2016年清华大学领军计划数学试题(含部分解析)

2016年清华大学领军计划测试

1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：1

2

y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分

别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN

=（ ） .

A .

B .

C 2 .

D 【解析】C

(田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11(1,)2

e =，

21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22

n m a n m

b c θ

-=⎧⎪

⇒⎨+=⎪⎩ (,

)(2sin ,cos )21222

n m a a

MN m n b b θθ-=+=⇒== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得00001

11(,

)242M x y x y ++，0000111

(,)242

N x y x y --+

，

||MN =为定值，所以224

1614

a b

==

2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =±

1k

=； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程

1111

2

x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12

【解析】方法一、列举法.○

111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918

++ ○

61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015

++

方法二、

x 最小，1

x

∴最大，36x ∴≤≤，x 以3,4,5,6分类讨论

当3x =时，可得

11111

236

y z +=-=，通分可得66y z yz +=，因式分解可得(6)(6)36y z --=，此时需要对36进行分解，则361362183124966=====，故可得

37423824(,,)39183101531212x y z ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，同理当4x =时，4520(,,)4612488x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当5x =时，[](,,)5510x y z = 当6x =时，[](,,)6

66x y z =

3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则

共有______种填法.

【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为①在44矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；②将数字填入这些色块

第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用#代表黑色，用O 代表白色

第一列涂两个黑色如图所示##O O ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，这样有42⎛⎫ ⎪⎝⎭

种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：

第一种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，并且下面两行只有########O O O O O O O O ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦这1种涂法、 第二种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有4种，下面的话有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、########O O O O O O O O ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

这2种，所以第二种共有42种涂法

第三种####O O O O ⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，这样的涂法有1种，下面的涂法有224=种，所以第三种有14种涂法， 故共有78种涂法

接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种填法.

方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.

第一行两个偶数有2

4C 种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为a ，b 情形一：若a ，b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.

情形二：若a ，b 位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.

所以偶数的不同位置数为24(362)90C ⋅+⋅=种，因此总的填法数位为44

8890441000C C ⋅⋅=.

4．对于复数(0)z z ≠，

10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 【解析】(田)z 与

1z

的角相等，设为θ，设||z r =，则cos sin 101010z r r

i θθ=+⋅，

404040

cos sin i z r r θθ=+⋅，(cos ,sin )P r r θθ，令cos a r θ=，sin b r θ=，则有10a ≥，0b ≥○

1，22140a a b ≥+，22

140

b a b ≥+222(20)20a b ⇒-+≤○2，222

(20)20a b +-≤○3 即为阴影面积S ，1002(

503150)3

S π

=+-(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)

方法二：设z x yi =+，其中,x y R ∈.由于

2

4040||z z z =，于是 2222

1,1101040401,1x y y x y

x y ⎧

≥≥⎪⎪

⎨⎪≥≥++⎪⎩ 如图 弓

形

面

积为

2110020(sin )1002663

πππ

⋅⋅-=-，四边形ABCD 的面积为

1

2(10310)1010031002⋅⋅-⋅=-，于是所求面积为 1002002(100)(1003100)100330033

ππ-+-=+-

5．下列计算正确的是（ ）