【2021年高考数学压轴题】专题15 取对数型

2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

专题15

取对数型

[真题再现]

例1（2020·镇江丹阳高中、镇江一中、镇江中学三校5月调研·14）设正实数x ，则()2ln ln x x f x x

=的值域为_____．【答案】[0，1e

]【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可以“拨开浓雾终见日”了.

【解析】当lnx ≠0时，两边取对数得：()()()2ln 2ln y ln ln ln n ln ln 2l x x x

x x ==--令lnx ＝t

∴设2()ln y ln 2g t t t =-=∵22((1))()21t t g t t t t

-+='=-∴当01t <<时，0()g t '>；当1t >时，0

()g t '<∴max ()(1)1g t g ==-，

∴ln y 1≤-，10

≤

又lnx ≠0时，0y =∴()2ln ln x x f x x

=的值域为[0，1e ]，∴函数()2ln ln x x f x x

=的值域为[0，1e ]．例2（2020·南通五月模拟·13）已知函数2210()0x x mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，

若函数()f x 有四

个不同的零点，则实数m 的取值范围是．

【答案】2

(,)4

e -∞-【解析】2210()0

x x mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，是偶函数，问题转化为2=0x e mx +，即2=x e mx -（0x >）有两个零点

易知0m <，两边均为曲线，较难求解.

两边取自然对数，()=ln 2ln x m x -+，即()ln 2ln x m x

--=问题即为：()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点

先考察直线y x b =+与()2ln h x x =相切，即只有一点交点的“临界状态”

设切点为00(,2ln )x x ，则00

2()1h x x '==，解得02x =，此时切点为(2,2ln 2)代入2ln 22

b =-再求()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点时，m 的取值范围

由图象知，当()()ln g x x m =--在直线y x b =+下方时，满足题意

故()ln 2ln 22m b --<=-，解之得2

4

e m <-，此时也符合0m <所以实数m 的取值范围是2

(,4

e -∞-．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的

个数.

例3（2020·淮阴中学、姜堰中学12月考·14）)已知实数1x ，2x 满足13

1x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =______.

【答案】5

e 【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令222ln 2,t x t x e

+-==，得到

3t te e =，研究函数()x f x xe =的单调性，求出1,x t 关系，即可求解.

【解法一】对131x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，对()522ln 2x x e -=两边取自然对数得：()22ln ln ln 25x x +-=（※）

为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：()()22ln 2ln ln 23

x x -+-=

设()ln f x x x =+，则1()10f x x

'=

+>所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.∴12ln 2x x =-，∴()5

1222ln 2x x x x e =-=【解析二】实数1x ，2x 满足131x x e e =，()5

22ln 2x x e -=，2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，

()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，

所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而31()()f x f t e ==，

5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.

点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函

数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

[强化训练]

1.（2020·新课标Ⅲ·理科·12）已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）

A.a

B.b

C.b

D.c

2.(2020·田家炳10月考·14)若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则x y 的最小值为．【答案】2e .【提示】133y z ≤≤，ln x ey z z =，令y t z =，133

t ≤≤，ln ln ln ln x x z et t y z y =+=-.3.若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2]（1

数a 的取值范围是

．【答案】2

(1,)e e