排队论及应用举例 剖析

一、排队问题的经济含义
? 在日常经济生活中，经常遇到排队现象，如：在超市等待结帐、工厂中等待加工 的工件或待修理的机器、开车上班等，排队论是运作管理中重要的方法，它是计 划、工作设计、存货控制以及其他问题的基础。
? 每一个排队事例的核心问题就是对不同因素作权衡决策，管理者必须衡量为提供 更快捷服务而增加的成本和等待费用之间的关系。
（2）
（3）
下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率
下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2)
1.00
0
0.61
0.39
0.37
0.63
0.22
0.78
0.14
0.86
5. 第二种情况 :泊松分布。 主要针 对某一时段 T内有n人到达的概
率，到达过程是随机的，则服 从泊宋分布。如图 5-5所示。计 算公式为：
从指数分布。如图 5-4所示。其概率密度函
数为：
f(t)
f (t) ? ?e??t
（6-1 ）
期望值 ?
1
?
方
差?
1
?2
式中 ? 代表单位时间段到达的顾客数量。
图5-4中曲线下方的阴影区域即为函数 5-1在
正数范围内的积分，即 1 ? ? e? ?。t 通过这种
方法，就可以计算出某一特定时间顾客到达
? 一种情况是：直接对成本进行权衡决策，例如考虑到顾客排队等待可以增加设备， 就要权衡增加设备的成本与多服务顾客所带来的价值的大小，决策比较直观和容 易；
另一种情况是：排队问题是对医院床位的需求，可以估算增加床位带来的房屋建 筑、附加设备以及增加的维护费用等成本，但衡量标准时什么？因为用金钱成本 来度量病人对病床的需求显然是徒劳的，尽管可以估计出医院因病床不足会损失 多少收入，但无法估计病人因得不到适当的医护所遭受的损失。
图6-4 指数分布
t
的概率。
例如：在顾客是单个到达服务系统（ ? ? 1 ）
时e，?可? t 通过两种方法得到表 5-1。一种是根
据
式，另e一? x种可以应用负指数分布
。
表的第二栏是下一个到达的顾客时间间隔超
过 t 分钟的概率；第三栏为下一个顾客到
达时间小于 t 分钟的概率。
（1）
t 分钟
0 0.5 1.0 1.5 2.0
最小值
总成本 服务成本
等待成本
最佳能力
服务设施能力 图6-1 服务成本与等待成本的关系
顾客到达
服务需求量
服务 时间
普通 能力
时间
时间
图6-2 到达与服务的关系
二、排队系统
如图 5-3所示，一个排队系统有三个主要部分 组成： 一是：顾客源和顾客到达系统的方式 二是：服务系统 三是：顾客离开系统的方式 (是否回到顾客源？ )
首先，分析相邻两个顾客到达的时间间隔是否服从某些统计分布？通常假定相邻两次到达的时 间间隔服从指数分布
其次，在设定时间长度为 T，然后确定在时间 T段内有多少顾客到达并进入系统？通常假定单位 时间到达的人数服从泊松分布。
4. 第一种情况：指数分布。 当顾客已完全随机
方式到达服务机构时，相邻到达时间间隔服
顾客源
服务系统 等待队列 服务机构
离开
顾客到达
到达服务系统的顾客可以分为两类：有限总体和无限总体。
图6-3 排队系统的组成
1. 有限总体。 要求服务的顾客数是有限的，通常是排成一队的。顾客总体中的某一位离开其位置 （如一台设备停机待修理），顾客就少一个，同时减少了下一次要求服务的概率。相反，当被服 务的顾客回到顾客总体中，总体人数对服务需求的概率也就增加了。
2. 无限总体。 对于服务系统来说顾客数量足够大，由于人数增减而引起的总体规模的变化不会对 系统的概率分布产生显著的影响。
3. 顾客到达的分布。 这是一个到达率或单位时间到达数的问题。固定到达的分布呈周期性的，即 相继到达的两个顾客之间的时间间隔几乎相同。在生产系统中，通常运用一些技术控制顾客在固 定的时间间隔内到达。多数情况下，顾客的到达呈随机分布。
在服务系统营业过程中，每一小时到达 到 系统的顾客人数是一个很重要的变量。从 达 提供服务的观点来看，顾客对于服务的需 的 求是不断变化的，而且经常超过正常的服 数 务能力。可以通过不同的方法对到达人数 目 加以控制。如特殊顾客通道、临时加班、 设定等待座位数等。一般服务时间受到服 务速度、机器运转速度的影响，另外，服 务时间也会因使用的工具、材料或计划的 不同而变化。
第六章 排队论
关键词
排队（Queue） 指数分布（Exponential Distribution） 单通道、单阶段（Single Channel, single Phase） 排队系统（Queuing System） 泊松分布（Poisson Distribution） 多通道、多阶段（Multichannel, Multiphase ） 到达率（Arrival Rate） 服务率（Service Rate） 有限队列（Finite Queue）
问题中的权衡。
等待成本随着服务能力的增大而减小，可 以用负指数曲线描述；服务成本可以简单地 用线性变化表示；总成本或复合成本则是U 型曲线。所以，理想的最优化（最小）成本 位于服务成本曲线和等待成本曲线的交点上。
排队问题的实际应用Байду номын сангаас
如图6-2表示的是到达某一服务机构（银 行）的人数和对这一机构服务的需求（信 贷人员）。
分钟内有 5个人到达的概率为：
.050
12 3 4 5 6
8
到达人数n
10 12
图6-5 泊松分布（ ? T ? 3 ）
P1 (5) ?
(3 ? 1) 5 e ?3?1 5!
?
0.101
? 解决排队问题的基本目标是平衡等待成本与增加资源引起的成本之间的关系。对 于一个服务系统来说，这意味着若要给顾客创造很短的等待时间，服务台的利用 率将回降低。排队问题中一个关键问题是用什么样的程序或优先规则来选择下一 个产品或顾客作为服务对象。
成本效益平衡
成
本
如图6-1所示，是一个典型（稳定）的客运 ＄
时间T内
有n人到
.224
达的概率
.20 .149
.224
期望值 ? ? ? 3 方差
.168
平滑曲线
PT (n)
?
(?T ) n e ??T n!
（ 6-2 ）
.10
.102
式5-2表示在 T时间内有 n个顾客
.05
到达的概率。例如，如果一个
0
系统的平均到达率是每分钟有 3
个顾客到达（ ? ? 3 ），要求 1