直线与圆中的最值问题

直线与圆

Q⅛空总**涉艮与酣关幻恳值冋题：可i6⅛gjι⅛

质,利用数徘言求解,-⅛⅛:

ω≡⅛u=τ≡-^式的最竄问题，可蒔比为动直嗾斜率生

(2)SJflr=OX+ ⅛f⅛式的最值问题，可轻址为动≡⅛≡ 的显审冋恿.

^5D⅛-^ + ⅛-⅛bfl⅛^的晨值问题.可转忆圆b已尼

ff]⅛R半径&!最苜冋胡.

1直线具有斜率k,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为A(X1, y I)，B(X2, %),则它的弦长

AB=J1 +k2∣Xι_X2〔=J(1+k2)仪+X2)2—4>ςχj =屮 +评，yι _ y2

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为yι一y2 = k(Xl - X2)，运用韦达定理来进行计算.

AB = y — Vc

2当直线斜率不存在是，则y1 72 .

三、过两圆G: χ2 + y2 +D i x +E i y +F i = 0和C2: χ2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0的交点的圆系方程，一般设为

2 2 2 2

X +y +D i x +E i y +F i+ λx + y +D2x +E2y+F2) = 0( λ为参数)此方程不包括圆C2.

四、对称问题i和最小，化异侧(两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值)

2差最大，化同侧(两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值)

例题分析

1、如果实数X,V满足等式(X -2)2 V2 =3，

(1)求-的最大值和最小值；(2)求V-X的最大值与最小值；(3)求X2y2的最大值与最小值

2、已知两定点A(-3,5)，B(2,15),动点P在直线3x-4V F=O上，当PA+PB取最小值时，这个

最小值为( ).A. 5 13 B. 362 C. 155 D. 5 10' 2

3、已知点A(-3,8)、B(2,2),点P是X轴上的点，求当AP* PB最小时的点P的坐标.

最道冋题.

直线与岡的位置关系有二种：和离、相切F相交” 判

定方法有两种土

⑴代数½^1⅛=A JΓ÷B1÷C =0・烁√⅛i+l)A H-E l÷F=

⑵几何法:直⅛iAjr+⅛+C=O∣⅛L <ΛL a)1+⅛,⅛)1-r j* 州心Gn h∖

沖A F 0相离

二、弦长公式：直线与二次曲线相交所得的弦长

⑴∑即圆上的点与原点所在直线的斜率•当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即 上取得最

X

X

大值与最小值； ⑵y _x 即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距;

⑶X 2

y 2

即圆上的点到原点距离的平方.当点位于圆与X 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点

位于圆与X 轴的右交点时，点到原点的距离最大•

解（1）设P （X l y ）为圆（x —2）2 ∙y 2=3上一点.y 的几何意义为直线OP 的斜率，设y =k ,则直线OP 的

X

X

方程为y =kX .当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值.

•••圆心到直线y =kX 的距离d J 2k -0L =—|2k|— ,•••当一|2k|—

J 3 ,即- .3时，直线OP 与

√k ^ 圆相切-的最大值为.3 ,最小值为-.3 .

X

（2）令y -x =b ,即y =X b ,求y — x 的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截

距的最大值与最小值.

•••当.3 ,即b = - .6 -2时，直线OP 与圆相切.∙∙∙ y-x 的最大值为'、6-2 ,最小值为「6-2.

（3）要X 2

y 2

的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值

当点位于圆与X 轴的左交点时，点到原点的距离最小； 当点位于圆与X 轴的右交点时，点到原点的距离最大； •••左交点坐标为（2-、.3,0）,右交点坐标为（2，、3,0） ∙∙∙ ∙. X 2 y 2的最大值与最小值分别为2」3 , 2-「3 ∙∙∙ X 2

y 2

的最大值与最小值分别为7 4 3 , 7-4.3.

2【分析】先求出点 A 关于直线3x 一 4y ^0的对称点A',连接A ，和B 交直线于点P ,根据三角形的两边之和 大于第三边可知，此时 PA + PB 取值最小，最小值为|A 'B|.根据两点间的距离公式即可求得最小值。

当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值 I 圆心到直线 ^X b 的距离d =

|2_0 b ∣ 「12=12

「

,考虑代数式的几何意

义：

【解答】如图示:

|2 b|

即A^(3,-3)∣A'B^ . (2-3)2(15 3)2=5.13

3【分析】先求出点B关于X轴的对称点B',连接点A和点B'交X轴于P点，根据三角形的两边之和大于第三边

，点B关于X轴的对称点为B' = (2,-2)，B'A : 2χ∙y-2=0

B'A与X轴交点为P(I，O)即为所求.

直线与圆中的最值问题

、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比

较，或者是利用方程有解的问题。

2 2

例1、若直线4X S=a =0与圆X y =100(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a

的取值范围

2 2

例2、求圆X -2 y 3二4上的点到X - y ^0的最远、最近的距离

【解答】如图示: J∖

∖∖

,设点A关于直线3x-4y ∙4=0的对称点为A' = (x, y),

X -3 5 y

3™h "0解得X",y-3 则.2

即PA+PB

的最小值为5 13

可知，此时AP + PB

取值最小，最小值为1 B'A∣,点P的坐标即为B'A与X轴交点。

【解答】如图示: