学业水平考试内容和要求

学业考试说明内容与要求1 数学思想方法、数学能力与要求 ⑴ 数学思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中．对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，主要考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、或然与必然的思想．对数学思想方法的考查要与数学知识的考查紧密结合进行，通过数学知识的考查，反映学生对数学思想方法的理解和掌握程度．考查时，要从学科整体意义上考虑，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度．【例1】 已知抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离为2，则点P 到此抛物线的焦点的距离是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【分析】 已知抛物线上的点，求焦点弦问题，都是根据抛物线的定义解决问题．根据抛物线的定义知，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，而准线到y 轴的距离为1，点P 到y 轴距离为2，所以点P 到准线的距离3．【答案】 (C)．【说明】 本题主要考查抛物线的定义，数形结合的思想，化归与转化的思想，应用意识，能力层次要求为理解，属于容易题．【例2】 经过点P (3，0)且长轴长是短轴长的3倍的椭圆的标准方程为________________.【分析】 由于焦点位置不确定，需要分情况讨论，再根据P 点坐标得出a 或者b ，从而得出椭圆的标准方程．当焦点在x 轴上时，有a =3，b =1，此时椭圆方程为2219x y +=，当焦点在y 轴上时，有b =3，a =9，此时椭圆方程为221981x y +=． 【答案】 2219x y +=，221981x y +=． 【说明】 本题主要考查椭圆的标准方程，分类与整合的思想，应用意识，能力层次要求为理解，属于中档题．【例3】 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f x '（）≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为_________________.【分析】 研究函数值的大小关系，从单调性入手．依题意，当x ≥1时，f '(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f '(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)．【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系)，能力要求层次为掌握，属于较难题．【例4】如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.(Ⅰ) 证明：AP ⊥BC ；(Ⅱ) 已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B APC --的大小.【分析】 (Ⅰ)欲证AP ⊥BC ，转化为证明BC ⊥平面APD ，即证明AD ⊥BC ，PO ⊥BC ；(Ⅱ)欲求二面角B AP C --的大小，即求其二面角的平面角的大小，因此，需作出二面角的平面角∠BMC ，再利用已知条件解三角形BMC ，求得平面角∠BMC ．【答案】 (Ⅰ) 由AB =AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ．又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD =O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A .(Ⅱ) 如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连CM . 因为BC ⊥P A .，得AP ⊥平面BMC .所以AP ⊥CM .故∠BMC 为二面角B -AP -C 的平面角．在Rt △ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得AB =41， 在Rt △POD 中， PD 2=PO 2+OD 2， 在Rt △PDB 中， PB 2=PD 2+BD 2，所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB =6.在Rt △POA 中， P A 2=AO 2+OP 2=25，得P A =5．又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而22sin ,3BPA ∠=所以sin 42BM PB BPA =∠=．同理CM 42=.因为BM 2+MC 2=BC 2，所以BPA ∠=90°，即二面角B -AP -C 的大小为90°．【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查化归与转化的思想，空间想象能力和推理论证能力，能力层次要求为掌握，属于较难题．⑵ 数学能力能力主要是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识．① 空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质．【例5】 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AD 1与A 1D 相交于点O ． (Ⅰ) 判断AD 1与平面A 1B 1CD 的位置关系，并证明； (Ⅱ) 求直线AB 1与平面A 1B 1CD 所成的角．② 抽象概括能力：对具体的实例，通过抽象概括，能发现研究对象的本质属性；并从给定的信息材料中，概括出一般性结论，同时能将其用于解决问题或作出新的判断．【例6】 若函数()f x 的定义域为A ，当12,x x A ∈且12()()f x f x =时，总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数2()f x x =(x ∈R )是单函数；②指数函数()2x f x =(x ∈R )是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中所有真命题的序号是___________．【分析】 这是“多选多”型填空题，一般需要逐一分析判断．在判断中，应注意特例和反例的灵活运用．对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④为真．【答案】 ②、③、④．【说明】 本题以数学新概念为背景，从单函数概念出发，考查学生的阅读能力、理解能力、思维能力、推理能力和创新意识．能力要求层次为掌握，属于较难题．③ 推理论证能力：推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法．应学会运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性．【例7】 若1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒(B)12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ (C)123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面(D)1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【分析】 借助正方体各棱的位置关系，可举出A ，C ，D 三个选项的反例，说明不成立，如123,,l l l 共面，B 选项显然成立，如不共面，由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°．【答案】 (B)．【说明】 本题主要考查空间直线的位置关系，化归与转化的思想，空间想象能力和推理论证能力，能力层次要求为理解，属于中档题．④ 运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似计算．【例8】 已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(I) 求a ，b 的值；(II) 证明：当x >0，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【分析】 曲线的切线问题，从导数的几何意义入手；涉及函数的不等关系，基本思路是考虑函数的单调性(导函数的函数值符号)．【答案】 (Ⅰ) 显然，221(ln )'()(1)x x b x f x x xα+-=-+．由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩ 解得1a =，1b =．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知ln 1()1x f x x x =++，所以221ln 1()(2ln )11x x f x x x x x-==+--． 考虑函数()2ln h x x =+21x x-(0)x >，则 222222(1)2(1)()x x x h x x x x ---'=-=-． 所以当1x ≠时，()0h x '<，即h (x )在(0,1)和(1,+∞)上是减函数，而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，可得21()01h x x >-； 当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h <=，可得21()01h x x>-； 从而当ln ln 0,1,()0,().11x xx x f x f x x x >≠->>--且即【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、导数的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系)，推理与运算能力，能力要求层次为掌握，属于较难题．⑤ 数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断．数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定实际问题．【例 9】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了(Ⅱ) 用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解；(Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程，再以此为基础求第六天的命中率．【答案】 0.5；0.53． 【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识，数据统计中最常用的回归分析以及运算能力，能力要求层次为理解，属于较难题．⑥ 应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明．应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决．【例10】 现需要围建一个面积为3602m 的矩形场地，场地的一面利用旧墙(但旧墙必须维修)，其它三面全部新建，并在旧墙对面的新墙上留一个宽为2m 的进出口(如图所示). 已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的建造价为180元/m ．设利用旧墙的长度为x (m )，修建此矩形场地围墙的总费用为y (元).(Ⅰ) 将y 表示为x 的函数，并写出定义域；(Ⅱ) 试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出这个最小值.【分析】 对于实际应用型的问题，应注意阅读审题、分析题意、建立关系，根据建立的关系(数学模型)的特征联系相应的数学方法解决问题．【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为x 时，矩形场地的宽度为360x，则新墙的总长度为360(2)2x x-+⨯ . ∴ 旧墙的维修费用145y x =，新墙的修建费用为2360[(2)2]180y x x=-+⨯⨯.总费用1236045[(2)2]180y y y x x x=+=+-+⨯⨯，化简得 2360225360y x x=+-．由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为2m 的进出口，所以2x >．故 2360225360y x x=+-，(2)x ∈+∞，． (Ⅱ) 由2360225360y x x=+-及2x >，知236022536036010440y x x =+-≥=，其中，当且仅当2360225x x=，即24x =时，“=”成立．∴ 当24x = m 时，总费用的最小值为10440元．【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题的能力，能力要求层次为掌握，属于较难题．⑦ 创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．2 数学探究、数学建模与数学文化数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，渗透在每个模块或专题中．《数学课程标准》要求高中阶段至少各应安排一次较为完整的数学探究、数学建模活动．数学探究和数学建模都是高中数学课程中引入的新的学习方式．数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程．这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明．数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．数学探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力．数学建模为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力．数学是人类文化的重要组成部分．数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力．通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识．3 知识范围与要求四川省普通高中数学学业水平考试实行文理科同卷同内容的考试方式，内容包括必修部分所有内容和选修系列1与系列2 中相同内容部分．根据《数学课程标准》的要求，将其中所涉及的知识点的能力层级由低到高分为“了解(知道、识别、模仿等)”、“理解(描述，说明，表达，推测，想像，比较，判别，会求，会解，初步应用等)”和“掌握(掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题等)”三个层次并分别用A、B、C表示．A——了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它．B——理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力．C——掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导、证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并能运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题．考试内容对应的考查能力层级要求4 情感态度与价值观要求学生个体的情感、态度和价值观是学生的个性品质．要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义．对学生情感、态度和价值观的具体考察方法与内容融入试题之中．。