抛物线焦点弦性质总结

抛物线焦点弦性质总结

基本性质

已知抛物线22y px =的图像如图所示，

则有以下基本结论：

1、以AB 为直径的圆与准线L 相切；

2、2124p x x ⋅=且212y y p ⋅=-；

3、90AC B '∠=︒，90A FB ''∠=︒；

4、123222()2sin p p AB x x p x α=++=+=；

5、112AF BF P +=；

6A 、O 、B '三点共线，B 、O 、A '三点共线；

7、22sin AOB p S α=△，322AOB S p AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭

△(定值)； 8、1cos p AF α=-，1cos p BF α=+； 9、BC '垂直平分B F '，AC '垂直平分A F '， C F AB '⊥；

10、2AB p ≥；

11、11()22CC AB AA BB '''==+； 12、3AB p k y =，22tan 2

y p x α=-； 13、24A B AF BF ''=⋅，12C F A B '''=. 14、切线方程：()x x m y y +=00

性质深究

一、焦点弦与切线

结论1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线

交点在准线上．

特别地，当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭

． 结论2、切线交点与弦中点连线平行于对称轴

结论3、弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．

结论4、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 特别地，过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过

两切点AB 的弦必过焦点．

结论5、过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点

的弦最短时，即为通径．

AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的

中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的

切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有

结论6、P A ⊥PB ．

结论7、PF ⊥AB ． 结论8、M 平分PQ ． 结论9、P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．

结论102PF FB FA =

结论11、PAB S ∆2min p =

二、非焦点弦与切线 当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时，也有与上述结论类似结果：

结论12、①p y y x p 221=，2

21y y y p += 结论13、P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．

结论14、PFB PFA ∠=∠

结论15、点M 平分PQ

结论162PF FB FA =