排列组合应用举例
小学数学排列组合的基本思想与计算
答案：10
题目：从10个不同的数字中选出5个，组成一个无重复数字的五位数，有多少种可能？
解析：这是一个组合问题，从12个不同的数字中选出6个，有C(12,6)=924种可能。
解析：这是一个组合问题，从5个不同的数字中选出3个，有C(5,3)=10种可能。
答案：252
题目：从12个不同的数字中选出6个，组成一个无重复数字的六位数，有多少种可能？
排列数公式：n!/(n-r)!，其中n表示元素总数，r表示排列数
排列数公式的推导：从n个元素中选出r个元素进行排列，共有n!种方法，但需要除以(n-r)!以避免重复计算
排列数公式的推广：可以推广到多维排列，例如三维排列数公式为n!/(n-r1)!/(n-r2)!/(n-r3)!，其中r1、r2、r3分别表示三个维度的排列数
01
02
问题：从10个不同的数字中选出5个，组成一个无重复数字的五位数，有多少种可能？
问题：从12个不同的数字中选出7个，组成一个无重复数字的七位数，有多少种可能？
03
04
问题：从15个不同的数字中选出9个，组成一个无重复数字的九位数，有多少种可能？
提高练习题
排列组合的基本概念和公式
排列组合的应用题及解析
概率论：计算事件发生的概率，如抽奖、赌博等
密码学：加密和解密信息，如密码锁、加密通信等
逻辑推理：分析问题和解决问题，如推理小说、侦探故事等
排列组合在数学问题中的解题技巧
理解排列组合的基本概念：排列和组合的定义和区别
提高解题效率：通过练习和总结，提高解题速度和准确性
学会运用排列组合解决实际问题：如解应用题、解决实际问题等
添加标题
排列组合的分类讨论思想
分类讨论：将问题按照不同的情况进行分类，分别求解
乘法原理和排列组合
乘法原理和排列组合
乘法原理是概率论中一种常用的计数方法。
它是指如果事件 A 可以发生的方式数为 m 种，事件 B 可以发生的方式数为 n 种，那么事件 A 和 B 同时发生的方式数为 m × n 种。
排列是从给定的对象中取出几个，按照一定的顺序排列起来；而组合是从给定的对象中取出几个，不考虑顺序。
举例来说，假设有 3 个任务，每个任务可以由 A、B、C 三个
人中的任何一个完成。
那么根据乘法原理，完成这 3 个任务的方式数为 3 × 3 × 3 = 27 种。
即每个任务有 3 种选择，总的方
式数为 3 的 3 次方。
再举一个例子，假设有 5 个人排队，他们的身高依次是A、B、C、D、E。
那么根据排列的定义，他们可以排列成的不同队形数为 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 种。
即第一个位置有 5 种选择，第
二个位置有 4 种选择，以此类推。
再来看一个组合的例子，假设有 7 个球员要从中选出 3 个进行比赛。
那么根据组合的定义，不考虑选出球员的顺序，选出的不同组合数为 C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 35 种。
即从 7 个球
员中选出 3 个的方式数为 35 种。
乘法原理和排列组合在概率论和统计学中都有广泛的应用。
它们是辅助计算事件发生方式数和计算概率的重要方法，可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的规律。
高中数学公式大全排列组合与二项式定理
高中数学公式大全排列组合与二项式定理高中数学公式大全：排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式，它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
本文将为您详细介绍排列组合与二项式定理的相关内容。
一、排列组合排列和组合是排列组合问题中最基础的概念。
排列表示从一组元素中选取若干元素按照一定顺序排列的方式，而组合则表示从一组元素中选取若干元素，顺序不考虑。
下面是排列组合中常见的公式：1. 排列公式：排列公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列的数量表示为 P(n,m)，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n! 表示 n 的阶乘。
2. 组合公式：组合公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，顺序不考虑的方式。
组合的数量表示为 C(n,m)，计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是高中数学中另一个重要的公式，它表示了任意实数a、b 和正整数 n 的 n 次幂展开后，各项的系数。
二项式定理为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,m) 表示组合数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的方式数。
三、应用举例1. 排列组合的应用：在一群人中选出特定的几个人组成小组，或者在一串数字中找出满足某种条件的特定数字。
排列组合在组合数学、概率论等领域有广泛的应用。
2. 二项式定理的应用：在数学展开、概率计算、代数运算等方面常常用到二项式定理。
它在概率论中常用于计算二项分布的概率，也可以用于计算方程式的展开。
总结：排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式。
它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
排列组合问题教案_排列组合解题技巧_排列组合问题经典例题_排列组合a和c的区别
排列组合的知识点（一）排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法。
(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！（二）组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的。
[反思] 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。
简单举例：1、2、3挑两个组成一个数字和1、2、3挑两个数字是完全不一样的！1、2、3挑两个组成一个数字那是排列；1、2、3挑两个数字那是组合。
例如我选1和2，排列里面12和21是两个数字！但是组合的话挑1和2就和挑2和1没有分别！！！《排列组合》教案教学目标：一.知识与技能目标：使学生通过观察，猜测，试验等活动，找出简单事物的排列规律，培养学生初步观察，分析，推理能力，以及有规律的全面思考问题。
二.过程与方法：引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。
三.情感态度目标：感受数学与生活的联系，激发学习数学，探索数学的浓厚兴趣，使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。
高中数学中的排列组合问题解析
高中数学中的排列组合问题解析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题和数学题目。
排列组合问题涉及到对一组元素进行选择、排列或组合的方式和方法。
在本文中，我们将对排列组合问题进行详细解析，包括排列、组合、二项式定理等内容。
一、排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
排列问题可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。
有放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中可以重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下六种排列：12、21、13、31、23、32。
无放回排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，选取的元素在排列过程中不可重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行排列，可以得到以下两种排列：12、21。
二、组合组合是指从一组元素中选取一部分元素按照任意的顺序进行组合的方式。
组合问题也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。
有放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中可以重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：11、12、22。
无放回组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，选取的元素在组合过程中不可重复使用。
例如，从1、2、3三个元素中选取两个进行组合，可以得到以下三种组合：12、13、23。
三、二项式定理二项式定理是排列组合问题中的一个重要定理，它描述了两个数的幂次展开的规律。
二项式定理可以用于计算排列组合问题中的各种情况。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的方式数，也称为组合数。
排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个 ，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只 取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一 些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
数学排列组合常用方法与技巧精讲
比赛分组
在大型体育赛事中，如何将参赛选手或队伍分成若干小 组进行预赛是一个重要的排列组合问题。例如，在篮球 比赛中，将参赛队伍分成若干小组进行循环赛，需要考 虑队伍之间的实力对比和小组内比赛的公平性。
彩票中的排列组合问题
彩票选号
彩票选号是一个典型的排列组合问题。彩票号码由一 组数字组成，每个数字都有特定的范围和出现概率。 彩民需要从指定范围内选择一定数量的数字，并按照 一定的顺序排列，以获得中奖的机会。
不同元素问题
总结词
解决不同元素问题时，需要全面考虑 所有元素的排列或组合情况。
详细描述
在排列组合问题中，如果所有元素都 是不同的，需要全面考虑所有元素的 排列或组合情况。可以采用全排列或 全组合的方法进行计算。
插空法
总结词
插空法是一种解决排列组合问题的常用方法，通过在已排好的元素之间插入新元素来满足题目的要求 。
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定位置的选取和排 列。这种方法的关键在于识别出问题中的特殊元素或特定位置，然后优先处理它们，从
而简化问题并提高解题效率。
分组法
总结词
将问题中的元素按照一定的规则进行分 组，然后对分组后的元素进行排列组合 ，可以解决一些复杂的问题。
答案
$A_{5}^{2} - 1 = 24$
解析
先从5个元素中取出2个元素进行排 列，再减去特定元素不在首位的排 列方式。
题目
在7个不同元素中取出4个元素进行 组合，其中某个特定元素必须包含在 内，有多少种不同的组合方式？
答案
$C_{6}^{2} = 15$
解析
先从7个元素中取出2个元素进行组 合，再减去特定元素不在首位的组 合方式。
排列组合应用举例
排列组合应用举例排列组合是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过排列组合的计算，我们可以解决很多实际问题，例如概率计算、密码学、组合优化等等。
本文将通过几个具体的例子来说明排列组合在实际生活中的应用。
1. 考试座位安排在学校考试中，为了避免作弊和公平公正地安排考试座位，通常需要进行合理的座位安排。
考虑一个班级有30名学生，需要在一间教室里安排座位。
假设教室有6行5列的座位，那么我们可以通过排列组合来计算共有多少种座位安排方案。
首先，我们需要从30名学生中选择6名学生来坐在第一行，这可以通过组合的方式计算，即C(30, 6)。
然后，从剩下的24名学生中选择5名学生坐在第二行，这可以通过C(24, 5)计算。
以此类推，我们可以计算出将所有30名学生安排到6行5列座位的方案数为：C(30, 6) * C(24, 5) * C(19, 5) * C(14, 5) * C(9, 5) * C(4, 5)这个数值就是可行的座位安排方案数，通过排列组合的计算，我们可以得知一间教室里可以有多少种不同的座位安排方式。
2. 电话号码的组合在电话号码的组合问题中，我们通常需要计算给定一组数字，有多少种不同的电话号码组合方式。
例如，假设电话号码由7个数字组成，每个数字取值范围是0-9。
为了方便理解，我们假设第一个数字不能为0。
那么，第一个数字有9种选择（1-9），第二个数字到第七个数字各有10种选择（0-9）。
因此，将所有数字组合起来的电话号码的组合方式数量为：9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10通过排列组合的计算，我们可以得到电话号码的组合方式数量，这对于电话号码的生成、处理以及电话号码的统计有着重要的意义。
3. 字符串的排列在计算机科学和密码学中，字符串的排列问题是一个常见的应用。
给定一个字符串，我们需要计算其所有可能的排列方式。
例如，对于字符串"ABC"，其可能的排列方式有"ABC"、"ACB"、"BAC"、"BCA"、"CAB"和"CBA"。
排列组合 局部定序与相同元素消序、隔板法 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
①定序消序问题:
例题5：
（1）有5盘菜，张三，李四，王五各选一盘
有多少种选法？
或
��
分步计数原理：
第一步：先从5盘菜里面选3盘菜。
第二步：再把3盘菜分配给3个人。
总结：
局部元素定序的解决方法：
从n个不同元素中有顺序的选取m个元
素，其中有p个元素定好了顺序！计算
①标准隔板法（原球数不变隔板法）:
将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至
少有一个名额，则不同的名额分配方法共有
______________种（用数字作答）
此题解决方法采用标准隔板法：其思想是利
用①10个志愿者在中间腾出9个空，②再次
采用插空法9个空插3个隔板，一定会出现四
堆每堆一定至少1个。
（ C )种排法。
A ,1160
E . 1260
B .
1280
C. 1220
D.1240
步骤分析： 第一步：全部全排列
第二步：消序（有几组相
同元素 ， 就除以几组各自相同元素个数的全
排列）。我们把它叫做“密西西比法则”
②局部元素相同消序问题
例3如果把mississippi(密西西比）这
个单词打乱顺序进行随机排列，请问
球，投放方法有______种方法？
解题分析：第一步：选不放球的1个盒子。4个盒子中任选一个不放球方法
数为：C =4
第二步：题目转化为将10个球放入剩余3个不同盒子中，在采用标准
隔板法，从9个空隙中插2个隔板。C =36
排列组合举例说明
排列组合举例说明
例1：有4个人（A、B、C、D）参加篮球比赛，其中只能选
取2个人组成一队。
那么可以组成的所有可能的队伍有哪些？
解答：根据排列组合的原理，我们可以从4个人中选取2个人，共有4*3=12种不同的选择。
具体的队伍组合如下：
1. A、B组成队伍
2. A、C组成队伍
3. A、D组成队伍
4. B、A组成队伍
5. B、C组成队伍
6. B、D组成队伍
7. C、A组成队伍
8. C、B组成队伍
9. C、D组成队伍
10. D、A组成队伍
11. D、B组成队伍
12. D、C组成队伍
例2：某超市有4种口味的冰淇淋，小明要买3个冰淇淋，每
个口味可以重复购买。
那么小明有多少种购买方式？
解答：根据排列组合的原理，小明可以从4种冰淇淋中选取3
个冰淇淋，共有4*4*4=64种不同的购买方式。
具体的购买方
式如下：
1. 选取第一种口味，选取第一种口味，选取第一种口味
2. 选取第一种口味，选取第一种口味，选取第二种口味
3. 选取第一种口味，选取第一种口味，选取第三种口味
4. ...
64. 选取第四种口味，选取第四种口味，选取第四种口味
以上是排列组合的两个例子，它们都涉及从给定的元素集合中选取若干元素组成集合的问题。
在实际应用中，排列组合用于解决不同的组合问题，例如选取人员、购买商品、组合食物等。
排列组合易混问题五种类型举例说明
排列组合易混问题五种类型举例说明排列组合应用问题解法专门，其中有些题目由于一字不同，解法就差别专门大。
下面就具体剖析几例。
邻与不邻例1、（1）7名同学站成一排，其中甲、乙必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）7名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起，有多少种不同的排法？解析：（1）相邻问题采纳“捆绑法”，把相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素与其他元素进行全排列，然后再松绑，故答案为62621440A A ⋅=种排法。
（2）不相邻问题采纳“插空法”，先排好其余的元素，然后将不能相邻的元素插入空位，故答案为52563600A A ⋅=种排法。
二、重与不重例2、（1）用1，2，3，4，5，6，7，8，9能够组成多少个三位数？ （2）用1，2，3，4，5，6，7，8，9能够组成多少个没有重复数字的三位数？解析：（1）每个数字都能够重复使用，故每位数上都能够取9个数中的一个，用分步计数原理，故答案为9×9×9=729个。
（2）数字不承诺重复，则必须取不同的三个数字组成，故答案为39504A =个。
三、均与不均例3、（1）将6本不同的书，平均分成三份，有多少种不同的分法？ （2）将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？解析：（1）设均分成三份有X 种分法，再分给甲乙丙三人，每人分得2本，则应有32223642X A C C C ⋅=⋅⋅，故2226423315C C C X A ⋅⋅==种分法。
（2）从6本书中任取2本给一个人，再从剩下的4本中任取2本给另一个人，剩下的2本给最后一个人，故有22264290C C C⋅⋅=种分法。
四、放回与不放回例4、箱中有4个不同的白球和5个不同的红球，连续从中取出3个球，（1）取出后放回，且取出顺序为“红白红”的取法有多少种？（2）取出后不放回，且取出顺序为“红白红”的取法有多少种？解析：（1）取出后放回，每次取球始终在9个球中取，依照分步计数原理，共有111 545100A A A⋅⋅=种取法。
组合数学4_排列组合
排列与组合
基本原理、方法
排列组合 排列组合的生成算法 递归方程的编程求解（递推计算）
应用举例
方程解的个数 购票问题
1.排列组合
[例] 下图所示的棋盘中，若要从左下角走到右上角，并且规定只
能向右或者想上走，问有多少种方案？
1.排列组合
加法原理
设事件A有m种产生方式，另一事件B有n种 不同的产生方式，则产生事件A或B之一有 m+n种方式。
应用举例
购票问题
问题：求长度为2n的0、1串a1a2…a2n中满足如下条件的串 的个数： 对于任意i: 1≤i ≤2n ，有a1a2… ai 中1的个数 不少于0的个数。 解答一：搜索技术——利用回溯算法求解。 （代码见书）。 算法时间复杂度：O(22n)。
应用举例
购票问题
解答二：利用栈求解 ——算法基本思路：考虑1,2,…,n这n个数依次入栈，求 出所有不同的出栈次序数即可。 （代码见书）。 算法时间复杂度：O(n!)。
应用举例
密码锁设计问题——习题三第7题
解答： ①每３人至少缺１把钥匙，且每３人所缺钥匙不同。 故至少共有C(7,3)=35把不同的钥匙。 ②任一人对于其他６人中的每３人，都至少有１把钥 匙与之相配才能开锁。故每人至少持C(6,3) ＝20把不 同的钥匙。
应用举例
密码锁设计问题——习题三第7题
一个简单例子： 考虑M=4，N=3的情况， 求法同上。共C(4,2)=6 把不同的钥匙。每人 人 有C(3,2)=3把钥匙。 （见右图）
设r1+r2+…+rt=n , 对1，2，…，t分别加下标，得到 P(n；r1,r2,…,rt)·r1!r2!…rt! = n! n! ∴ P(n；r1,r2,…,rt)= ———— r1!r2!…rt!
排列组合应用题基本解法举例
排列组合应用题基本解法举例〔关键词〕排列；组合；间接法；捆绑法；插空法；消序法虽然关于排列、组合的应用题是千变万化的，但其解题思路却离不开“分步相乘，分类相加，有序排列，无序组合”的原则.要熟练掌握解题技巧，我们还必须掌握处理排列、组合问题的一些基本技巧、方法.下面举列说明.1. 特殊位置法例1：从10人中选3人站成一排，其中甲不站首位，共有多少种不同排法？分析：首位是特殊位置，先排首位有A种排法，再排其余两位有A种排法，分步相乘得AA=648.2. 间接法例2：有7人站成一排，其中甲不站首位，且乙不站末位，共有多少种不同排法？分析：可用间接法得A-2A+A.其中甲站首位的方法有A种，乙站末位的方法有A种，包含甲站首位且乙站末位的情况有A种.3. 捆绑法例3：6件不同商品排成一排，其中甲、乙、丙3件商品一定要排在一起，共有多少种不同排法？分析：先把甲、乙、丙捆绑起来当一个元素参加排列有A种排法，然后这3件商品内部再排列有A种排法.分步相乘得ＡA=144.对于有相邻要求的排列组合题，可用此法.4. 插空法例4：有5个男生和4个女生排成一排，其中女生不能相邻，有多少种不同排法？分析：第一步，先排5个男生有A种排法；第二步，5个男生之间（包括两端）的6个空位中插入4个女生有A种排法.由分步相乘法得ＡA=43200.5. 先选后排法例5：从8个男生和4个女生中选3个男生2个女生，担任5种不同的工作，有多少种方法？分析：AA为错解，因为漏掉了男、女生的混合排列.正确解法用先选后排法，即先按要求选出5人有CC种方法，后进行排列有A种方法，由分步相乘法得CCA=40320.6. 消序法例6：有身高各不相同的10个人站成一排，要求甲、乙、丙3人从左边顺次一个比一个低（可以不相邻），共有多少种不同排法？分析：首先不考虑限制条件，共有A种不同排法；其次对甲、乙、丙3人的排列消序得：=604800，即共有604800种排法.7. 平均分组法例7：A、B、C、D、E、F 6人平均分成三组下棋，有多少种不同分法？分析：CCC为错解，其中有重复.如：6人中先选A、B为一组，再在剩余4人中选C、E为一组，最后剩余2人D、F为一组；6人中先选C、E为一组，再在剩余4人中选A、B为一组，最后剩余2人D、F为一组.以上两种不同分法得到的结果是完全相同的，即A、B为一组，C、E为一组，D、F为一组.不难发现，错解对这一种分法算了6次.故易得，正确解法为=15.8. 查字典法例8：由0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个没有重复数字且比324105大的六位数？分析：从高位排查如下：（1）查首位有4×××××、5×××××，故有2A个数；（2）查前两位有34××××、35××××，故有2A个数；（3）查前三位有325×××，故有A个数；（4）查前四位有3245××，故有A个数；（5）查前五位有324150，故有1个数.故共有：2Ａ＋2Ａ+Ａ＋Ａ＋1=297个数.。
排列组合的例子
排列和组合是组合数学中的两个重要概念，它们用于描述对象的不同排列方式和选择方式。
以下是一些排列和组合的例子：
1. 排列的例子：
- 字母排列：考虑单词"ABC" 的字母排列，可以有以下排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
这是3个字母的全排列。
- 座位排列：在一个圆桌上安排5个人的座位，有5人的排列方式。
如果座位有固定方向，则有5个不同的排列。
- 书籍排列：如果有6本不同的书，它们在书架上的排列方式是6的阶乘(6!)，即720种排列方式。
2. 组合的例子：
- 选课：一个学生可以从10门不同的课程中选择5门修读。
这是一个组合问题，确定有多少种不同的选课方式。
- 抽奖：在一次抽奖活动中，有20个人参与，但只有3个人可以获奖。
这是一个组合问题，确定有多少种不同的获奖组合。
- 水果选择：如果有5种不同的水果，你想选择2种水果来制作水果沙拉，这是一个组合问题，确定有多少种不同的水果组合。
3. 排列和组合的混合：
- 密码：考虑一个四位数的数字密码，其中不能重复使用相同的数字。
这涉及到排列，因为顺序很重要，但也有一些组合元素，因为数字不能重复。
- 团队选拔：在一个体育团队中，需要选择5名主力球员和2名替补球员。
这涉及到排列（对主力球员的顺序很重要）和组合（对替补球员的顺序不重要）。
排列和组合问题在数学、统计学、计算机科学和实际生活中都有广泛的应用，帮助我们理解对象的不同排列和选择方式。
它们的计算通常涉及阶乘、二项系数等组合数学工具。
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Anm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合cn和an公式举例计算
排列组合cn和an公式举例计算排列和组合是指在数学中对一组物品进行操作的方法。
排列是指对物品进行的一种排序方式，而组合则是指对物品进行的一种选择方式。
在计算排列和组合的时候，通常会用到两种公式：排列数公式（cn公式）和组合数公式（an公式）。
排列数公式（cn公式）：如果有n个物品，从中选择m个物品进行排列，则称其为n个物品中取m个物品的一个排列。
这样的排列个数为：cn = n! / (n-m)!举例来说，如果有4个物品（A, B, C, D），从中选择2个物品进行排列，则有如下的6种排列方式：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D) 用cn公式计算一下：cn = 4! / (4-2)! = 4!/2! = 6。
组合数公式（an公式）：如果有n个物品，从中选择m个物品进行组合，则称其为n个物品中取m个物品的一个组合。
这样的组合个数为：an = n! / (m! * (n-m)!)举例来说，如果有4个物品（A, B, C, D），从中选择2个物品进行组合，则有如下的6种组合方式：(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D) 用an公式计算一下：an = 4! / (2! * (4-2)!) =4!/2!2! = 6。
排列和组合的区别：•排列是指对物品进行排序的方式，组合则是指对物品进行选择的方式。
•在计算排列的时候，每个物品的出现的位置都是有意义的，而在计算组合的时候，物品的位置是没有意义的。
•排列的计算公式是cn公式，组合的计算公式是an公式。
希望这些内容能对你有所帮助！。
排列组合计算公式及经典例题汇总
排列组合公式/排列组合计算公式排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示.A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Anm(n为下标，m为上标)）Anm=n×（n-1）....（n-m+1）；Anm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Ann（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合在生活中的应用
排列组合在生活中的应用
排列组合在生活中有很多应用，以下是其中几个例子：
1. 生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2. 彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
例如，某个彩票游戏要求选择6个数字，而数字范围是1到49之间，那么可以使用排列组合计算出一共有多少种可能的组合。
3. 旅行计划：在旅行计划中，排列组合可以帮助确定不同景点的访问顺序。
例如，如果有5个景点要游览，可以使用排列组合计算出不同的游览路线。
4. 花束组合：在花店中，排列组合可以用来确定花束的不同组合方式。
例如，花店有10种不同类型的花，而每束花包含5种花，可以使用排列组合计算出一共有多少种不同的花束组合。
5. 座位安排：在会议或演出中，排列组合可以用来确定座位的不同安排方式。
例如，如果会议厅有10个座位，而有5位与会者，可以使用排列组合计算出不同的座位安排方式。
这些都是排列组合在生活中的一些常见应用，它们能够帮助我们解决实际问题，并提供更多选择和可能性。
排列组合
§1基本原理△让我们来看下面问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。
那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？△分析：因为从甲地到乙地，乘火车有4种选择（方法），乘汽车有2种选择（方法），乘轮船有3种选择（方法）。
因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有：4＋2＋3 = 9种不同的方法。
▲一般地，做一件事，完成它可以有n 类方法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有： N = m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法。
一、加法原理：△再看这样一个例子：由A 村去Ｂ村的道路有３条，由Ｂ村去Ｃ村的道路有２条（如下图所示）。
从Ａ村经Ｂ村去Ｃ村，共有多少种不同的走法？△分析：从A 村到B 村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B 村后，再从B 村到C 村又有2种不同的走法。
因此，从A 村经B 村去C 村共有：3×2 = 6种不同的走法。
▲一般地，做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做完第一步有m 1种不同的方法，做完第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法。
那么，完成这件事共有： N = m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
二、乘法原理：A 村C 村B 村〖举例〗1．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。
⑴从中任取一本，有多少种不同的取法？⑵从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：⑴分析：从书架上任取一本书，有两类情况：第1类情况是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第2类情况是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法。
根据加法原理，得到不同的取法的种数是：N = 6＋5 = 11⑵分析：从书架中任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤：第1步取一本数学书，有6种方法；第2步取一本语文书，有5种方法。
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§13.4 排列、组合应用举例
练习3. 袋中有10个球,7黑3白,现从中任取4个: 恰取到2黑2白的取法共有多少种?
解：C72 C32 =63
CHENLI
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§13.4 排列、组合应用举例
练习3. 袋中有10个球,7黑3白,现从中任取4个: ②至少有一个白球的取法有多少种?
解1： C73 C31 + C72 C32+ C71 C33 =175
解2： C140 － C74 =175
CHENLI
17
本节课学习了三种类型的排列组合应 用问题： 1. 照相问题 2. 摸球问题 3. 产品抽检问题
CHENLI
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13.4 排列、组合应用举例
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1
§13.4 排列、组合应用举例
例1：七人站成一排照相，计算： ① 甲必须站在正中间；
有多少种排法？
CHENLI
2
§13.4 排列、组合应用举例
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
1
2
3
4
5
6
7
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3
§13.4 排列、组合应用举例
例1：七人站成一排照相，计算： ① 甲必须站在正中间； ② 甲，乙必须站在两边； ③ 有多少种排法？
解：5×5×5=125
CHENLI
12
§13.4 排列、组合应用举例
练习2. 桌子上有5张不同数字的扑克牌， 现在从中连取三次，每次取一张。
②如果每次取后不再放回，并把取出 前后顺序不同的情况看作不同的取法，那 么共有少种取法？
解：P
3 5
=60
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13
§13.4 排列、组合应用举例
练习2. 桌子上有5张不同数字的扑克 牌，现在从中连取三次，每次取一张。
③如果一次同时取3张卡片，那么共 有多少种取法？
解：C
3 5
=10
CHENLI
14
§13.4 排列、组合应用举例
例题3. 在100件产品中有3件是次品， 其余都是正品，现从中任取3件， ① 共有多少种取法? ② 恰有一件是次品，共有多少种取法？ ③ 至少有一件是次品，共有多少种取法？
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15
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7
§13.4 排列、组合应用举例
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
1 12
32
43
54
65
76
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8
§13.4 排列、组合应用举例
练习1. 某校主席台两侧各有旗杆3根，现在有红，黄，
蓝，白，绿，紫6面不同颜色的彩旗。 ① 如果指定蓝色旗挂在最右边的旗杆上，共 ② 有多少种不同的挂旗方法？
解：P
5 5
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§13.4 排列、组合应用举例
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
1
2
3
4
5
6
7
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5
§13.4 排列、组合应用举例
丙
丁
戊
己
庚
乙
甲
1
2
3
4
5
6
7
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6
§13.4 排列、组合应用举例
例1：七人站成一排照相，计算： ① 甲必须站在正中间； ② 甲，乙必须站在两边； ③ 甲，乙必须相邻。
各有多少种排法？
=120
CHENLI
9
§13.4 排列、组合应用举例
练习1. 某校主席台两侧各有旗杆3根，现在有红，黄，
蓝，白，绿，紫6面不同颜色的彩旗。 ②如果紫色旗只能挂在主席台左侧的那些 旗杆上，共有多少种不同的的挂旗方法？ 解： 3P55 =360
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§13.4 排列、组合应用举例
例题2. 袋中有8个印有不同号码的彩球： ①如果每次取一个，取后记下号码再放回
去，连取三次，共有多少种不同取法？ ②如果每次取一个取后记下号码不再放回，
连取三次，共有多少种不同取法？ ③如果一次取三个，共有多少种不同取法？
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§13.4 排列、组合应用举例
练习2. 桌子上有5张不同数字的扑克牌， 现在从中连取三次，每次取一张。
①如果每次取后记下号码之后放回， 那么共有多少种取法？