正弦定理和余弦定理讲解

年级 高一

学科

数学

内容标题 正弦定理和余弦定理 编稿老师

褚哲

一、学习目标

1. 掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形.

2. 能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.

3. 能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.

4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.

二、重点、难点

重点：正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.

三、考点分析

本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.

1. 正弦定理 （1）正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC ∆中

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为AB

C ∆外接圆半径）， 上式对任意三角形均成立.

（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角； ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角. 2. 余弦定理

（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC ∆中，

C

ab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 余弦定理还有另一种形式：

若令︒=90C ，则2

2

2

b a

c +=，这就是勾股定理.

ab

c b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2

222

222

22-+=

-+=-+=

（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：

①已知三边，求三个角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3. 在解三角形问题时，须掌握的三角关系式

在ABC ∆中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.

（1）π=++C B A ；

（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；

（3）2cos 2sin

C B A =+，2sin 2cos C

B A =+； （4）

C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 2

1

=∆.

4. 实际应用问题中的有关名词、术语

（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.

（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角. （3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 5. 须熟悉的三角形中的有关公式

解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：

c b a P ++=（P 为三角形的周长） a ah S 21

=（a h 表示a 边上的高）

A bc

B ac

C ab S sin 21

sin 21sin 21===

R

abc S 4=（可用正弦定理推得）

)(2

1

c b a r S ++=

（r 为内切圆半径） 此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论

已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表示了在ABC ∆中，已知a 、b 和A ∠时解三角形的各种情况

当A ∠为锐角时，

当A ∠为直角或钝角时

知识点一：正弦定理与余弦定理

例1：已知∆ABC 中，∠A ︒=60，3a =，求

sin sin sin a b c

A B C

++++

思路分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin c

k C

==，

证明出sin sin a b A B =sin c C ==

sin sin sin a b c

A B C

++++即可. 解题过程：设sin sin a b A B =

()0>==k k c 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =

从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C

A B C ++++=k

又

sin a

A

=k ==︒

=

260sin 3，所以sin sin sin a b c

A B C ++++=2