第二讲方程与不等式学生版

第二讲 方程与不等式

1. 等式性质：

（1）如果a b =，那么a c ±= ；

（2）如果a b =，那么ac = ；如果a b =()0c ≠，那么a

c

= . 2.（1）使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解. （2）一元一次方程的一般形式为 ()0a ≠.

（3）解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；

④合并 ；⑤系数化为1.

3. 解二元一次方程组的方法：有 消元和 消元法两种.

4.（1）一元二次方程的一般形式是 .

（2）解法：①直接开平方法，②配方法，③公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式

是 ， ④因式分解法.

5. 关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式为 . ①240b ac ->，方程有两个 实数根，②240b ac -=，方程有 相等的实数根，③240b ac -<，方程 实数根.

6. 若关于x 的20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么12x x += ，

1x 2x ＝ .

7. 解分式方程的一般步骤：①去分母，方程两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

8.（1）不等式的基本性质：①若a b <，则a c + b c +；

②若a b >，0c >则ac bc (或a c b

c )； ③若a b >，0c <则ac bc (或a c b

c

).

（2）一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、

、移项、 、系数化为1.

（3）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b

<）

x a

x b

<

⎧

⎨

<

⎩

的解集是；

x a

x b

>

⎧

⎨

>

⎩

的解集是；

x a

x b

>

⎧

⎨

<

⎩

的解集是；

x a

x b

<

⎧

⎨

>

⎩

的解集是.

（4）求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.

例1：（1）解方程组：（2）解不等式：．

（3）解分式方程：=5 （4）解方程：2x2－x－1=0

变式练习1：（1）解方程组：（2）解不等式组，并用数轴表示解集．（3）解分式方程：

54410

2

236

x x

x x

-+

=-

--

．（4）解方程：x（2x－5）=4x－10

例2：（1）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．(i)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）

(ii)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

（2）要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天．现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定日期是多少天？

（3）16．黄商超市以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件.超市为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价第降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，超市将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元.

（1）完成下表（不化简）

（2）如果超市希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价是多少元？

变式练习2：（1）为了抓住集安国际枫叶旅游节的商机，某商店决定购进A 、B 两种旅游纪念品.若购进A 种 纪念品8件，B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件， 需要800元.

（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元；

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100 件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2） 问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

变式练习3：已知关于x 的方程0)1(22

2=+--k x k x 有两个实数根1x 、2x ．

（1）求k 的取值范围；

（2）若12121x x x x +=-，求k 的值．

1．若m ＜n ，则下列各式正确的是（ ） A ．2m ＞2n B.m ﹣2＞n ﹣2 C.﹣3m ＞﹣3n D ．3π＞3

n

2．若关于x 的方程29

04

x x a +-+

=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．2a ≤ C ．2a ＞ D ．2a ＜ 3．下列方程中，是关于x 的一元二次方程为（ ） A ．3157x x +=+ B ．

21

10x x

+-= C ．x 2

-5=0

D ．)(为常数和b a bx ax 52

=-

4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程正确的是（ ）．

A ．180（1+x ）2=100

B ．180（1﹣x 2

）=100

C ．180（1﹣2x ）=100

D ．180（1﹣x ）2

=100

5．△ABC 的一边长为5，另两边分别是方程x 2

﹣6x+m=0的两根，则m 的取值范围是（ ）． A ．m ＞

114 B ．114＜m ≤9 C ．114≤m ≤9 D ．m ≤11

4

6．不等式组13

26x x -≤⎧⎨

⎩

的解集为（ ）．

A ．x ＞3

B ．x≤4 C．3＜x ＜4 D ．3＜x≤4

7．若一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0无实数根，则二次函数y=x 2

+（k+1）x+k 的图象的顶点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 8．若不等式组3

x m

x ≤⎧⎨

>⎩无解，则m 的取值范围是（ ）．

A ．m ＞3

B ．m ＜3

C ．m≥3

D ．m≤3

9．某工厂现在平均每天比原计划多生产30台机器，现在生产500台机器所需时间与圆计划生产350台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，下面所列方程正确的是（ ）

A ．50035030x x =+

B ．500350

30x x =

- C ．50035030x x =- D ．50035030

x x =

+