小专题(六) 与正方形有关的四个常考模型
正方形专题复习之六大常考模型【精品】
正方形专题复习与正方形有关的六个常考模型模型一：正方形与等边三角形教材母题：67页第1（3）题例1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为15° .变式1：在正方形ABCD的外侧，以正方形ABCD的一边作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为15°或75° .变式2：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，若∠AED=15°，则∠EAC的度数为30°.变式3：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE，则（1）求证：BE=CE （2）求∠CEB的度数.变式4：如图，在边长为2的正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则△ABE的面积等于1。
变式5：如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF、BE．（1）请判断AF与BE的关系并给予证明；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF变为两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果．解：（1）AF=BE；AF⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，∵△ADE和△DCF是等边三角形，∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE；（2）第（1）问中的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD．∵EA=ED=FD=FC，∴△AED≌△DFC（SSS），∴∠EAD=∠FDC．∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．∴△BAE≌△ADF（SAS）∴AF=BE，∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE．（3）第（1）问的结论成立，理由如下：∵AE=DF，ED=FC，AB=CD∴△AED≌△DFC（SSS），∴∠EAD=∠FDC．∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．∴△BAE≌△ADF（SAS），∴AF=BE，∴∠ABE=∠DAF．∵∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠AMB=90°，∴AF⊥BE．模型二：正方形中相交垂线段问题教材母题：课本68页第8题例2.如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？解：BE＝AF且BE⊥AF，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.又∵DE＝CF，∴AE＝DF.∴△ABE≌△DAF（SAS）．∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.变式1：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且BE=AF，则BE⊥AF吗？解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD.在Rt△ABE和Rt△DAF中，BE＝AF，AB＝DA，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）．∴∠ABE＝∠DAF.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.变式2：如图，ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且BE⊥AF，则BE=AF成立吗？解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°.∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF.∴△ABE≌△DAF（ASA）．∴BE＝AF.模型归纳：如图，正方形ABCD中，分别连接两组对边上的两点，得到的两条线段（如图1中的AF与BE，图2中的AF与GE，图3中的HF与GE）满足：若垂直，则相等；若相等，则垂直；若AE=DF，则垂直且相等.图2思路：过点B作BM//GE交AD于点M图3思路：过点B作BM//GE交AD于点M，过点A作AN//HF交CD于点N.。
模型正方形模型·全归纳
模型正方形模型·全归纳来源：周老师的初中理科课堂（ID：zhou_studyclub）这次要归纳的是和正方形相关的几何模型，内容基本涵盖了中考中考查频率较高的各种类型，既有比较基础的，也有提升和拓展，更有我的独家解题心得。
我愿意毫无保留地分享这些经验，希望能帮助到学有所需的同学！首先，我们概览一下正方形模型总图：咱们再放大了看清楚：乍一看是不是觉得线条纷杂？因为正方形当中的特殊点、特殊线相互之间都是有关联的，所以我可以把所有相关模型组合在一起。
接下来我会把这些元素拆开细讲，如果同学们看过之后全都理解掌握了，也可以试着画一画，我觉得如果能把这张图画好，正方形就被你看透，毫无秘密了。
分解一：这是各种模型中最常考的，几乎没有秘密，每个人都必须熟练掌握。
在我的教学体系中，它被归为“半角模型”中的一种常考特例，所以只要采用解决“半角模型”的通用方法——旋转+二次全等，就可以轻松解题。
（“半角模型”也是非常有用的，建议掌握。
）分解二：“轨迹”是一种重要的数学思想方法，其影响贯穿整个初高中阶段，现在就习惯和掌握这种思维模式，对高中阶段的解析几何学习是非常有益的。
对“轨迹”的考查在中考中一般都是以难题、压轴题出现，单是“轨迹”这个专题我就会给学生讲好几个课时。
很多同学在初三下的最后阶段，才开始接触到真正的压轴题，很多高阶的内容是来不及掌握的，所以我都是很早就开始给学生灌输这些思想和观点。
我建议学有余力的同学，一定要好好领悟下“轨迹”思想。
分解三：因为很多分析都已经写在图上了，我就不再赘述。
请需要学习的同学仔细看图上的批注，特别是方法总结。
这个模型还有几种引申的考法：请同学注意上图中打星的句子，这可不是句无关痛痒的废话，请好好理解下，如果你真的懂我的意思了，解这类几何题绝对没问题。
分解四：这部分涉及到圆和相似三角形，是九年级数学的内容。
首先看一下是不是和“分解二”的模型很类似，其实这两个是互逆的过程，不过“分解四”的证明难度略高些。
〖2021年整理〗小专与正方形有关的四个常考模型配套精选卷
小专题（二） 与正方形有关的四个常考模型模型1 正方形中相交垂线段问题复习题 T8的变式与应用1如图，ABCD 是一个正方形花园，,E F 是它的两个门，DE CF =，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE CF =”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？（1）若已知BE AF =，则BE AF ⊥成立吗？（2）若已知BE AF ⊥，则BE AF =成立吗？模型归纳正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF 与BE ，图2中的线段AF 与EG ，图3中的线段HF 与EG ）满足：若垂直，则相等模型2 正方形中过对角线交点的直角问题2如图，正方形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点,O O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB 于点1,E OC 交BC 于点F（1）求证：△AOE ≌△BOF ；（2）如果两个正方形的边长都为a ，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？模型归纳正方形ABCD 中，O 为两条对角线的交点，点,E F 分别在,AB BC 上若EOF ∠为直角，,OE OF 分别与,DA AB 的延长线交于点,G H ，则△AOE ≌△BOF ，△AOG ≌△BOH ，△OGH 是等腰直角三角形，且14ABCD OEBF S S =正方形四边形模型3 正方形中三垂直全等模型复习题T14的变式与应用3如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，90AEF ︒∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F 求证：AE EF =【探究1】变特殊为一般若题中“点E 是边BC 的中点”变为“点E 是BC 边上任意一点”，则上述结论是否仍然成立？___________（填“是”或“否”）【探究2】在探究1的前提下，若题中结论“AE EF =”与条件“CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明模型4 正方形中的半角模型4如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE ︒∠=，则GE BE GD =+成立吗？为什么？模型归纳（1）如图，正方形ABCD 中，若45EAF ︒∠=，则：①EF BE DF =+；②△CEF 的周长为正方形ABCD 边长的2倍；③FA 平分,DFE EA ∠平分BEF ∠（2）如图，正方形ABCD 中，若45,EAF FA ︒∠=平分DFE ∠，则EF DF BE =-参考答案1解：BE AF =且BE AF ⊥，理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD ==，90BAD D ︒∠=∠=又,DE CF AE DF =∴=∴△ABE ≌△DAF （SAS ）,BE AF ABE DAF∴=∠=∠90DAF BAF ︒∠+∠=，90ABE BAF ︒∴∠+∠=90AGB ︒∴∠=，即BE AF ⊥ 【探究】解：（1）成立理由：∵四边形ABCD 是正方形，90BAD D ︒∴∠=∠=， AB AD =在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，,,AB AD BE AF =⎧⎨=⎩∴Rt △ABE ≌Rt △DAF （HL ） ABE DAF ∴∠=∠90DAF BAF ︒∠+∠=，90ABE BAF ︒∴∠+∠=90AGB ∴∠=，即BE AF ⊥（2）成立理由：∵四边形ABCD 是正方形，,90AB AD BAD D ︒∴=∠=∠=又,90BE AF AGB ︒⊥∴∠=90ABE BAF ︒∠∴∠+=90DAF BAF ︒∠+∠=，ABE DAF ∴∠=∠∴△ABE ≌△DAF （ASA ）BE AF ∴=2解：（1）证明：在正方形ABCD 中，11,90AO BO AOB AOC =∠==∠，45.90,90OAB OBC AOE EOB BOF EOB ︒︒︒∠=∠=∴∠+∠=∠+∠=AOE BOF ∴∠=∠在△AOE 和△BOF 中，,,,OAE OBF OA OB AOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△BOF （ASA ）（2）两个正方形重叠部分的面积等于214a 3证明：取AB 的中点M 连接1..2ME AM BM AB E ∴==是BC 的中点， 1.2BE EC BC ∴==四边形ABCD 是正方形，90,B BCD AB BC ︒∴∠=∠==,.45.135AM EC BM BE BME AME ︒︒∴==∴∠=∴∠=又CF 是正方形外角的平分线，135.90,90ECF AEF AEB FEC ︒︒︒∴∠=∠=∴∠+∠=又90,AEB BAE BAE FEC ︒∠+∠=∴∠=∠∴△AME ≌△ECF （ASA ）AE EF ∴=【探究1】是【探究2】解：命题仍然成立证明：过点F 作FH BC ⊥，交BC 的延长线于点H ，90,90AEF AEB FEH ︒︒∠=∴∠+∠= 90,90ABE AEB BAE ︒︒∠=∴∠+∠=BAE HEF ∴∠=∠在△ABE 和△EHF 中，,,,BAE HEF ABE EHF AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△EHF （AAS ）,BE HF AB EH BC ∴===BC EC EH EC ∴-=-，即..45,45BE CH HF CH HCF HFC DCF ︒︒=∴=∴∠=∠=∠=CF ∴是正方形外角的平分线 4解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，,BC CD B CDF ∴=∠=∠又BE DF =，∴△CBE ≌△CDF （SAS ）CE CF ∴=（2）GE BE GD =+成立理由：由（1）得，△CBE ≌△CDF ，BCE DCF ∴∠=∠ BCE ECD DCF ECD∴∠+∠=∠+∠，即90BCD ECF ︒∠=∠=又45GCE ︒∠=，45.,,GCF GCE CE CF GCE GCF GC GC ︒∴∠=∠==∠=∠=，∴△ECG ≌△FCG (SAS) ..GE GF GE DF GD BE GD ∴=∴=+=+。
(完整版)全等正方体常见的几何模型
(完整版)全等正方体常见的几何模型全等正方体常见的几何模型
全等正方体是指具有相同边长和相同角度的正方体。
它是一种非常常见的几何模型，广泛应用于数学、工程和制造领域。
下面介绍几种常见的全等正方体模型。
1. 立方体：立方体是最基本的全等正方体模型。
它具有六个相等的正方形面和八个相等的顶点，每个角度都为90度。
立方体常用于几何学教学、建筑设计和游戏开发等领域。
2. 魔方：魔方，也称为魔方立方体或鲁比克方块，是一种三维拼图游戏。
它由27个小正方体组成，每个面上有一个大正方体。
魔方的六个面都是全等并且可以自由旋转，目标是将魔方还原成六个完整的单色面。
3. 雪花立方体：雪花立方体是指一种全等正方体模型，其六个面上各有一个凹入，使得整个模型形状类似于雪花的外观。
雪花立方体常用于装饰和艺术领域，为空间增添独特的美感。
4. 六面体骰子：六面体骰子，也称作骰子或者色子，是一种常用的博弈工具。
每个面上分别标有1至6个点数，六个面都是全等的正方形。
骰子常用于各种棋类游戏和赌博等活动。
5. 三维液晶显示器：三维液晶显示器是一种先进的显示技术，其中的像素采用全等正方体结构排列。
这种显示器可以呈现更加真实和立体的图像，广泛应用于电视、电脑和虚拟现实等领域。
以上是几种常见的全等正方体模型，它们在不同领域发挥着重要的作用。
全等正方体的几何特性和结构使得它们成为设计和制造中不可或缺的元素。
正方形旋转全等常见模型
正方形旋转全等常见模型
正方形是几何学中最常见的形状之一，它具有四个相等的边和
四个相等的角。
在这篇文档中，我们将讨论正方形的旋转全等常见
模型。
1. 单个正方形的旋转全等：
正方形可以绕着其中心点旋转，使得每个顶点都重合。
即使正
方形的位置、旋转角度或大小发生变化，它们仍然是全等的。
2. 多个正方形的旋转全等：
如果有多个正方形，它们可以按照固定的旋转角度和顺序进行
旋转，使得它们之间保持全等关系。
例如，如果我们有一个正方形ABC，我们可以通过将它旋转90度来获得一个新的正方形CDB，
以此类推。
3. 正方形与其他模型的组合：
正方形可以与其他形状组合形成新的模型。
例如，将两个正方
形旋转连接形成一个长方形，或将多个正方形连接形成一个多边形。
需要注意的是，正方形的旋转全等模型在几何学中有广泛的应用。
它们在建筑、艺术和设计等领域中广泛使用，可以用来创建对称、均衡和美观的图案和结构。
在使用正方形旋转全等模型时，我们需要牢记以下几点：
- 仔细计算旋转角度，确保旋转后的形状仍然是全等的。
- 注意旋转顺序，确保每个正方形都与前一个正方形保持全等关系。
- 将正方形与其他形状组合时，要考虑它们之间的全等关系以及结构的稳定性。
总结：
正方形的旋转全等常见模型是几何学中重要的概念。
通过了解和应用这些模型，我们可以创造出各种精美的图案和结构。
同时，在使用时要谨慎计算旋转角度和顺序，以确保形状的全等性和结构的稳定性。
正方形有关的模型
一、弦图相关模型1．勾股弦图2．弦图变形一3．弦图变形二4．弦图变形二的拓展正方形有关的模型在正方形中，，，，．【结论】①利用或推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．②．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出四边形为正方形．【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算．在正方形中，．【结论】利用推出≌≌≌，从而推出，，四边形为正方形．【注意】本模型与“L”模型有区别，如果“L”模型无法解题，可以考虑构造本模型进行证明计算．①已知在正方形中，，则．爱智康 2018/6/12ABCD AE ⊥BF BF ⊥CG CG ⊥DH DH ⊥AE AAS ASA △AEB △BF C △CGD △DHA EF GH AE −CF =EF ABCD AE =BF =CG =DH SAS △AEH △BF E △CGF △DHG EF GH ABCD AH =BE =CF =DG SAS △DAH △ABE △BCF △CDG DH =AE =BF =CG AE ⊥BF MNP Q ABCD AE =MN AE ⊥MN二、绕顶点旋转的基本模型三、手拉手旋转模型1．直角的手拉手模型②反之，已知在正方形中，，则．【辅助线】过点作，证明≌，或过点作，再证明≌即可．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，则为等腰直角三角形，．【注意】辅助线为延长至点，使，再证明≌．（）如图，正方形，将绕点顺时针旋转得到，为等腰直角三角形．已知：如图，四边形、都是正方形，连接、，与交于点．爱智康 2018/06/12ABCD AE ⊥MB AE =MN B BF //MN △ABE △BCF M MH ⊥CD △ABE △MHN 1ABCD △ADE A 90∘△ABF △EAF =S 边形AFCE S 正 形ABCD CB F BF =DE △BAF △DAE 2ABCD △ABE B 90∘△CBF △EBF ABCD AEF G BE DG BE DG P2．形外形【结论】①≌；②，；③平分．【变形一】绕点旋转，以上结论均成立．【变形二】将正方形变成等腰直角三角形，以上结论均成立．（）以的、边向外分别作正方形、，则．【辅助线】延长至点，出现“等线段，共顶角，顶角等”，因此手拉手全等，≌，再根据和等底同高，从而面积相等．爱智康218/6/12△BAE△DAGBE=DG BE⊥DGAP∠BP GA AEF G1△ABC AB AC ABDE ACF G=S△ABC S△AEGBA H△AEG△AHC△ABC △AHC（）以的、边向外分别作正方形、，点为中点，则，．【辅助线】利用倍长中线法解题：①倍长中线得到≌，从而得到，，，②利用推出≌，从而得到，，．【变形】若条件变成点为中点，则，．（）以的、边向外分别作正方形、，，反向延长线交于，则点为中点，．【辅助线】利用一线三垂直解题：①过点作于，过点作的延长线于点，②易证≌，≌，从而得到，③利用推出≌，从而得到点为中点，，④根据，，，可推出．2△ABC AB AC ABDE ACF G P EG BC =2AP AM ⊥BC △AP E △HP G AE //HG ∠EAG +∠AGH =180∘∠AGH =∠CAB SAS △AGH △CAB BC =2AP ∠GAH =∠ACB AM ⊥EG Q BC EG =2AQ AN ⊥EG 3△ABC AB AC ABDE ACF G AM ⊥BC AM EGP P EG BC =2AP E EK ⊥MP K G GL ⊥MP L △AMB △EKA △AMC GLA AM =EK =GL AAS △P EK △P GL P EG P K =P L BM =AK CM =AL P K =P L BC =2AP四、对角互补模型（垂直）1．对角互补模型（垂直）2．对角互补模型的变形（垂直）【变形】若条件变成，反向延长线交于，则点为中点，．如图，正方形，对角线、交于点，，与正方形的两边分别交于点、．【结论】①≌，≌．②，．③．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，对角线、交于点，，旋转与正方形的两边延长线分别交于、．AN⊥EG AN BC Q Q BC EG=2AQABCD AC BD O∠EOF=90∘E F△BOE△COF△AOE△BOFOE=OF EF=OE2√=S 边形OEBF14S正 形ABCDO OD⊥OB OB=OD ASA AAS△OBE△ODFO OG⊥AB OH⊥BC OG=OH ASA AAS△OGE△OHF ABCD AC BD O∠EOF=90∘∠EOF E F五、角含半角模型（直角）1．正方形中的角含半角模型（直角）2．正方形中的角含半角模型的变形（直角）【结论】①≌，≌．②，．③图一：；图二：．．【辅助线】①过点作，根据等腰三角形的判定得，再利用或推出≌．②过点作，，根据角平分线的性质得，再利用或推出≌．如图，正方形，点在边上，点在边上，．【辅助线】延长至点，使，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③，进而推出的周长等于正方形周长的一半．④平分，平分．如图，正方形，，旋转与的延长线交于点，与的延长线交于点．△BOE △COF △AOE △BOF OE =OF EF =OE 2√−=S △OBF S △OBE 14S 正 形ABCD −=S △OCE S △OCF 14S 正 形ABCD O OD ⊥OB OB =OD ASA AAS △OBE △ODF O OG ⊥AB OH ⊥BC OG =OH ASA AAS △OGE △OHF ABCD E CD F BC ∠EOF =45∘BC G BG =DE AG SAS △ABG △ADE AG =AE ∠F AG =∠F AE SAS △F AG △F AE F G =EF EF =BF +DE △CEF AF ∠BF E AE ∠DEF ABCD ∠EOF =45∘∠EOF DC E CB F3．等腰直角三角形中的角含半角模型（直角）4．等腰直角三角形中的角含半角模型的变形（直角）【辅助线】在截取，连接．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．④平分．如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，等腰直角，，，．【辅助线】过点作，并截取，连接，．CD DG =BF AG SAS △ABF △ADG AG =AE ∠EAG =∠EAF SAS △EAG △EAF EG =EF EF =DE −BF AE ∠DEF △ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘B BH ⊥BD BH =DN AH MH SAS △ABH △ADN AH =AN ∠BAH =∠DAN SAS △MAH △MAN MH =MN =+MN 2BM 2DN 2△ABD AB =AD ∠BAD =90∘∠MAN =45∘D DH ⊥BD DH =BM AH NH5．【归纳】角含半角模型（直角）【结论】①利用推出≌，，．②利用推出≌，．③．【模型的演变】如图，已知正方形中，，连接与、分别交于、．【结论】①．②的周长等于正方形边长的倍．③平分，平分．④点到的距离等于正方形边长．⑤．爱智康 2018/06/12SAS △ADH △ABM AH =AM ∠DAH =∠BAM SAS △NAH △NAM NH =MN =+MN 2BM 2DN 2ABCD ∠EAF =45∘BD AE AF N M EF =BF +DE △CEF 2AE ∠DEF AF ∠BF E A EF =+MN 2BM 2DN 2。
全等正方形9种经典几何模型
全等正方形9种经典几何模型
正方形是一种特殊的四边形，具有相等的边长和直角的特点。
在几何学中，全等正方形是指具有相等边长和角度的正方形。
以下是全等正方形的九种经典几何模型：
1. 基本模型：全等正方形的基本模型是具有四个相等边长和四个直角的正方形。
它是其他九个模型的基础。
2. 反射模型：通过沿对角线折叠，将一个全等正方形的两个角度重叠，可以得到一个全等的镜像状正方形。
3. 旋转模型：将一个全等正方形绕其中心旋转180度，可以得到一个全等于原正方形的旋转状正方形。
4. 拉伸模型：将一个全等正方形的一条边分成两段，使其中一段变长，另一段变短，可以得到一个全等于原正方形的拉伸状正方形。
5. 缩放模型：将一个全等正方形的四条边同时拉伸或收缩，使边长不变，可以得到一个全等于原正方形的缩放状正方形。
6. 组合模型：通过组合两个或多个全等正方形，可以得到一个全等于原正方形的多组合状正方形。
7. 平移模型：将一个全等正方形平移一段距离，可以得到一个全等于原正方形的平移状正方形。
8. 对称模型：以某个点为中心，将一个全等正方形对称成一个全等的对称状正方形。
9. 重叠模型：将两个全等正方形重叠在一起，可以得到一个全等于原正方形的重叠状正方形。
这些全等正方形的几何模型在建筑设计、工程制图和数学研究等领域中具有重要的应用价值。
对于理解正方形的性质和特点，了解这些模型是非常有帮助的。
与正方形有关的四个常考模型
解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：
延长 AE 交 CF 于点 G，
∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDF＝90°. 在△ADE 和△CDF 中， AD＝CD， ∠ADE＝∠CDF， DE＝DF， ∴△ADE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF.
∵∠DCF＋∠F＝90°， ∴∠DAE＋∠F＝90°. ∴∠AGF＝90°. ∴AG⊥CF，即 AE⊥CF.
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中，AO＝BO＝45°. ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°.
∴∠AOE＝∠BOF. ∠OAE＝∠OBF，
在△AOE 和△BOF 中，OA＝OB， ∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)．
图1
(2)如图 2，在正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠ DFE，则 EF＝DF－BE.
图2
模型 3 正方形中三垂直全等模型 1．(2020·贵阳开学考试)如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 D，过 A，C 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 E，F.若 AE＝4a， CF＝a，则正方形 ABCD 的面积为 17a2 ．
2．如图，平面内直线 l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔 均为 1，正方形 ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形 的面积为 5 ．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°. 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE＝CF.
(2)GE＝BE＋GD 成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
正方形专题复习【绝对精品】与正方形有关的六个常考模型
∴EF=5
2021/3/8
（3）∵AE=4，BE=3，
∴AB=3+4=7，OA=OB= 7 2
∴OA×OB= 49 ∴S四边形OEBF=2 S△AOB=
2
1 2
×OA×OB=
49 4
3.（导学216页第9题）已知：如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F
分别在AB、BC边上（AE<BE）,且∠EOF=90°，OE,DA的延长线交于点M，OF，AB的延 长线交于点N，连接MN. (1)求证：OM=ON; (2)若正方形ABCD的边长为6，OE=EM，求MN的长.
2021/3/8
如图，正方形ABCD中，对角线交于点O， ∠EOF=90°，OE，OF分别与DA，AB的延 长线交于点G，H. ①△AOG≌△BOH ②△BOE≌△COF ③△OGH是等腰直角三角形 ④
1.如图，三个边长均为1的正方形按如图所示的方式重叠在一起， A1、A12是其中两个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积 是2 .
对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.
2021/3/8
（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
探究：（1）如图②， 过点G作GP⊥BC于P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°， ∴四边形ABPG是矩形， ∴PG=AB，∴PG=BC，
2
ON=OM=2OE= 3 5 在Rt△OMN中,由勾股定理得MN= OM 2 ON2 3 10
模型四：正方形中三垂直全等模型
教材母题：课本69页第14题
例4：如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°
初二数学笔记详解-正方形几个基本模型
本次课程椺 9 week
对⻆线性质相关模型 辅助线 僻线
辅助线20 连顶点
il
鯯
2 半⻆模型
3 构造正方形
4 最值专题
一 垂直类模型
1 对⻆线性质
A
D
0连接对⻆线
得4个⻢腰直⻆三⻆形
0
20 对⻆线上的点
B
陘作垂线 连接端点
C
找等量关系
①等腰直⻆三⻆形
A
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F
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此 证 将 ADF旋转至 0ABG 在0时和 0AEG中 胩 AG
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05全等正方形中的常见模型
05全等正方形中的常见模型
正方形是一种具有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等且四个角都是直角。
全等正方形是指具有相同形状和大小的两个正方形。
在05全等正方形中，我们可以遇到一些常见的模型。
下面列举了一些常见的模型及其特点：
1. 旋转模型
在全等正方形中，旋转模型是指通过将一个正方形绕着中心点旋转一定角度得到的另一个正方形。
旋转模型具有相同的边长和面积，但角度和位置不同。
2. 镜像模型
镜像模型是指通过将一个正方形绕着某个轴对称得到的另一个正方形。
镜像模型具有相同的边长和面积，但位置关系相反。
3. 组合模型
在全等正方形中，可以通过组合多个正方形形成新的模型。
例如，将两个全等正方形的边粘合在一起，可以形成一个更大的正方形。
4. 剖分模型
剖分模型是指将一个正方形切割成多个部分的模型。
通过剖分，我们可以获得不同形状和大小的图形。
这些是在05全等正方形中常见的模型。
通过研究和理解这些
模型，我们可以更好地认识和应用全等正方形的特性。
【模型研究】正方形之对称与旋转，半角与三垂直模型（推荐）
【模型研究】正方形之对称与旋转，半角与三垂直模型（推荐）当我们学习完了全等、勾股、相似，平移、对称、旋转，如果还想再加点料的话，不妨看看正方形．正方形是一种既简单又复杂的图形，其图形本身很基本、简单，因而在此基础上可以作很多复杂的变形与构造，我们所知的几何内容，一个都不缺．本专题以近两年中考题为例，简单了解关于正方形在中考题中的应用．本文将介绍三个方面的内容：（1）正方形与对称；（2）正方形与旋转；（3）反相似手拉手．01正方形与对称正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．且看相关例子：图形的基本性质求线段长度——勾股定理对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分对称性质——对称点连线被对称轴垂直且平分构造对称——将军饮马问题构造对称——不一样的将军饮马02正方形与旋转关于旋转，关注点在于①绕哪个点旋转；②是否是特殊角度．对于正方形，可绕其中一顶点旋转，可绕对角线交点旋转，大致如下：（1）绕顶点旋转的手拉手模型（2）绕O点的等腰直角共点旋转看几个关于旋转的简单例子：旧题重看——正方形手拉手模型共点旋转——以对角线交点为旋转点旋转——旋转点在对角线上的旋转若已知旋转，寻找其中的全等或相似即可，而构造旋转，往往更考验对图形构造及旋转的理解．关于正方形的共点旋转，有如下结论：在正方形ABCD中，点P是正方形内一点，若满足∠APD=135°，则有2PA²+PD²=PB²．反之，若2PA²+PD²=PB²，则∠APD=135°．（在旋转章节中有过介绍）2018烟台中考——旋转的构造关于正方形的旋转大题也有很多，举一例：探究正方形的旋转03反相似手拉手模型在上一个例题中不难得出这样一个图形：若连接两个正方形的对角线，则会有一组旋转型相似，这里其实利用的是等腰直角三角形直角边与斜边的比例关系，可将图形简化如下：连接起对角线，转化成等腰直角三角形，则还另有结论．如图，正方形ABCD与正方形CEFG共顶点C，连接CA、CF，取AF中点M．连接ME、MD，则有：MD=ME，ME⊥ME．连接MB、MG，则有：MB=MG，MB⊥MG．在说这个证明之前，我们要说说一个模型：反相似手拉手模型（苏州学而思徐杰老师取名）手拉手模型：四线共点、两两相等、夹角相等，即可构成一组旋转型全等，称之为手拉手模型．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，即可得：△ABD≌△ACE．手拉手相似：改变全等的条件，即线段由相等变为成比例，AB:AC=AD:AE，∠BAC=∠DAE，即可构成手拉手相似．可将条件化为：当△ABC和△ADE为直角三角形，且∠BAC=∠DAE，可得△ABE∽△ACE．反相似手拉手：将其中一个三角形“反”过来，故称反相似手拉手．特别地，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，则有FC=FE，FC⊥FE．模型证明在△ABC中，分别以AB、AC为斜边分别向外侧作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边中点，连接DF、EF，求证：DF=EF，DF⊥EF．法1：构造中位线与斜边中线法2：还原手拉手法3：倍长中线法4：构造三垂直模型中考题中的反相似手拉手：动态探究——运动中的反相似手拉手方法提炼——静止的反相似手拉手观察在旋转专题中关于“半角模型”与“三垂直模型”知识点已经有所介绍，学习模型，大概有这样的不同阶段：1、认识模型——了解模型的基本条件及基本结论；2、理解模型——理解模型的构造，灵活变换条件与结论，以及条件的弱化和结论的拓展；3、构造模型——结合已知条件与相关模型，添加辅助线构造模型解决问题．以几个题目来练习回顾下关于“半角模型”与“三垂直模型”：04模型练习半角模型的基本结论半角模型中的计算三垂直得线段关系构造三垂直求面积最值三垂直模型在综合题中的应用等腰直角——构造三垂直与勾股定理结合05例题变式—当半角遇到三垂直从以上例子不难发现，半角模型常见为题型，我们需要了解的是给定什么样的条件会有半角模型，如下图，条件可以是：配置一：已知∠EAG=45°，则为半角模型；配置二：已知AE平分∠BEG或AE平分∠BAF（AG同理），则为半角模型；配置三：已知EG=BE+DG，则为半角模型．（可构造半角EAH，证H、G重合）．至于三垂直模型，则更多以一种方法运用，其作用一方面在于得到不同线段之间的数量关系，另外也可“化斜为直”，便于计算．那在什么条件下考虑构造三垂直呢？配置一：当存在等腰直角时，可考虑构造三垂直；配置二：当存在45°时，先由45°构造等腰直角，再构造三垂直．当半角模型的配置一遇到三垂直的配置二，不妨先来看个例子：典型例子：当半角遇到三垂直本题难度并不大，但巧妙地将半角与三垂直结合在一张图中，条件与结论的巧妙组合，并且还可以有更多变形．在本题图中，除了正方形条件外，其实还存在另外三个条件与结论：（1）∠DEH=90°；（2）∠EDH=45°；（3）∠CBH=45°．其中任意两个组合均可得到第三个，本题是由（1）、（2）结合得到（3）．所以，还可以：变式一：由（1）、（3）→（2）变式二：由（2）、（3）→（1）继续看一些练习：模型结论的探究模型的另类反推【写在最后】对于不同的知识点，其定位是不同的，模型亦然，认识模型、理解模型、运用模型，再去看题目的时候，可以发现所谓的变式就是条件与结论的不同组合，从条件出发选择恰当的方法，当条件各司其职时，离正确答案也就很接近了~来源：有一点数学。
小升初图形专题——五大模型
一、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积＝边长×边长＝对角线×对角线÷2S 正方形＝a ×a S 正方形＝b×b÷2（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型【共角三角形】定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
规律：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型：一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===；②22::ADE ABCS S AF AG=△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
正方形常考模型以及解题策略
正方形常考模型以及解题策略说到正方形，大家可能会想起四四方方的形状，感觉简单到不能再简单了。
但是，别小看它！正方形可不止是一个简单的几何图形，它可能在一些考试题目里，出奇不意地变成了一个“隐藏的高手”，把你给绕得头晕眼花。
说实话，正方形的题目其实并不难，只要掌握了几种常见的解题策略，能轻松搞定。
今天我们就来聊聊这些正方形的“套路”，让你再也不怕它了！正方形的最大特点就是“四边相等，角度全都是90度”。
这点要牢牢记住。
无论它在哪儿，都可以把它当成一个“边长相等”的小怪物。
说白了，正方形就像是一个比较“靠谱”的形状，能给你提供很多帮助。
在考试中，常见的正方形题目往往会涉及到它的面积、周长，或者是它与其他几何图形的关系。
最常见的就是给你一个边长，让你算面积，或者给你面积，算边长。
这样的问题如果不仔细看，容易漏掉关键的提示，所以，做题的时候，脑袋可要灵活点。
说到正方形的周长，大家应该都知道公式吧？周长就是边长的四倍，公式是“C=4a”，其中a就是正方形的边长。
看起来简单是不是？但是有些题目会把这个公式玩出花样，比如会给你多个正方形拼在一起，让你算整个图形的周长。
这个时候，要特别小心哪些边被算了重复，哪些没算到。
因为一不小心，可能就会算错了。
题目也会给你面积，让你求边长。
面积的公式是“面积=a²”，于是，你可以通过面积的数值，开根号求出边长。
听起来是不是很简单？其实也就是几个简单的数学公式加上一点耐心。
然后我们来说说正方形的对角线。
对角线这个概念大家可能不太重视，但其实它可是正方形的重要“秘密武器”。
正方形的对角线有一个非常“有趣”的性质：它的长度是边长的√2倍，公式就是“d=a√2”。
是不是听起来就很有意思？很多考试题目会通过正方形的对角线来考查你对几何的理解。
比如，给你一个正方形，要求你算它的对角线长或者是两个正方形拼在一起形成的图形的对角线长度。
如果你没搞清楚这个√2的规律，估计会被绕进去。
八年级数学下册专题05平行四边形六大模型(原卷版)
专题05 平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论1: 点M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MNPQ 是平行四边形结论2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，【变式1-1】则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。
[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。
模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。
即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD 取最大值【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC ＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是．模型三：十字架第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：（1）CE⊥DF．（2）∠AGE＝∠CDF．【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN与DM相交于点P．（1）求证：△ABN≌△DAM；（2）求∠APM的大小．【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．【变式3-3】（2023春•滨州期末）已知ABCD是一个正方形花园．（1）如图1，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，问这两条路等长吗？为什么？（2）如图2，在正方形四边各开一个门E、F、G、H，并修建两条路EG和FH，使得EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？模型四：对角互补对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
微专题六 与正方形有关的常考模型
∵∠BAC=∠PAQ=45°,∴∠BAM=∠CAQ,
∴△CAQ∽△BAM,∴
= = .
③
④
(4)求证:BM2+DN2=MN2.
(4)证明:如图所示,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR,连接RM.
∵∠BAD=90°,∠MAN=45°,∴∠DAN+∠BAM=45°.
D.3+3
3.(2021台州)如图所示,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若
AB=5,AE=DG=1,则BF=
.
4.(2021哈尔滨)已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作
BM⊥CE,垂足为点M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.
△AOE≌△BOF,△BOE≌△COF,△AOG≌△BOH,△OEF 与△OGH 都是等腰直角三角形,S 四边形 OEBF= S 正方形 ABCD
▶跟踪训练二
5.(2021 重庆)如图所示,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,M 是边 AD 上一点,连接 OM,过点 O 作 ON⊥
模型三 半角模型
模型
展示
在正方形ABCD中,∠EAF=45°,则:
常用 ①EF=BE+DF;
结论 ②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍;
③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF
在正方形ABCD中,若∠EAF=45°,FA平分
∠DFE,则EF=DF-BE
▶跟踪训练三
8.如图①所示,已知四边形ABCD是正方形,将△DAE,△DCF分别沿DE,DF向内折叠得到图②,此时
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(1)如图，在正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，则： ①EF＝BE＋DF；②△CEF 的周长为正方形 ABCD 边长的 2 倍； ③FA 平分∠DFE，EA 平分∠BEF．
MING XIAO KE TANG
(2)如图，正方形 ABCD 中，若∠EAF＝45°，FA 平分∠DFE，则 EF＝DF－BE．
MING XIAO KE TANG
∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)． ∴∠ABE＝∠DAF． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°．∴∠AGB＝ 90°，即 BE⊥AF．
MING XIAO KE TANG
(2)若已知 BE⊥AF，则 BE＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°． 又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°． ∴∠ABE＋∠BAF＝90°． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF． ∴△ABE≌△DAF(ASA)． ∴BE＝AF．
模型 4 正方形中的半角模型 4．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线 上一点，且 DF＝BE． (1)求证：CE＝CF； (2)若点 G 在 AD 上，且∠GCE＝45°， 则 GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？
MING XIAO KE TANG
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF． 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)． ∴CE＝CF．
MING XIAO KE TANG
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中， AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°． ∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°． ∴∠AOE＝∠BOF． 在△AOE 和△BOF 中，
∠OAE＝∠OBF，
OA＝OB， ∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF(ASA)．
∠BAE＝∠HEF，
∠ABE＝∠EHF， AE＝EF， ∴△ABE≌△EHF(AAS)． ∴BE＝HF，AB＝EH＝BC． ∴BC－EC＝EH－EC，即 BE＝CH． ∴HF＝CH． ∴∠HCF＝∠HFC＝45°，∠DCF＝45°． ∴CF 是正方形外角的平分线．
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MING XIAO KE TANG
解：命题仍然成立．证明： 过点 F 作 FH⊥BC，交 BC 的延长线于点 H， ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°． ∵∠ABE＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°． ∴∠BAE＝∠HEF． 在△ABE 和△EHF 中，
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【探究】 若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作 为条件能推出另一个结论成立吗？
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(1)若已知 BE＝AF，则 BE⊥AF 成立吗？
解：成立．理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD． 在 Rt△ABE 和 Rt△DAF 中， AB＝AD， BE＝AF，
数学 第十八章 平行四边形
小专题(六) 与正方形有关的四个常考模型
MING XIAO KE TANG
模型 1 正方形中相交垂线段问题——教材 P68 复习题 T8 的变式 与应用
1．如图，ABCD 是一个正方形花园，E，F 是它的两个门，且 DE ＝CF．要修建两条路 BE 和 AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关 系？为什么？
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正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如： 图 1 中的线段 AF 与 BE，图 2 中的线段 AF 与 EG，图 3 中的线段 HF 与 EG)满足：若垂直，则相等．
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模型 2 正方形中过对角线交点的直角问题 2．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，O 又是 正方形 A1B1C1O 的一个顶点，OA1 交 AB 于点 E，OC1 交 BC 于点 F． (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果两个正方形的边长都为 a，那么这两个正方形重叠部分的面 积等于多少？为什么？
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【探究 1】 变特殊为一般 若题中“点 E 是边 BC 的中点”变为“点 E 是 BC 边上任意一点”， 则上述结论是否仍然成立？ 是(填“是”或“否”)．
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【探究 2】 在探究 1 的前提下，若题中结论“AE＝EF”与条件 “CF 是正方形外角的平分线”互换，则命题是否还成立？请给出证明．
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模型 3 正方形中三垂直全等模型——教材 P69 复习题 T14 的变 式与应用
3．如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，∠AEF ＝90°，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F．求证：AE＝EF．
MING XIAO KE TANG
证明：取 AB 的中点 M，连接 ME． ∴AM＝BM＝12AB． ∵E 是 BC 的中点， ∴BE＝EC＝12BC． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC．
MING XIAO KEBME＝45°．∴∠AME＝135°． 又∵CF 是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝135°． ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°． 又∵∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC．∴△AME≌△ECF(ASA)． ∴AE＝EF．
MING XIAO KE TANG
解：BE＝AF 且 BE⊥AF，理由： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°． 又∵DE＝CF，∴AE＝DF． ∴△ABE≌△DAF(SAS)． ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF． ∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°． ∴∠AGB＝90°，即 BE⊥AF．
MING XIAO KE TANG
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(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a2．理由如下： ∵△AOE≌△BOF， ∴S 四边形 OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝14S 正方形 ABCD ＝14a2．
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正方形 ABCD 中，O 为两条对角线的交点，点 E，F 分别在 AB， BC 上．若∠EOF 为直角，OE，OF 分别与 DA，AB 的延长线交于点 G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH 是等腰直角三 角形，且 S 四边形 OEBF＝14S 正方形 ABCD．
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(2)GE＝BE＋GD 成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即∠BCD＝∠ECF＝90°． 又∵∠GCE＝45°， ∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
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∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS)． ∴GE＝GF． ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．