《统计与数据分析》第2次作业题

《统计与数据分析》第2次作业题

（注：从下列题目中选做15题，要求写出详细解答过程，直接给出答案者视为无效；作业本或作业纸上请注明姓名、学号）

1. 平面上一个小型机器人从原点出发作随机游动，按观察者的角度，游动方向分别为向上\下和向左\右. 若每秒走一步（步长为1）, 向右走的概率为p , 向上走的概率q=1－p , (0

（1）8秒钟走到点A (5,3)的概率为多少? （2）已知它8秒钟走到了A (5,3), 求它前5步均向右走, 后3步均向上走到达A (5,3)的概率.

2. 在汽车经过的路上有4个交叉路口, 设在每个交叉路口碰到红灯的概率都是p , 且各路口的红绿灯是相互独立的. 求汽车停止前进时, 已通过的交叉路口个数的分布律.

3. 设随机变量X 的密度函数为

||()x f x Ce -=, x -∞<<+∞,

求：（1）常数C ; （2）P {0

4. 点随机地落在以原点为中心, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀地分布的, 求落点的横坐标的概率密度.

5. 设随机变量X 的分布函数为(),.1x A F x x e

-=-∞<<+∞+ 求：（1）常数A . （2）X 的密度函数. （3）{0}P X ≤.

6. 某昆虫产卵个数服从参数为λ的泊松分布, 试问此昆虫产多少个卵的可能性最大? 其概率为多少?

7. 设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布, 求2ln Y X =-的密度函数.

8. 二维随机变量(X ,Y )的密度函数为222(;(,)0,.C R x y R f x y ⎧⎪+<=⎨⎪⎩

其它 （1）求常数C . （2）求(X ,Y )落入圆222

(0)x y r r R +≤<<内的概率.

9. 设(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布, 其中D 为直线y x =和抛物线2y x =所围成的区域. 试求(X ,Y )的联合分布密度以及关于X 和关于Y 的边缘分布密度.

10. 设系统L 由两个相互独立的子系统1L 和2L 串联而成, 并已知1L , 2L 的寿命X , Y 相互独立, 分别服从参数为λ, μ的指数分布. 求系统L 寿命Z 的概率密度.

11. 已知X , Y 相互独立, 且都服从(0,1)N ,

求Z =

的密度函数.

12. 某种钻头的寿命服从参数0.001λ=的指数分布, 即密度函数 0.0010.001,0;()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩

现在要打一口深度为2000米的井, 求（1）只需要一根钻头的概率. （2）需要用两根钻头的概率.（注：所谓一根钻头的寿命是指直到磨损报废为止所钻透的地层厚度. 单位：米）

13. 射击比赛, 每人射四次（每次一发）, 约定全部不中得0分, 只中一弹得15分, 中两弹得30分, 中三弹得55分, 中四弹得100分, 某人每次射击的命中率均为

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, 求他得分的数学期望.

14. 设三台仪器出故障的概率分别是123,,p p p , 求出故障的仪器数的数学期望.

15. 对某一目标进行射击, 直到击中r 次为止. 如果每次射击的命中率均为p , 求需要射击次数的均值与方差.

16. 设12,,,n X X X 独立同分布, 均值为μ, 方差为2

σ, 设11n

i i Y X n ==∑, 求E (Y )和D (Y ).

17. 将n 个球放入M 个盒子中, 设每个球落入各个盒子是等可能的. 求有球的盒子数X 的均值.

18. 设X , Y 相互独立, 密度函数分别为2,01;()0,

.X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 (5),5;()0,.y Y e y f y --⎧>=⎨⎩

其它 求E (XY ).

19. 设随机变量X 的概率密度为(||),||;()0,b a x x a f x a ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩

其它, 且已知方差D (X )=1, 求常

数a 和b .

20. 设(X ,Y )服从22(,,,,)N μμσσρ, 求()D X Y +和()D X Y -.