排队论及应用举例 剖析
排队论在超市的运用与分析学士学位论文
排队论在超市的运用与分析摘要近年来，大型超市不断的兴起给人们带来了许多便利。
但是由于种种原因大型超市的排队服务系统并不完善，常常出现了队列过长或者服务台空闲等问题，因此，优化大型超市排队服务系统，减短队列便有具有了重大意义。
本文针对沈阳乐购超市服务排队系统进行优化。
首先对排队论的相关知识进行介绍，对多服务窗等待制M/M/n/∞/∞排队模型进行了重点阐述。
其次对沈阳乐购超市浑南店顾客服务时间，到达时间等数据进行调查，取得原始数据代入排队模型进行实证分析，计算出了相应的目标参量，确定了该超市各个时段应该开放的最佳收银台的数量。
然后运用FLEXSIM对服务系统进行仿真以确定该优化方案是可行的。
在此基础上本文对乐购超市的收银通道，扫描，员工专业度等方面提出问题并对其优化，最后对超市的发展提出意见。
本文的研究成果对大型商场、医院、银行等具有收费服务系统的服务企业具有普遍的借鉴意义。
关键词：大型超市；排队服务系统；建模；仿真；优化AbstractIn recent years, the continuous rise of large supermarkets have brought a lot of convenience to peaple. However, due to various reasons, the large supermarket's queuing system is not perfect, many problems often arised, such as the queue is too long or deskes are idling. Therefore, to optimize the queuing service system of large supermarket to shorten the queue will have a great significance.This thesis aimed at to optimize the service queuing system of Shenyang Tesco Supermarket. At first, the knowledge about queuing theory has beed introduced, and the multi-window waiting for M/M/n/∞/∞queuing model has beed focused on. Secondly, a survey of customer service time, arrival time and other data has beed conducted at Shenyang Tesco supermarket Hunnan store. Then, the original data abtained from the survey has been put into the queuing model to conduct a empirical analysis. And as a result, the corresponding target parameters are calculated, and so to determine the number of cash register at various hours of the supermarket should beed opened. Next, by using the FLEXSIM service system to conduct a simulation, finding out the optimization is feasible. On this basis, this thesis discussed the problem of cashier channel, scanning equipment and staff professionalism of the Tesco supermarket,and optimizing these problem at the same time.Finally, this thesis has give some advices about how to development the supermarket.The results of this paper have universal referenceto for large shopping malls, hospitals, banks and other service enterprises who have the fee-based services systems.Keywords: supermarkets; queuing service system; modeling; simulation; optimization目录摘要 (I)Abstract (II)目录 ........................................................................................................................................ I II 1 绪论 .. (1)1.1 课题研究的背景及意义 (1)1.2 国内外研究现状 (1)1.3论文的主要研究内容及组织结构 (4)1.3.1论文主要研究内容 (4)1.3.2 论文主要组织结构 (4)2 超市排队服务系统相关理论知识 (5)2.1 排队论 (5)2.1.1 排队论的概念与发展 (5)2.1.2 排队论研究的内容 (6)2.2 排队系统 (7)2.2.1 排队系统的组成 (7)2.2.2 排队系统的主要指标 (9)2.2.3排队系统的最优化 (10)2.3 排队系统的建模 (12)2.3.1系统建模的要求 (12)2.3.2系统建模的原则 (12)2.3.3系统建模的方法 (13)2.3.4系统建模的步骤 (13)2.3.5排队系统建模的符号与分类 (14)2.3.6 M/M/n/∞/∞模型 (14)2.4 排队系统的仿真 (15)2.4.1 离散事件系统仿真 (15)2.4.2 FLEXSIM软件的介绍 (16)3 服务系统数据采集与指标计算 (17)3.1 沈阳乐购超市周边环境描述 (17)3.2 数据采集 (17)3.2.1 顾客到达时间服从分布的研究 (20)3.2.2 顾客服务时间服从分布的研究 (23)3.3 系统指标计算及优化 (25)3.3.1 超市收银服务系统应用排队模型 (25)3.3.2 系统指标计算 (26)3.4 大型超市各时段最优服务台数确定 (27)4 顾客排队状况的计算机仿真 (31)4.1 排队服务系统模型假设 (31)4.2 顾客排队状况的计算机仿真 (32)4.3 超市排队服务系统的主要参数技术指标结果分析 (37)5 大型超市服务工作优化设计 (40)5.1 现有超市收银服务工作 (40)5.2 超市收银通道优化 (41)5.3 超市商品扫描结算工作优化 (43)5.4 员工专业度的改进 (45)5.4 对超市发展的建议 (45)结论 (46)致谢 (47)参考文献 (48)附录A (50)附录B (58)1 绪论1.1 课题研究的背景及意义排队服务系统在人们实际生产生活中应用十分广泛，如顾客到超市付款，病人在医院排队看病，此外，计算机网络中数据的存储转发、电话机的占线问题、交通枢纽的车船堵塞和疏导、水库的存储调节等等都是排队现象。
哈尔滨工业大学运筹学教案排队论的应用案例分析PPT课件
最大排队乘客数：
Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0
(4)
排队中最大延误时间：
ts=t1-t0 (若ts≤0，则表示没有排队产生) (5)
平均排队乘客数：
Q
1 2
(Q1
Q2 )
1 2
(
)
t0
(6)
排队平均延误时间：
排队乘客总的延误时间：
t
1 2
(t1
t0)
D=Q ts
2.@pel(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且不 允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到服务离开的概 率
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
26
等待制排队模型的基本参数
1.顾客等待的概率:Pwait=@peb(load,S), 其中S是服务台或服务员的个数，load= λ / μ =RT, 其中R= λ ,T= 1/μ ，R是顾客的平均到达率，T是平 均服务时间
2.顾客的平均等待时间：Wq= Pwait·T/(S-load), 其中T/(S-load)可以看成一个合理的长度间隔，
2019/9/21
可编辑
14
对一个排队系统来说，最大的排队乘客数为134人，排队 乘客的总的延误时间为73、38 min，而对整个站台来 说，有两个这样的排队系统，因此在一列车到来后的出站 乘客
将会有268人需要排队等候，排队中最大的延误时间为 65.72s，所有乘客总的排队时间为146.76 min。若排 队系统中最大延误时间大于列车发车间隔，则在楼梯和自 动扶
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队论的应用
排队论的应用排队是人们日常生活中常见的一种现象，它可以在各个领域中被发现。
排队有时看似简单，但实际上是一个涉及着许多细节和规则的复杂问题。
排队论是研究这种现象的一种数学方法，它可以帮助我们更好地理解和优化排队系统。
排队论的应用广泛而深入，涉及各个方面。
首先，排队论在运输领域得到了广泛应用。
例如，在公共交通系统中，排队论可以帮助优化乘客上下车的流程，减少等待和拥堵时间。
同时，在物流领域，排队论可以协助规划货物的运输路线和时程，提高运输效率。
其次，排队论在服务行业中也有重要的应用。
例如，在银行、医院和餐厅等场所，排队论可以帮助优化客户的等待时间，提高客户满意度。
通过合理安排服务窗口、分配服务资源以及优化服务流程，排队论可以帮助提供更高质量的服务体验。
此外，排队论还在制造业中发挥重要作用。
在生产线上，排队论可以帮助优化机器和工人的调度，提高生产效率。
通过合理调整工作流程、减少等待时间，排队论可以帮助企业提高生产线的整体效益。
不仅如此，排队论还在通信网络中得到了广泛应用。
在互联网时代，人们对于网络服务的需求越来越高，因此如何更好地管理网络流量成为了一个重要的问题。
通过排队论，可以帮助网络运营商合理分配带宽和资源，提高网络的可用性和稳定性。
另外，排队论还在金融行业中发挥着重要作用。
在股票交易所中，随着投资者数量的增加，交易系统的负荷也在不断增加。
排队论可以帮助交易所合理规划交易系统的容量和速度，提高交易效率和可靠性。
总体而言，排队论的应用范围非常广泛，几乎涉及到人们生活的方方面面。
通过排队论，我们可以更好地理解和优化排队系统，提高效率、降低成本。
然而，要注意的是，排队论只是一种方法论，具体的应用需要根据实际情况和需求来进行适当的调整和优化。
希望随着科技的发展和人们对服务质量的要求越来越高，排队论能够在更多领域中得到应用并取得更大的成就。
排队论(Lingo方法)
线性规划
01
Lingo方法是线性规划的一种求解算法，可以用于求解排队论中
的优化问题。
迭代法
02
对于一些复杂的问题，可以使用迭代法结合Lingo方法进行求解，
以逐步逼近最优解。
启发式算法
03
对于一些大规模问题，可以使用启发式算法结合Lingo方法进行
求解，以提高求解效率。
04
Lingo方法在排队论中的 案例分析
Lingo方法在排队论中的优化问题
最小化等待时间
通过Lingo方法，可以优化等待时间，以最小化顾 客或任务的等待时间。
最小化队列长度
通过Lingo方法，可以优化队列长度，以最小化等 待空间的使用。
最大化服务台效率
通过Lingo方法，可以优化服务台效率，以提高服 务台的工作效率。
Lingo方法在排队论中的求解算法
等问题。
计算机科学
排队论用于研究计算机 网络的性能分析、负载 均衡和分布式系统等问
题。
排队论的发展历程
1903年，费尔南多·柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化 体系，为排队论奠定了理论基础。
1950年代，肯德尔提出了肯德尔模型，为多服务台排 队模型奠定了基础。
1930年代，厄兰格和朱伯夫提出了厄兰格模型，为单 服务台排队模型奠定了基础。
Lingo方法的适用范围
Lingo方法适用于各种线性规划问题，包括生产计划、资源分 配、运输问题等。
尤其适用于具有大量约束条件和决策变量的复杂问题，能够 有效地解决这些问题的最优解。
Lingo方法的优势和局限性
Lingo方法的优势在于它能够处理大规模的线性规划问题，并且具有较高的计算效率和精度。此外，Lingo方法还具有灵活性 和通用性，可以应用于各种不同的领域和问题。
遗传算法在排队论问题中的应用案例研究
遗传算法在排队论问题中的应用案例研究引言：排队论是一门研究人们在排队等待服务过程中效率和性能的学科。
在现实生活中，我们经常会遇到排队等待的情况，如超市收银台、医院候诊室等。
为了提高排队系统的效率，减少等待时间，研究者们一直在探索各种方法。
其中，遗传算法作为一种优化算法，被广泛应用于排队论问题的研究中。
本文将通过介绍一个具体的应用案例，探讨遗传算法在排队论问题中的应用。
一、排队论问题简介排队论问题是研究排队系统中的等待时间、服务能力等性能指标的学科。
在实际应用中，我们常常需要优化排队系统的性能，以提高服务效率和用户满意度。
排队论问题的核心是如何合理分配资源和调度顾客，使得整个系统的性能最优。
二、遗传算法在排队论问题中的原理遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它通过模拟自然界的选择、交叉和变异等过程，逐步搜索最优解。
在排队论问题中，遗传算法可以用来寻找最优的资源分配和顾客调度方案。
三、案例研究：超市收银台排队优化以超市收银台排队优化为例，介绍遗传算法在排队论问题中的应用。
1.问题描述：假设一个超市有多个收银台，每个收银台的服务时间和到达顾客的间隔时间都是随机的。
我们的目标是设计一个最优的顾客调度方案，使得整个超市的平均等待时间最短。
2.遗传算法的应用：首先，我们需要定义适应度函数，用来评估一个顾客调度方案的优劣。
适应度函数可以根据等待时间、服务时间、顾客数量等指标来进行评估。
然后，我们使用遗传算法来搜索最优解。
具体步骤如下：（1）初始化种群：随机生成一组初始的顾客调度方案。
（2）选择操作：根据适应度函数，选择一部分优秀的个体作为父代。
（3）交叉操作：对选出的父代进行交叉操作，生成新的子代。
（4）变异操作：对子代进行变异操作，引入新的基因组合。
（5）评估适应度：计算子代的适应度值。
（6）选择操作：根据适应度函数，选择一部分优秀的个体作为下一代的父代。
（7）重复步骤（3）-（6），直到达到终止条件。
排队论及应用举例-剖析
t 1 e 。通过这种
方法，就可以计算出某一特定时间顾客到达
图6-4 指数分布
t
的概率。
例如：在顾客是单个到达服务系统（ 1 ）
t 时，可通过两种方法得到表 5-1。一种是根
（1）
（2） 下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率 1.00 0.61 0.37 0.22 0.14
“只发生一次事件（appendectomy-only once case）”：顾客 重新要求服务的可能性极小，即不可能重新要求服务。如：机器 进行彻底检查和修理后，在一段时间内不会重新维修。
顾客源有限时，对回头客服务的任何改变都会改变顾客到达率，引起排队问题的特征的改变。
三、排队模型
问题一：顾客等待。 银行希望知道有多少顾客在等待其服务到车（drive-in）出纳员的服务？出纳员的效率 是多少？如果要求在95%的时间内，任一时刻系统中不超过三辆车，则其服务率应达到什 么水平？ 问题二：设备选择。 公司有三中不同的设备可以提供同一种服务，设备功率越大，成本也越高，但服务速度 越快。因此作决策时，成本与收入是紧密相联的。 问题三：服务人数决策。 经销公司的一个销售部门必须决定一个柜台雇佣多少职员。职员越多，成本也越高，但 服务等待时间的减少能带来部分成本的节约。 问题四：有限总体。 前述都是无限总体，而对于有限顾客总体，如：车间有若干台设备，一名维修工负责4 台设备的运转，在充分考虑设备闲置成本和维修工的服务成本的基础上，决定应该雇佣多 少名维修工？
等待成本 最佳能力 服务设施能力 图6-1 顾客到达 服务成本与等待成本的关系 服务需求量 服务 时间 普通 能力
排队问题的实际应用
如图6-2表示的是到达某一服务机构（银 行）的人数和对这一机构服务的需求（信 贷人员）。 在服务系统营业过程中，每一小时到达 系统的顾客人数是一个很重要的变量。从 提供服务的观点来看，顾客对于服务的需 求是不断变化的，而且经常超过正常的服 务能力。可以通过不同的方法对到达人数 加以控制。如特殊顾客通道、临时加班、 设定等待座位数等。一般服务时间受到服 务速度、机器运转速度的影响，另外，服 务时间也会因使用的工具、材料或计划的 不同而变化。 到 达 的 数 目
排队论
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互 关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验 有关分布。 3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行 特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进 系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有 Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负 指数分布，则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程， 而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随 机过程的生灭过程。
2 排队系统的特征 为了描述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成 (1)输入过程 顾客陆续来到的过程，设N(t):(0，t)时间内来到的顾客数(非负 整数值) {N (t ), t 0} 是随机过程，又设 Ti 第i个顾客到达的时间，从 j {Ti } 随机变量序列， i Ti Ti 1 时间间距(隔) N (t ) max{ j, i t} 而 i 1 一般假设顾客来到时间间隔 i 相互独立与随机变量 有相同的； 分布 可以根据原始资料，由顾客到达的规律、作出经验分布， 然后按照统计学的方法(如x 检验法)确定服从哪种理论分布，并 估计它的参数值。我们主要讨论 概率分布为负指数分布 M (另外有定长分布D， k阶爱尔兰分布 E k ，一般独立分布GI等)
n 1
(9.2) 若能求解这组方程，则可得到在时刻t系统状态概 率分布 { pn ( t ) , n s} 称为生灭过程的瞬时解，一 般这种瞬时解是难以求得的
3.统计平衡下的极限解 实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生 灭过程微分差分方程组的极限解。 lim 令 t pn( t ) pn 由pn' ( t ) 0 及(9.1)(9.2)式得当S为有限状 态集时，(9.1)式变为 1 n k n 1 p n 1 ( n n ) p n n 1 p n 1 0 (9.3)
排队论在供应链管理中的应用探究
排队论在供应链管理中的应用探究供应链管理是一个复杂的领域，它涉及到从原材料采购到产品销售的整个流程，需要考虑生产计划、库存管理、物流配送等多个方面的问题。
在这个过程中，排队论是一种非常有用的工具，它可以帮助企业优化生产流程，提高效率，减少浪费。
排队论是一种数学方法，它通过模拟排队现象的变化来预测排队等待时间、系统容量、利用率等指标。
在供应链管理中，排队论可以用来优化生产线的布局、产品的库存管理、订单的处理等方面。
下面就从这几个方面来探究排队论在供应链管理中的应用。
1、生产线布局的优化在生产流程中，如果每个工作站的加工时间不同，那么就会出现排队等待的情况。
如果每个工作站的产能都相等，那么就会出现浪费和瓶颈。
排队论可以帮助企业合理安排生产线的布局，减少排队等待的时间，提高生产效率。
排队论的核心是看待整个生产线为一个排队系统，包括到达队列、服务台和离开队列等多个部分。
通过模拟不同的生产线布局，可以计算出每个工作站的最优加工时间和订单的最大处理能力。
从而优化生产线的布局，提高生产效率。
2、库存管理的优化在供应链管理中，库存管理是非常重要的一环。
如果企业的库存过多，就会造成浪费和资金占用，如果库存过少，就容易出现缺货和延迟交货的情况。
排队论可以帮助企业优化库存管理，实现精准的库存控制。
首先，要理解库存的本质。
库存是为了满足未来的需求而提前储备的物料或者货品。
在排队论中，库存被认为是等待加工的空间，它会占用服务台的容量。
通过模拟不同的库存管理策略，可以计算出最优的库存水平和订单处理能力，从而实现库存控制和订单的优化。
3、订单的处理在供应链管理中，订单处理是一个非常重要的环节。
如果订单处理能力不足，就会出现延迟交货、顾客投诉等问题。
排队论可以帮助企业优化订单处理流程，实现高效的订单处理和交货。
对于订单处理，排队论的核心是分析订单到达的频率和订单的处理时间。
通过模拟不同的订单处理策略，可以计算出最优的处理能力和订单的最大处理量。
排队论详解及案例
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
当 N (t满) 足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布 （1）平稳性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客数 N (t ) ，只与区间长度
有关而与时间起点 t0 无关。
（2）无后效性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客。 数 N (t ) ，与 t0 以前
到达的顾客数独立。 （3）普通性：在充分短的时间区间 ∆t 内，到达两个或两个以上顾客的概率
• 如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（1）排队系统工作状况的衡量 一个排队系统运行状况的好坏不仅会影响顾客的利益，也会影响服务 机构的利益，甚至会影响到社会效果的好坏。通过研究运行系统在平 衡状态下的概率分布及其数字特征，了解排队系统运行的效率、服务 质量等等，进而可以判断系统运行状况的优劣。
cmLiu@shufe
Operations Research
第九章
排队论
9.1 基本概念 9.2 几个常用的概率分布 9.3 单服务台负指数分布的排队系统 9.4 多服务台负指数分布排队系统模型 9.5 一般服务时间M/G/1模型 9.6 排队系统的建模与优化 9.7 电子表格建模和求解 9.8 案例分析 办公室设施公司（OEI）服务能力分析
cmLiu@shufe
带优先权排队论-模型简介应用案例分享
即
W1-2 = W = 0.33937小时
从而
W2 =
故
4é
1
ù
0.33937
(0.3337)
= 0.34126 小时
ê
ú
3ë
4
û
1
W2 - = 0.00793 小时
m
案例求解
同理，令 W1-3 为随机到达的病人的平均等待时间，
有 W1-3 = 0.1W1 + 0.3W2 + 0.6W3
的顾客到达，也不能强制让一个正在接受服务的低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级的顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客的服务，并马上开始为高优先级顾客服务。
模型简介
1
模型假设：
1. 两个模型都存在N个优先级（1级代表最高）
2. 服务顺序首先基于优先级，同一优先级内，依据“先到先服务”
W1-3 与一般M/M/s模型中当s=2, μ=3，λ=1 +2 +3 =2时
W 的取值相同。
即
W1-3 = W = 0.375小时
从而 W3 =
1
0.375 - 0.1(0.3337) - 0.3(0.34126)] = 0.39875 小时
[
0.6
故
1
W3 -
m
= 0.06542 小时
3
案例求解
时间是相同的。
案例求解
3
由于病危病人和严重病人的治疗不能耽误，所以这是一个强占性优先权
排队模型。数据显示μ=3，λ=2，因此可求得1 =0.2，2 =0.6，3 =1.2。
排队论在超市收银台服务系统的运用与分析
沈阳理工大学学士学位论文目录1 绪论 (1)2 超市收银排队服务系统分析 (2)2.1 超市收银排队服务系统的特征描述 (2)2.2 超市收银排队服务系统的假设 (3)2.3 超市收银排队服务系统模型的建立 (4)3 服务系统数据采集与指标计算 (5)3.1 北京华联综合超市简介 (5)3.2 数据采集 (5)3.3 顾客到达分布的研究 (9)3.4 顾客服务时间服从分布的研究 (11)4 系统指标计算及优化 (14)4.1 系统指标计算 (15)4.2 大型超市各时段最优服务台数确定 (16)5 顾客排队状况的计算机仿真 (20)5.1 排队服务系统模型假设 (20)5.2 顾客活动流程与仿真程序流程分析 (21)5.3 顾客排队状况的计算机仿真 (22)5.4 超市排队服务系统的主要参数技术指标结果分析 (27)6 大型超市服务工作优化设计 (30)6.1 超市收银通道优化 (30)6.2 员工专业度的改进 (30)6.3 对超市发展的建议 (31)结论 (32)参考文献 (33)1 绪论排队现象是我们生活中常遇见的现象，例如：上下班做公共汽车，等待公共汽车的排队，顾客到商店、超市购物形成的排队，售票处购票形成的排队等。
一般来说，当某个时刻要求服务的数量超过服务机构的容量时，就会出现排队现象。
排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生拥挤现象的科学，是运筹学的一个重要分支。
它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决随机服务系统的最优设计和最优控制。
应该安排排队者排几条队伍、设立几个服务台以及如何调配服务工具才能使效用达到最大化以及如何提高队伍移动的效率来减少拥堵的现象，从而减少顾客的平均等待时间和平均等待队长，这些都是排队论研究的范畴。
随着零售业的迅速发展及人们生活水平的不断提高，大型超市的数量大量的增加，这就导致他们之间的竞争日益激烈。
并且随着生活节奏的加快，人们更加珍惜时间，越来越没有耐心长时间排队。
运筹学中的排队论分析与应用
运筹学中的排队论分析与应用运筹学是一门研究如何最优化决策的学科。
在现代社会中，许多场景下都存在排队现象，例如银行、超市、机场等场所。
排队论作为运筹学的一个重要分支，专门研究如何通过合理的排队策略来优化服务效率与用户体验。
本文将介绍排队论的基本原理、应用场景以及如何利用排队论进行实际问题的分析与解决。
一、排队论的基本原理排队论是研究排队系统的理论与方法，其基本原理包括排队模型、排队规则以及排队指标。
1. 排队模型排队模型是对排队系统进行抽象和建模的过程，常用的排队模型有M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
其中，M表示顾客到达过程符合泊松分布，而服务过程符合指数分布；1表示一个服务台，c表示多个服务台；G表示总体服从一般分布。
2. 排队规则排队规则是指在排队系统中，顾客到达和离开的规则。
常用的排队规则有先到先服务（First-Come-First-Serve，简称FCFS）、最短作业优先（Shortest Job First，简称SJF）、优先级法则等。
3. 排队指标排队指标是对排队系统性能的度量，常用的排队指标包括平均等待时间、平均逗留时间、系统繁忙度等。
这些指标可以帮助我们评估排队系统的效率，并进行比较和优化。
二、排队论的应用场景排队论的应用场景非常广泛，几乎可以涵盖各个行业。
下面以几个典型的应用场景为例，介绍排队论在其中的分析与应用。
1. 银行排队银行是排队论的典型应用场景之一。
通过排队论的分析，银行可以确定合理的柜台数量和工作人员配置，以减少客户的等待时间和提高服务效率。
此外，银行还可以考虑引入预约系统、自助服务等方式，进一步优化排队系统。
2. 售票窗口排队售票窗口也是一个常见的排队场景，如电影院、火车站等。
利用排队论，可以根据顾客到达的速率和服务时间的分布，预测等待时间，并提前安排足够的窗口进行服务，以提高售票效率和用户体验。
3. 交通信号灯优化交通信号灯的优化也可以借助排队论的方法。
通过对道路上车辆到达和通过的流量进行统计和分析，可以调整信号灯的信号周期和配时方案，以减少交通拥堵和减少等待时间。
运筹学 排队论
运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。
排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。
本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。
什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。
排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。
•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。
排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。
常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。
到达过程的特征决定了顾客到达的规律。
服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。
常用的服务过程有指数分布、正态分布等。
服务过程的特征决定了服务的速度和效率。
排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。
常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。
这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。
性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。
这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。
排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。
M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。
运筹学第8章排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
排队论在通信网络中的应用研究
排队论在通信网络中的应用研究当前，通信网络已经成为了人们生活中不可或缺的组成部分，而在这个网络中，排队论已经被广泛应用。
那么，什么是排队论，它在通信网络中的应用有哪些呢？本文将就这个话题展开讨论。
一、什么是排队论？排队论是一种研究随机事件与排队系统性能关系的数学工具。
它的研究对象是由顾客到达某个服务设施，等待服务，接受服务和离开服务设施的整个过程，这个过程可以理解为顾客的排队过程。
排队问题产生的原因是两个方面的矛盾。
一方面，服务设施不能过高地空闲，要充分利用其资源，使利润最大化，最大限度地满足顾客需求;另一方面，客户的等待时间不能太长，以便指定服务设施满足他们的需求。
排队论就是解决这个矛盾的一种工具，它可以帮助我们设计一个高效的排队系统。
二、排队论在通信网络中的应用通信网络中的流量是一个经典的排队问题。
在网络中，数据包通常需要等待路由器处理并进入下一个节点，这时候就会产生排队过程。
另外，网络中的吞吐量和延迟也需要通过排队论来进行分析。
下面将分别介绍一下这几个方面。
1. 网络的流量控制网络的流量控制是一种管理网络流量的技术，它能够协调网络访问请求和网络资源，使网络资源充分利用，保证网络质量和服务质量。
流量控制可以通过阻止一些请求或增加一些请求的延迟来控制。
在这个过程中，排队论就可以起到重要的作用。
我们可以通过研究网络拥塞和排队的关系来制定适当的策略，从而控制网络的流量。
2. 延迟度量和吞吐量计算延迟是指数据包从发送到接收所需的时间，包括排队延迟、传输延迟和处理延迟等。
对于不同的应用，都有相应的延迟要求。
除了延迟之外，吞吐量也是网络性能的重要指标之一，它可以表示网络中单位时间内所能通过的数据总量。
排队论可以帮助我们对上述两个指标进行计算和分析，这有助于我们优化网络的性能。
3. 路由器排队模型除此之外，排队论还可以用来建立路由器带宽分配和服务的队列模型。
在一个路由器中，多个数据包争夺带宽，排队论可以帮助我们计算不同服务质量需求下的带宽分配策略，以便满足流量的各种需求。
排队论的应用
排队论的应用——食堂排队问题刘文骁摘要本文通过运筹学中排队论的方法，为食堂排队问题建立模型，研究学生排队就餐时间节约的影响因素，通过简单计算，得出影响最大因素。
排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。
本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，找出可以减少排队时间的最大影响因素。
关键词排队论；M/M/s模型；食堂排队引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。
饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。
减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。
1.多服务台排队系统的数学模型1.1排队论及M/M/s模型排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。
在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象。
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。
其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。
排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。
当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。
据此，可得任一状态下的平衡方程如下：由上述平衡方程，可求的：平衡状态的分布为：)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,11021 ==---n C n n n n n μμμλλλ有概率分布的要求：10=∑∞=n n p ，有：1100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=p C n n ，则有：)3(1100 ∑∞=+=n nC p注意：（3）式只有当级数∑∞=on n C 收敛时才有意义，即当∑∞=〈∞on n C 时才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。
运筹学—排队论
（queuing system）。
• 本质
– 研究服务台与顾客之间服务与接收服务的效率
问题。
• 总体目标
– 以最少的服务台满足最多的客户需求。
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2.2 排队系统的一般形式
• 排队可以是有形的队列，也可以是无
形的队列。排队可以是人，也可以是
物。
服务系统
顾客源
顾客到来
排队结构
服务规则
排队规则
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服
务
机
构
顾客离去
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3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
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3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客
数量是否有限。
潜在顾客数量
无限顾客源
有限顾客源
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人数
例如：公司只有
– 没事干的时候会让人觉得比有事干的时候要长。
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– 独自等待会让人觉得比大家一起等待要长。
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案例-2 医院排队系统
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形形色色的排队系统
系统类型
顾客
服务台
公路收费站
汽车
收费员
航班服务
人
飞机
出租车服务
人
出租车
电梯服务
人
电梯
消防部门
火灾
消防车
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其次，在设定时间长度为 T，然后确定在时间 T段内有多少顾客到达并进入系统？通常假定单位 时间到达的人数服从泊松分布。
4. 第一种情况：指数分布。 当顾客已完全随机
方式到达服务机构时，相邻到达时间间隔服
最小值
总成本 服务成本
等待成本
最佳能力
服务设施能力 图6-1 服务成本与等待成本的关系
顾客到达
服务需求量
服务 时间
普通 能力
时间
时间
图6-2 到达与服务的关系
二、排队系统
如图 5-3所示，一个排队系统有三个主要部分 组成： 一是：顾客源和顾客到达系统的方式 二是：服务系统 三是：顾客离开系统的方式 (是否回到顾客源？ )
在服务系统营业过程中，每一小时到达 到 系统的顾客人数是一个很重要的变量。从 达 提供服务的观点来看，顾客对于服务的需 的 求是不断变化的，而且经常超过正常的服 数 务能力。可以通过不同的方法对到达人数 目 加以控制。如特殊顾客通道、临时加班、 设定等待座位数等。一般服务时间受到服 务速度、机器运转速度的影响，另外，服 务时间也会因使用的工具、材料或计划的 不同而变化。
2. 无限总体。 对于服务系统来说顾客数量足够大，由于人数增减而引起的总体规模的变化不会对 系统的概率分布产生显著的影响。
3. 顾客到达的分布。 这是一个到达率或单位时间到达数的问题。固定到达的分布呈周期性的，即 相继到达的两个顾客之间的时间间隔几乎相同。在生产系统中，通常运用一些技术控制顾客在固 定的时间间隔内到达。多数情况下，顾客的到达呈随机分布。
从指数分布。如图 5-4所示。其概率密度函
数为：
f(t)
f (t) ? ?e??t
（6-1 ）
期望值 ?
1
?
方
差?
1
?2
式中 ? 代表单位时间段到达的顾客数量。
图5-4中曲线下方的阴影区域即为函数 5-1在
正数范围内的积分，即 1 ? ? e? ?。t 通过这种
方法，就可以计算出某一特定时间顾客到达
顾客源
服务系统 等待队列 服务机构
离开
顾客到达
到达服务系统的顾客可以分为两类：有限总体和无限总体。
图6-3 排队系统的组成
1. 有限总体。 要求服务的顾客数是有限的，通常是排成一队的。顾客总体中的某一位离开其位置 （如一台设备停机待修理），顾客就少一个，同时减少了下一次要求服务的概率。相反，当被服 务的顾客回到顾客总体中，总体人数对服务需求的概率也就增加了。
问题中的权衡。
等待成本随着服务能力的增大而减小，可 以用负指数曲线描述；服务成本可以简单地 用线性变化表示；总成本或复合成本则是U 型曲线。所以，理想的最优化（最小）成本 位于服务成本曲线和等待成本曲线的交点上。
排队问题的实际应用
如图6-2表示的是到达某一服务机构（银 行）的人数和对这一机构服务的需求（信 贷人员）。
第六章 排队论
关键词
排队（Queue） 指数分布（Exponential Distribution） 单通道、单阶段（Single Channel, single Phase） 排队系统（Queuing System） 泊松分布（Poisson Distribution） 多通道、多阶段（Multichannel, Multiphase ） 到达率（Arrival Rate） 服务率（Service Rate） 有限队列（Finite Queue）
时间T内
有n人到
.224
达的概率
.20 .149
.224
期望值 ? ? ? 3 方差
.168
平滑曲线
PT (n)
?
(?T ) n e ??T n!
（ 6-2 ）
.10
.102
式5-2表示在 T时间内有 n个顾客
.05
到达的概率。例如，如果一个
0
系统的平均到达率是每分钟有 3
个顾客到达（ ? ? 3 ），要求 1
图6-4 指数分布
t
的概率。
例如：在顾客是单个到达服务系统（ ? ? 1 ）
时e，?可? t 通过两种方法得到表 5-1。一种是根
据
式，另e一? x种可以应用负指数分布
。
表的第二栏是下一个到达的顾客时间间隔超
过 t 分钟的概率；第三栏为下一个顾客到
达时间小于 t 分钟的概率。
（1）
t 分钟
0 0.5 1.0 1.5 2.0
分钟内有 5个人到达的概率为：
.050
12 3 4 5 6
8
到达人数n
10 12
图6-5 泊松分布（ ? T ? 3 ）
P1 (5) ?
(3 ? 1) 5 e ?3?1 5!
?
0.101
? 解决排队问题的基本目标是平衡等待成本与增加资源引起的成本之间的关系。对 于一个服务系统来说，这意味着若要给顾客创造很短的等待时间，服务台的利用 率将回降低。排队问题中一个关键问题是用什么样的程序或优先规则来选择下一 个产品或顾客作为服务对象。
成本效益平衡
成
本
如图6-1所示，是一个典型（稳定）的客运 ＄
（2）
（3）
下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率
下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2)
1.00
0
0.61
0.39
0.37
0.63
0.22
0.78
0.14
0.86
5. 第二种情况 :泊松分布。 主要针 对某一时段 T内有n人到达的概
率，到达过程是随机的，则服 从泊宋分布。如图 5-5所示。计 算公式为：
一、排队问题的经济含义
? 在日常经济生活中，经常遇到排队现象，如：在超市等待结帐、工厂中等待加工 的工件或待修理的机器、开车上班等，排队论是运作管理中重要的方法，它是计 划、工作设计、存货控制以及其他问题的基础。
? 每一个排队事例的核心问题就是对不同因素作权衡决策，管理者必须衡量为提供 更快捷服务而增加的成本和等待费用之间的关系。
? 一种情况是：直接对成本进行权衡决策，例如考虑到顾客排队等待可以增加设备， 就要权衡增加设备的成本与多服务顾客所带来的价值的大小，决策比较直观和容 易；
另一种情况是：排队问题是对医院床位的需求，可以估算增加床位带来的房屋建 筑、附加设备以及增加的维护费用等成本，但衡量标准时什么？因为用金钱成本 来度量病人对病床的需求显然是徒劳的，尽管可以估计出医院因病床不足会损失 多少收入，但无法估计病人因得不到适当的医护所遭受的损失。