＝1－2 2＝－2
12．先化简，再求值：(1－x＋3 2)÷xx2＋－21x－x＋x 1， 其中 x 满足 x2－x－1＝0.
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解题技巧专题：分式运算中的技巧
——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算
1．计算1
x
－
1
x－y
的结果是( )
A．－
y
x（x－y）
B.
2x＋y
x（x－y）
C.
2x－y
x（x－y）
D.
y
x（x－y）
2．化简
m
m＋3
＋
6
m2－9
÷
2
m－3
的结果是________．
3．先化简，再求值：2a＋1
a2－1
·
a2－2a＋1
a2－a
－
1
a＋1
，其中a＝－
1
2
.
◆类型二先约分再化简
4．化简：
a2－1
a2＋2a＋1
÷
a2－a
a＋1
＝________．
5．化简求值：(a－3)·
9－a2
a2－6a＋9
＝________，当a＝－3时，该代数式的
值为________．
6．先化简，再求值：x2－2x＋1
x2－1
÷
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
3
x＋1
，其中x＝0.
◆类型三 混合运算中灵活运用分配律
7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1
的结果是( ) A .1x 2＋1 B .1x 2－1
C ．x 2＋1
D ．x 2－1
8．化简：⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：
12x －1x ＋y ·⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.
◆类型四 分式化简求值注意整体代入
10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( ) A .1xy
B ．xy
C ．1
D ．－1
11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( ) A .5＋1 B ．1
C ．－1
D ．－5
12．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x
－x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.
参考答案与解析
1．A 2.1
3．解：原式＝
2a＋1
（a＋1）（a－1）
·
（a－1）2
a（a－1）
－
1
a＋1
＝
2a＋1
a（a＋1）
－
1
a＋1
＝
a＋1
a（a＋1）＝
1
a
.
当a＝－1
2
时，原式＝－2.
4.1
a
5.－a－3 0
6．解：原式＝x－1
x＋1
÷
x－2
x＋1
＝
x－1
x－2
.当x＝0时，原式＝
1
2
.
7．C 8.a＋3
9．解：原式＝
1
2x
－
x2－y2
x＋y
－
1
2x
＝－x＋y.当x＝2，y＝3时，原式＝1.
10．D 11.B
12．解：原式＝x2－1－x2＋2x
x（x＋1）
·
（x＋1）2
x（2x－1）
＝
x＋1
x2
.∵x2－x－1＝0，∴x2＝x
＋1，∴原式＝1.。