无穷级数小结
无穷级数知识点总结考研
无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成，通常用符号∑表示。
其一般形式为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列，称为级数的通项。
无穷级数是由级数的部分和组成的序列，即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n，所以求无穷级数的和，就是求该序列的极限，即lim(S_n)。
在实际运用中，我们通常是通过研究级数的部分和的性质，来求级数的和或证明级数的敛散性。
二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n，如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L，即lim(S_n) = L，那么称级数收敛，其和为L，记作∑a_n = L。
如果级数的部分和S_n的极限不存在，或者极限为无穷大，即lim(S_n) = ±∞，那么称级数发散。
2. 收敛级数的判定（1）正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n，即a_n≥0，根据级数的部分和单调递增有界的结论，若存在常数M，使得对一切n始终成立S_n ≤ M，那么级数收敛；如果对于任意的M > 0，总存在n_0，使得对一切n > n_0有S_n > M，那么级数发散。
（2）比较判别法若对于所有的n，总有0 ≤ a_n ≤ b_n，且∑b_n收敛，那么∑a_n也收敛；若对于所有的n，总有a_n ≥ b_n ≥ 0，且∑b_n发散，那么∑a_n也发散；若∑b_n发散，且对于足够大的n，总有a_n＞b_n，则∑a_n发散。
（3）比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0，使得当n > n_0时，有a_n_+1/a_n ≤ q，那么级数收敛；若a_n_+1/a_n≥1，那么级数发散；若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件，那么比值判别法无法判断级数的敛散性。
第4章 无穷级数内容小结
(x
x0
)n
为 f x 在点 x0 处的泰勒级数.
当泰勒公式
5
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
中的余项 Rn (x) 0(n ) 时，泰勒级数收敛于 f (x) ，即
n1
i 1
为级数 un 的部分和. n1
若
lim
n
sn
s 存在，则称级数 un 收敛， s 称为级数 un 的和，记作 un
n1
n1
n1
s，
此时称 rn s sn 为级数 un 的余项. n1
收敛的充分必要条件：
un
n1
收敛
n
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛
n1
n1
n1
散性不能肯定.
④根值审敛法（柯西判别法）
设
n1
un
是正项级数，若
lim
n
n
un
（或为 ），
则当 1时， un 收敛；当 1（或 ）时， un 发散；当 1时， un 的敛散
原级数有相同的收敛半径 R . 但在收敛区间的端点 x R 处收敛性可能改变.
无穷级数总结范文
无穷级数总结范文无穷级数是数列求和的一种方式，在数学中有重要的地位和应用。
无穷级数的概念最早由数学家Gottfried Leibniz引入，之后被广泛研究和应用。
在本文中，我们将总结无穷级数的基本概念、性质和常见的应用领域，以便读者更好地理解和应用无穷级数。
一、无穷级数的基本概念无穷级数是指由无穷多个数相加得到的和。
一般地，一个无穷级数可以写成以下形式：S=a1+a2+a3+...其中，a1、a2、a3等为数列的各项。
我们可以通过求无穷级数的部分和来研究其性质。
对于一个无穷级数，其第n个部分和Sn定义为：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、无穷级数的收敛和发散无穷级数可能收敛（即有限）也可能发散（即无限）。
为了研究无穷级数的收敛性，我们引入了极限的概念。
当部分和的数列{Sn}存在有限极限s时，即lim(n->∞)Sn = s，我们称该无穷级数收敛，并且其和为s。
我们用∑表示无穷级数。
如果部分和的数列{Sn}不存在有限极限，即lim(n->∞)Sn不存在，或者lim(n->∞)，Sn， = ∞，我们称该无穷级数发散。
无穷级数的收敛性与其各项的大小和取值有关，我们将在下一章节中讨论。
三、无穷级数的性质1.部分和的性质：对于一个无穷级数，其部分和的性质对于判断其收敛性起到重要的作用。
如果一个无穷级数的部分和数列收敛，则该无穷级数收敛；如果一个无穷级数的部分和数列发散，则该无穷级数发散。
2.数项级数的性质：对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的性质也是重要的。
数项级数是指将无穷级数中的各项重新排列后所得到的级数。
对于一个收敛的无穷级数，其数项级数的和与原级数的和相同。
3.加法运算：如果两个无穷级数都收敛，则它们的和也收敛，并且和的值等于各级数的和的和。
4.数乘运算：如果一个无穷级数收敛，则对该级数的每一项乘以同一个常数后所得到的级数也收敛，并且和的值等于常数与原级数的和的乘积。
Ch8 无穷级数(小结)
S( x) =
Calculus– Chapter 8 Infinite Series
首项 1—公比
Tan Kah Kee College
注
∞
逐项求导
1 n = ∑ x 逐项积分 1 − x n=0 逐项积分 ( x < 1)
逐项求导
nx ∑ n=1
∞
∞
n−1
( x < 1)
1 n+1 x ( x < 1) ∑ n=0 n + 1
n→∞
∞
几何级数
n n aq = a + aq + " + aq +" ∑ n= 0
当 q ≥ 1 时发散.
∞
a 当 q < 1 时收敛，其和为 1 − q
调和级数
Calculus– Chapter 8 Infinite Series
1 1 1 = 1 + + " + + " 发散 ∑ n 2 n=1 n
" + a n ( x − x0 ) + " (2)
为幂级数 幂级数一般型
Calculus– Chapter 8 Infinite Series
Tan Kah Kee College
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点,则 收敛区域 发散区域 规定
−R
o
R
发散区域
x
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间. (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. 收敛区间 x=0 (－∞, +∞) (－R , R ) 收敛域 x=0 (－∞, +∞) (－R , R ) +收敛端点
小结无穷级数
性质5.(级数收敛必要条件)
若级数 收敛,则
注意:(1). 若 ,则级数 发散
(2). 时,级数 不一定收敛
判断级数发散 的第一步骤
证
单调
有界
则
同理
交错级数
例如
收敛且S<1
如果
则
2. 绝对收敛与条件收敛
对于一般的任意项级数
考虑
正项级数
收敛,则
绝对收敛
收敛,而 发散,则
条件收敛
例如
绝对收敛
条件收敛
定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛
证
设
则
由
收敛知
收敛
为幂级数的系数 .
即是此种情形.
的情形, 即
称
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发 散
发 散
收 敛
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
四、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
求下列级数的敛散区间:
例13:
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解:
当
因此级数在端点发散 ,
时,
时原级数收敛 .
故收敛区间为
例如:调和级数
但级数发散
(2)
不存在
级数发散
例3. 判断级数敛散性:
无穷级数知识点总结专升本
无穷级数知识点总结专升本一、概念无穷级数是由无限多个项组成的级数，其中每个项都是一个数字或者变量的表达式。
无穷级数通常用符号∑表示，其中∑表示总和，表示对所有项进行求和。
无穷级数可以是收敛的，也可以是发散的。
对于收敛的无穷级数，其和可以用极限来表示；对于发散的无穷级数，其和不存在。
二、级数的性质1.级数的部分和级数的部分和是指级数前n项的和，用Sn表示。
当n趋向无穷大时，级数的部分和就是级数的和。
当级数的部分和的极限存在时，级数收敛；当级数的部分和的极限不存在时，级数发散。
2.级数的收敛与发散级数的收敛指的是级数的部分和的极限存在，也就是级数的和存在；级数的发散指的是级数的部分和的极限不存在，也就是级数的和不存在。
3.级数的敛散性级数敛散性指的是级数的收敛性或发散性。
级数的敛散性可以通过级数的部分和的极限是否存在来判断。
4.级数的比较性级数的比较性是指通过级数的部分和与其他级数的部分和进行比较来判断级数的敛散性。
可以通过比较原则、比值原则、根值原则等方法来比较级数的敛散性。
5.级数的运算性质级数满足加法、数乘、绝对收敛、收敛性与级数重新排列等运算性质。
三、收敛级数1.正项级数对于所有项均为非负数的级数，称为正项级数。
正项级数通常采用单调有界数列的性质来判断是否收敛。
2.幂级数幂级数是形式为∑an*x^n的无穷级数，其中an为常数系数，x为自变量。
幂级数通常需要通过收敛半径来判断其收敛性。
3.级数的收敛判别法级数的收敛判别法是用来判断级数是否收敛的方法，包括比较法、审敛法、根值法、比值法、积分法等。
4.级数收敛性的应用无穷级数的收敛性可以应用于数学和物理等领域，如泰勒级数、傅立叶级数等。
四、发散级数1.发散级数的定义对于发散级数而言，其和不存在，无法通过有限项之和来表示。
发散级数可能是几何级数、调和级数、交错级数等。
2.级数的发散判别法级数的发散判别法是用来判断级数是否发散的方法，例如：项数发散法、数值发散法、微分法等。
无穷级数知识点总结
无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。
一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。
无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。
如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。
二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。
下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。
1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。
即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。
2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。
3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。
无穷级数小结
特殊情况
n1
n1
(1)lim un 0, n vn
相当于 un vn
(2)lim n
un vn
, 相当于 un
vn
4 (D'Alembert)（比值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
un1 l un
则
(1) l 1（含0）时收敛
(2) l 1（含）时发散
注意:
1.比值 审敛法比较适合an及n!
定理（Dirichelet判别法） n
若
(1)
lim
n
an
0,且{an }单调；
(2)
{ bi }有界；
i 1
则 akbk收敛。
k 1
定理（Abel判别法）
若（1） an 为单调有界数列， (2)
则 akbk收敛。 k 1
bk收敛，
k 1
判断级数 an 的敛散性
n1
lim an 0 ? 是
2.当l 1时，失效
5 Cauchy 判别法（根值判别法）
设正项级数 un ,
n1
且 lim n
n un ,
则
(1) 1（含0）时收敛 (2) 1（含）时发散
注意： 根值审敛法比较适合an
当 1时，失效
交错级数： 设un 0， (1)n1un 或 (1)nun
n1
n1
交错级数判别法（Leibniz 判别法) 若 (1)n1un 满足
则级数发散;
lim
n
un
常用来证明级数发散
0
n1
un发散
3 L (1)n1
n
L
n1
n1 2 3 4
无穷级数知识点总结简短
无穷级数知识点总结简短
1. 无穷级数的定义
无穷级数是指由无限个数相加而成的级数，通常表示为：
S = a1 + a2 + a3 + ...
其中，a1, a2, a3...表示级数的每一项。
2. 无穷级数的收敛与发散
无穷级数可能收敛也可能发散。
如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷时收敛于某一有
限数，即lim(S_n) = S，则称该无穷级数收敛；如果无穷级数的部分和S_n在n趋向无穷
时发散至无穷大或者发散至负无穷大，即lim(S_n) = ±∞，则称该无穷级数发散。
3. 无穷级数的收敛性判别法
无穷级数的收敛性判别法有很多种，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判
别法等。
这些判别法可以用来判断无穷级数的收敛性，并且在实际问题中有很多应用。
4. 无穷级数的性质
无穷级数有许多重要的性质，包括级数的线性性质、级数的绝对收敛性、级数的收敛域等。
这些性质在研究无穷级数的收敛性和计算级数的和时非常重要。
5. 无穷级数的应用
无穷级数在物理、工程、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，泰勒级
数可用于近似计算非线性函数的值；在工程学中，级数可以用来描述振动、波动等现象；
在计算机科学中，级数在算法复杂性分析和数值计算中也有广泛的应用。
总之，无穷级数是数学中一个重要的概念，它涉及到收敛与发散、收敛性判别法、性质和
应用等方面，对于理解和应用级数有着重要的意义。
无穷极数知识点总结
无穷极数知识点总结1. 无穷级数的定义无穷级数是指由无穷多个项组成的级数，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中每一项an是一个实数或复数。
无穷级数可以是收敛的，即其和是一个有限的值，也可以是发散的，即其和不存在或为无穷大。
2. 无穷级数的收敛无穷级数收敛的概念是指无穷级数的和在某个范围内趋于一个有限的值。
收敛的无穷级数在数学分析和实际应用中有着广泛的应用，例如在泰勒级数展开、微积分中的积分计算等方面。
无穷级数的收敛有多种判别法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
3. 无穷级数的发散无穷级数发散的概念是指无穷级数的和无法趋向于一个有限的值，而是趋向于无穷大或者根本无法定义。
无穷级数的发散也有多种判别法，例如奇偶项判别法、柯西收敛准则等。
4. 绝对收敛与条件收敛无穷级数的收敛有两种情况，一种是绝对收敛，即该级数每一项的绝对值级数收敛；另一种是条件收敛，即该级数每一项的绝对值级数发散，但级数本身却收敛。
绝对收敛级数在某种程度上更容易处理和计算，而条件收敛级数的性质相对更为复杂，也更有意思。
5. 级数收敛的充分条件对于实数级数来说，级数部分和序列的收敛性与级数本身的收敛性之间是十分紧密的，因此研究级数部分和序列的收敛性可以得到级数收敛的充分条件。
比如级数收敛的柯西准则、级数收敛的柯西——施瓦茨准则、莱布尼茨级数收敛准则等。
6. 无穷级数的运算无穷级数也可以进行加减乘除等运算，不过进行这些运算时需要满足一定的条件，比如级数收敛、级数部分和序列的收敛性等。
无穷级数的运算规则也有许多特殊的性质，如级数的收敛性与绝对收敛性的性质、级数的乘法运算性质、级数的幂级数展开等。
7. 级数收敛的应用无穷级数的研究在数学中有着广泛的应用，比如在分析学中的泰勒级数展开、微积分中的求和、微分方程的求解、数论中的级数和等方面都有不同程度的应用。
无穷级数也在物理学、工程学、经济学等应用领域中有着很多重要的应用。
无穷级数知识点总结公式
无穷级数知识点总结公式无穷级数的定义：无穷级数的一般形式可以表示为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]其中，\( a_n \) 是级数的第 n 个项。
级数的和通常记为 \( S \)，即\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots \]当级数的和存在有限值时，称级数收敛；当级数的和不存在有限值时，称级数发散。
无穷级数的性质：1. 无穷级数的和与项的次序无关级数的项次序可以进行重新排列，其和仍然相同。
2. 收敛级数的任意项的和都趋于零对于收敛级数，其各项的和对应的部分和序列的极限为级数的和。
3. 收敛级数的每一项都可以表示为部分和序列的差对于收敛级数，其每一项都可以表示为相邻两个部分和之差。
无穷级数的收敛性：在讨论无穷级数时，我们关心的一个重要问题是该级数是否收敛。
无穷级数的收敛性可以通过不同的收敛判别法来进行判断。
1. 正项级数收敛判别法对于正项级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)：- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) 且 \( a_n \) 单调递减（即 \( a_{n+1} \leq a_n \)），则级数收敛；- 若 \( a_n \) 单调递减且有界，则级数收敛；- 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n \) 不存在或 \( \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \) ，则级数发散。
2. 比较判别法设 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 和 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 为两个级数，若存在正常数 \( C \)，当 \( n \) 充分大时有 \( 0 \leq a_n \leq Cb_n \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 收敛时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 收敛，级数\( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \) 发散时级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) 发散。
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
无穷级数期末总结
无穷级数期末总结在本学期的无穷级数课程学习中，我对这一领域的概念和理论有了更加深入的了解。
无穷级数是数学中一个重要的分支，其应用广泛，涉及到许多其他领域的理论和定理。
通过学习无穷级数相关的概念和定理，我不仅获得了数学上的知识和技能，而且提高了自己的逻辑思维能力和问题解决能力。
在课程的开始阶段，我们首先学习了无穷数列和无穷级数的概念。
数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，无穷数列则是无限个数的有序排列。
而无穷级数是无穷数列的和，即将数列中的每一项相加所得到的和。
通过学习这些概念，我了解到了数列的特点和性质对无穷级数的求和有着重要的影响。
在进一步学习中，我们学习了收敛和发散的概念。
数列或者级数被称为收敛，意味着它们的和可以无限接近一个确定的数，而发散则表示它们的和趋于无穷大。
从这个角度来看，我们可以判断一个无穷级数是否收敛。
通过学习收敛和发散的判别法，我学会了如何分析一个无穷级数的收敛性质。
接着，我们学习了收敛级数的性质和定理。
比如，一个收敛级数的任意子级数也是收敛的，收敛级数的和的绝对值小于每一项的绝对值之和等等。
这些性质和定理对于进一步研究和运用收敛级数非常有帮助。
我也通过做大量的例题巩固了对这些定理的理解和应用。
在接下来的学习中，我们研究了几个重要的收敛级数。
其中，几何级数是无穷级数中最为基础也是最简单的一种。
通过对几何级数的分析，我了解到了一些特定条件下的收敛性质。
调和级数也是我们学习的另一个重点。
通过对调和级数进行分析，我对无穷级数的收敛性产生了更深的认识。
除了学习收敛级数的性质和定理，我们还研究了一些收敛级数的求和方法。
比如，我们学习了部分和的求和法和函数级数的求和法。
这些方法对于分析一个收敛级数的和进行估算和计算非常有帮助。
在学习过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
尤其是在分析一个复杂的级数的收敛性时，我常常会遇到各种繁琐的计算和推导。
但是通过不断的实践和思考，我逐渐克服了这些困难，提高了自己的计算能力和推理能力。
第十章无穷级数小结
∑ |u
n=1
∞
n
| 收 敛 u n 敛 ∑ 收
n=1
∞
∑| u
n =1
∞
n
| 发散
∑ u 发散
n =1 n
∞
补充定理 如果任意项级数
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u2 + un +
un +1 lim =l n →∞ un
满足条件
当l < 1时级数绝对收敛,当l > 1时级数发散
命题3 命题3:不一致收敛的极限形式: 一致收敛的极限形式:
设函数序列{ Sn ( x )}在区间I 上收敛到极限函数S ( x ).若存在 点列xn ∈ X ( n = 1, 2,), 使得 lim[ Sn ( xn ) S ( xn )] = k ≠ 0,
n →∞
则{ Sn ( x )}在X 上不一致收敛.
若 u n > 0, 则称
∑1 u n 是 正 项 n=
∞
∞
级数
1.
n =1
收 ∑ un(un > 0)收敛 部分和数列有界
∞
2. 比较判别法: ∑ un ( un > 0),
则
∑vn 收敛 n=1
∞
n =1
∑1 u n 收敛 n=
∞
∞
n =1
∑ v n (ν n > 0),
∞
un ≤ v n ,
部分和数列: Sn = ∑ui = u1 + u2 + + un
i =1
n
敛散性: 敛散性: 若
记为
n→ ∞
lim S n = S ,
无穷级数总结
无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列U1,U2^|,U^| , U n称为无穷级数，U n 称为一般项；若部分和数列｛S n｝有极限S，即lim S n S，称级数收敛，否则称为发散•n2•性质①设常数C 0,贝U U n与CU n有相同的敛散性；n 1 n 1②设有两个级数U n与V n，若U n S，V* ，则（U n V n） S ；n 1 n 1 n 1 n 1 n 1若U n收敛，V n发散，则（片V n ）发散；n 1 n 1 n 1若U n，V n均发散，则（U n冷）敛散性不确定；n 1 n 1 n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数U n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.⑤级数U n收敛的必要条件：lim U n 0 ；n 1 n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若lim U n 0，则U n未必收敛；n n 1③若U n发散，则lim U n 0未必成立. nn 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若U n 0，则U n称为正项级数•n 1②审敛法：（ii ） 比较审敛法：设 U n ①与 V n ②都是正项级数，且U n %（n 1,2,），n 1n 1川则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散•A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N 时有U n k%（k 0）成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当n N 时有U n kv n （k 0）成立，则 ①发散；1B. 设 U n 为正项级数，若有 p 1使得U n 帀（n 1,2,川），则U n 收敛；若n 11（ U n （n nC. 极限形式：U n 与 V n 有相同的敛散性.n 1n 1注：常用的比较级数：①几何级数：n 1 arr 1 1 r ・n 1发散r 1②p 级数：1收敛P 1时n 1n p发散P 1时， ③调和级数:11 1 1发散.n 1 n2n（iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设 a n 是正项级数，若n 11，或iim; a n 1，推不出级数的敛散.例丄与2，虽然nn 1 n n 1 n充要条件：正项级数U n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界），贝U Un 发散.n 11,2, U n ①与 V n ②都是正项级数，若lim 也1（0丨 ），则1 nV n①limna n 1 anr 1，则 a n 收敛；②lim 也 n 1nan r 1，则 a n 发散.n 1注：若limna n 1 anlim a n^ 1, lim n a n 1，但丄发散，而g收敛.n a n n■'n 1 n n 1 n2n ___(iv)根值判别法(柯西判别法)设a n是正项级数，』m ■, a n，若 1 ,n 1 n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设u n o，且lim n p u n l，则①lim n p U n l 0且p 1，则级n n数U n发散；②如果p 1，而lim n p U n l(0 l ),则其收n 1 n敛.(书上P317-2- (1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件.2.交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2J||)，则(1)n 1U n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)n 1u n，若u n u n 1且lim u n0，n 1 n贝U ( 1)n1u n收敛.n 1注：比较u n与u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察也是否小于1；u n②差值法，即考察u n u n 1是否大于0;③由u n找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n) ,(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛.n 1 n 1②若用比值法或根值法判定|u n |发散，则u n必发散.n 1 n 1、幕级数1. 定义： a n X n称为幕级数.n 02. 收敛性有X 处绝对收敛.反之，若幕级数 a n X n在X !处发散，则其在满足x X !n 0的所有X 处发散. ②收敛半径(i) 定义：若幕级数在X X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R ，使得①当X X 0 R 时，幕级数收敛；②当XX 。
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无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,L,u n L ，u n称为无穷级数， u n称为一般项；若部分和n 1数列 { S n} 有极限S，即lim S n S ，称级数收敛，否则称为发散 .n2.性质①设常数 c0 ，则u n与cu n有相同的敛散性；n 1n 1②设有两个级数u n与v n，若u n s ，v n，则(u n v n ) s；n1n 1n1n 1n 1若u n收敛，v n发散，则(u n v n ) 发散；n 1n 1n 1若u n，v n均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数u n收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n 1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数u n收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若 lim u n 0 ，则u n未必收敛；n n 1③若u n发散，则n 1二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立．n①定义：若 u n0 ，则u n称为正项级数.n 1② 审敛法：（ i）充要条件：正项级数u n收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1（ ii ）比较审敛法：设 u n ①与v n ②都是正项级数， 且 u nv n (n1,2,L ) ，n 1n 1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 .A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u nkv n (k 0) 成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN 时有 u n kv n (k0) 成立，则①发散；B. 设u n 为正项级数，若有p 1 使得 u1 (n 1,2,L ) ，则u n收敛；若n 1nnpn1u n1u n 发散 .(n 1,2,L ) ，则nn 1C. 极限形式：设u n ①与v n ②都是正项级数，若 limu nl (0 l) ，则n 1n 1nv nu n 与v n 有相同的敛散性 .n 1n 1注：常用的比较级数：ar n 1ar 1 ；①几何级数：1 rn 1发散r11收敛p时② p 级数：1 ；n 1 n p发散 p1时③ 调和级数：1111 发散．1n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1①注：若lima n 1r1，则 a n 收敛；② lima n 1r 1，则a n 发散．na nn 1na nn 1an 1n11lim1，或 lim a n1 ，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1n n 1n 2nnliman 11， lim n an 1 ，但1 发散，而 1 收敛 .na nnn 1nn 1n 2（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设na n 是正项级数， lim an，若 1 ，n 1n级数收敛，若1则级数发散．（ v）极限审敛法：设u n0 ，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l0 且 p 1 ，则级n n数u n发散；②如果 p 1 ，而 lim n p u n l (0l) ,则其收n1n敛．（书上 P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设 u n 0(n 1,2,L ) ，则( 1)n 1u n称为交错级数.n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1u n，若 u n un 1且 lim u n0 ，n 1n则( 1)n 1 u n收敛.n 1注：比较 u n与 u n 1的大小的方法有三种：①比值法，即考察u n 1是否小于 1；u n②差值法，即考察 u n u n 1是否大于0；③由 u n找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 u n f (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若u n绝对收敛，则u n收敛 .n 1n1②若用比值法或根值法判定| u n |发散，则u n必发散.n1n1三、幂级数1.定义：a n x n称为幂级数.n 02.收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数a n x n在 x00处收敛，则其在满足 x x0的所n 0有 x 处绝对收敛．反之，若幂级数 a n x n在 x1处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在x x0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数 R ，使得①当x x0R 时，幂级数收敛；②当x x0R 时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数 a n x n的收敛半径为R，其系数满足条件 lim an 1l ，n 0n a n或 lim n a n l，则当 0 l时， R1；当 l 0 时， R，n l当l时，R 0．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（i ii ）收敛半径的类型A.R 0 ，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为( , )；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0②若幂级数的收敛半径R 0 ，则和函数S( x) a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续．( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (a n x n )(a n x n )na n x n 1，收敛半径不变．n 0n 0n 1③若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和函数S( x) a n x n在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0x xa n t n )dt x且可逐项积分，即S(t )dt(a n t n dt ( x ( R, R)) ，收敛半径不00n 0n 00变．5.函数展开成幂级数①若 f ( x) 在含有点 x 0 的某个区间 I 内有任意阶导数， f ( x) 在 x 0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x 0 ) f (x 0 )( x x 0 )f (x 0 )2 f (n) ( x 0 )2! (x x 0 )( x x 0 )n!f (n1) ()( x x 0 )( n 1)，记 R n ( x) f (n1) ()x 0) ( n 1) ， 介于 x, x 0 之间，则 f ( x) 在 ( n 1)!(n 1)! ( xI 内能展开成为泰勒级数的充要条件为lim R n ( x) 0,x I .n②初等函数的泰勒级数 ( x 0 0)（ i ） e xx n , x (,) ；n 0 n!（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n 1 , x( ,) ；n 1(2n 1)!（ iii ） cos x( 1) nx 2n( ,) ；( 2n)! , xn 0（ iv ） ln(1 x)( 1) n x n 1( 1, 1] ；n 1, xn 0（ v ） (1 x)1(1) ( n 1) x n , x( 1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ）1xx n , x1 ；1 x( 1) n x n , x 1.1 n 01 n 06.级数求和①幂级数求和函数解题程序（ i ）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数 s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数， 求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数， 最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数．②数项级数求和（ i ）利用级数和的定义求和，即 lim S n s ，则u n s ，其中nn 1ns n u 1 u 2u nu k ．根据 s n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k1推法．A. 直接法：适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）a nlima n x n ，其中幂级数a n x n ，可通n 0x 1 n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) ．因此a nlim s(x) ．n 0x 1四、傅里叶级数 1. 定义①定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在 [ , ] 或 [ 0, 2 ] 上可积，则11a nf ( x) cos nxdx11b nf ( x) sin nxdx2 0, 1, 2 ) ，f (x) cosnxdx, (n 02 1, 2, ) ，f (x) sin nxdx,( n 0称为函数 f (x) 的傅立叶系数．②定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x)～1a 0(a n cos nx b n sin nx) ．2n 1③定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 [l , l ] 上可积，则以1l f (x) cosn xdx, (n 0, 1, 2 ) ，a nll l1lf (x) sinnxdx, (n 1, 2) 为系数的三角级数 b nll l1a 0( a n cosnx b n sinnx)称为 f ( x) 的傅立叶级数，表示为2n 1llf ( x)～ 1a 0(a n cosnx b n sin nx) ．2l ln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 [ , ] 上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则 f ( x) 的傅立叶级数在 [ ,] 上收敛，且有f x ), x 是 f x 的连续点 ；( ( )1[ f ( x 0 0) f ( x 0 0)],a 02 .( a n cos nx b n sin nx)2x 是 f x 的第一类间断点 ；n 1( )1[ f (0)f (0)], x23. 函数展开成傅氏级数①周期函数（ i ）以 2 为周期的函数 f ( x) ： f ( x)～ aa n cos nxb n sin nx2n 11f ( x) cos nxdx(n 0, 1, 2, ) ， b n 1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；a n注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sin nx (正弦级数 )， a n 0 (n0, 1, 2, )n 1b n2f ( x)sin nxdx(n1, 2, ) ；②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～a 0a n cos nx (余弦级数 )，( )2n 1a n2f ( x)cos nxdx (n0,1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .（ ii ）以 2l 为周期的函数 f ( x) ： f x ～aa nnn x)( )2 cosx + bn sinn 1l l1lnxdx(n0, 1, 2,1l n xdx(n 1, 2, ) ；a nf (x) cos) ， b nf (x) sinllllll注：①若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x)～b n sinn0 (n0,1, 2, )x (正弦级数 )， a nn 1l2 b nll 0f ( x)sin nxdx(n 1, 2, ) ；l②若 f ( x) 为偶函数，则f x ～aa nn ( )cosx ， (余弦级数 )2n 1l2a nllf ( x)cos nxdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l②非周期函数（ i ）奇延拓：f ( x), 0 x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 [0, ] 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf ([, ] 上 为 奇 函 数 ， f ( x)～ b n sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， b n2f (x)sin nxdxn 1(n1, 2, ) ；B.f (x), 0 x lf (x) 为 [0, l ] 上的非周期函数，则令 F (x)f ( x), l，则 F (x) 除 x 0 外x 0在 [,] 上为奇函数，～n2f ( x)b n sin x (正弦级数)，b nn 1l l (n1, 2,) .lnf ( x)sin xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x)为[0,] 上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x，f ( x),x0则 F (x) 除x0 外在[ ,] 上为偶函数， f (x)～a0a n cosnx (余2n 1弦级数 )，a n 20, 1, 2,) .f ( x)cos nxdx (nB. f (x)为[0, l ]上的非周期函数，令 F ( x) f ( x),0x l，则f ( x),l x0f ( x)～a0a n cosnx (余弦级数)，a n22n 1l llf ( x)cosnxdx (n 0,1, 2, ).l注：解题步骤：①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；②求出傅氏系数；③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于 f ( x) ．。
无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n nu，称∑==ni kn us 1为前n 项部分和。
若存在常数 s,使n n s s ∞→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。
2.数项级数性质：1)∑∞=1n nCu=C∑∞=1n nu；2)若级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv收敛于σ,s ，则级数∑∞=±1n n nv u收敛于σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。
5）若级数∑∞=1n nu收敛，必有0lim =∞→n n u3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞=-11n n aq= +++++-12n aqaq aq a (0≠a )若,1<q 级数收敛，其和为qa-1，若,1≥q 级数发散。
2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++pp p n 131211（p>0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑∞=11n n发散。
4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞=1n nu为正项级数方法：1）比较审敛法：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞=1n n v 发散。
2）比较审敛法的极限形式：若l v u nnn =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n nv 同时收敛或同时发散。
3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→nn n u u包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
4根值审敛法：若ρ=∞→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。
（完整版）无穷级数总结
（完整版）⽆穷级数总结⽆穷级数总结⼀、概念与性质1. 定义：对数列12,,,n u u u L L ，1n n u ∞=∑称为⽆穷级数，n u 称为⼀般项；若部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质①设常数0≠c ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 有相同的敛散性；②设有两个级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v ，若∑∞==1n n s u ，σ=∑∞=1n n v ，则∑∞=±=±1)(n n n s v u σ；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则∑∞=±1)(n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均发散，则∑∞=±1)(n n n v u 敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响⼀个级数的敛散性；④设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①⼀个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②⼀个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ；注：①级数收敛的必要条件，常⽤判别级数发散；②若0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 未必收敛；③若∑∞=1n n u 发散，则0lim =∞→n n u 未必成⽴．⼆、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法①定义：若0n u ≥，则∑∞=1n n u 称为正项级数.②审敛法：（i ）充要条件：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii ）⽐较审敛法：设∑∞=1n n u ①与∑∞=1n n v ②都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=L ，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A. 若②收敛，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成⽴，则①收敛；若②发散，且存在⾃然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成⽴，则①发散；B. 设∑∞=1n n u 为正项级数，若有1p >使得1(1,2,)n p u n n ≤=L ，则∑∞=1n n u 收敛；若1(1,2,)n u n n ≥=L ，则∑∞=1n n u 发散.C. 极限形式：设∑∞=1n n u ①与∑∞n n v ②都是正项级数，若lim(0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞=1n nu与∑∞=1n n v 有相同的敛散性.注：常⽤的⽐较级数：①⼏何级数：∑∞=-??≥<-=11111n n r r r aar 发散；②-p 级数：∑∞=≤>1111n p p p n 时发散时收敛；③调和级数：∑∞=++++=112111n nn ΛΛ发散．（iii ）⽐值判别法（达郎贝尔判别法）设∑+∞=1n n a 是正项级数，若①1lim1<=++∞→r a a n n n ，则∑+∞=1n n a 收敛；②1lim 1>=++∞→r a a n n n ，则∑+∞n n a 发散．注：若1lim1=++∞→nn n a a，或lim 1n =，推不出级数的敛散.例∑+∞=11n n与∑+∞=121n n，虽然1lim 1=++∞→nn n a a，lim 1n =，但∑+∞=11n n 发散，⽽∑+∞=121n n 收敛. （iv ）根值判别法（柯西判别法）设∑+∞=1n n a是正项级数，lim n ρ=，若1<ρ，级数收敛，若1>ρ则级数发散．（v ）极限审敛法：设0n u ≥，且lim p n n n u l →∞=，则①0lim >=∞→l u n n p n 且1≤p ，则级数∑+∞=1n n u 发散；②如果1>p ，⽽)0(lim +∞<<=∞→l l u n n p n ,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，⼀般不⽤⽐值法与根值法，⼀般会使⽤⽐较判别法．正项级数的⽐（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分⾮必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)n u n ≥=L ，则11(1)n n n u ∞-=-∑称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，若1+≥n n u u 且0lim =∞→n n u ，则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛.注：⽐较n u 与1+n u 的⼤⼩的⽅法有三种：①⽐值法，即考察nn u u 1+是否⼩于1；②差值法，即考察1+-n n u u 是否⼤于0；③由n u 找出⼀个连续可导函数)(x f ，使),2,1(),(Λ==n n f u n 考察)(x f '是否⼩于0． 3.⼀般项级数的判别法：①若∑∞=1n n u 绝对收敛，则∑∞=1n n u 收敛.②若⽤⽐值法或根值法判定||1∑∞=n n u 发散，则∑∞=1n n u 必发散.三、幂级数1. 定义：n n n x a ∑∞=0称为幂级数.2. 收敛性①阿贝尔定理：设幂级数∑+∞=0n n n x a 在00≠x 处收敛，则其在满⾜0x x <的所有x 处绝对收敛．反之，若幂级数∑+∞=0n n n x a 在1x 处发散，则其在满⾜1x x >的所有x 处发散．②收敛半径（i ）定义：若幂级数在0x x =点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在⼀个正数R ，使得①当R x x <-0时，幂级数收敛；②当R x x >-0时，幂级数发散；R 称为幂级数的收敛半径.（ii ）求法：设幂级数∑+∞=0n n n x a 的收敛半径为R ，其系数满⾜条件l a a nn n =++∞→1lim，或l a nn n =+∞→lim，则当+∞<R 1=；当0=l 时，+∞=R ，当+∞=l 时，0=R ．注：求收敛半径的⽅法却有很⼤的差异．前⼀个可直接⽤公式，后⼀个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能⽤求半径的公式直接求，须⽤求函数项级数收敛性的⽅法．（iii ）收敛半径的类型 A.0=R ，此时收敛域仅为⼀点； B.+∞=R ，此时收敛域为),(∞+-∞；C.R =某定常数，此时收敛域为⼀个有限区间． 3.幂级数的运算（略） 4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内连续．②若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可导，且可逐项求导，即∑∑∑+∞=+∞=-+∞=='='='0110)()()(n n n n nn n nn x na x a x a x S ，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0>R ，则和函数∑+∞==0)(n n n x a x S 在收敛区间),(R R -内可积，且可逐项积分，即??∑+∞===x xn dt t a dt t S 0)()(∑?+∞=-∈0)),((n xn n R R x dt t a ，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(x f 在含有点0x 的某个区间I 内有任意阶导数，)(x f 在0x 点的n 阶泰勒公式为+-++-''+-'+=)(!)()(!2)())(()()(00)(200000x x n x f x x x f x x x f x f x f n Λ)1(0)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ，记)1(0)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ介于0,x x 之间，则)(x f 在I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为I x x R n n ∈?=+∞→,0)(lim .②初等函数的泰勒级数)0(0=x （i ）∑+∞=∞+-∞∈=0),(,!n nxx n x e ；（ii ）∑+∞=--∞+-∞∈--=1121),(,)!12()1(sin n n n x n x x ；（iii ）∑+∞=∞+-∞∈-=2),(,)!2()1(cos n nn x n x x ；（iv ）∑+∞=+-∈+-=+01]1,1(,1)1()1ln(n n n x n x x ；（v ）∑=∈-∈+--+=+1)(),1,1(,!)1()1(1)1(n n R x x n n x αααααΛ；（vi ）∑+∞=<=-01,11n nx x x ；∑+∞=<-=+01,)1(11n n n x x x . 6. 级数求和①幂级数求和函数解题程序（i ）求出给定级数的收敛域；（ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(x s 与其导数)(x s '的关系），从⽽得到新级数的和函数；注：系数为若⼲项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i ）利⽤级数和的定义求和，即s S n n =∞→lim ，则∑∞==1n n s u ，其中∑==+++=nk kn n uu u u s 121Λ．根据n s 的求法⼜可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适⽤于∑∞=1k ku为等差或等⽐数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除⾸尾两项外其余各项对消掉．（ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）∑∑∞=-→∞==010lim n nn x n n x a a ，其中幂级数∑∞=0n n n x a ，可通过逐项微分或积分求得和函数)(x S ．因此)(lim 10x s a x n n -→∞==∑．四、傅⾥叶级数 1. 定义①定义1：设)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-或]2,0[π上可积，则)2,1,0(,cos )(1cos )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f a n πππππ， ),2,1(,sin )(1sin )(120Λ===-n nxdx x f nxdx x f b n πππππ，称为函数)(x f 的傅⽴叶系数．②定义2：以)(x f 的傅⽴叶系数为系数的三⾓级数∑∞=++10)sin cos (21n n nnx b nx aa ．称为函数)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为∑∞=++10)sin cos (21)(n n nnx b nx aa ～x f ．③定义3：设)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则以 ? -==ll n n xdx ln x f la )2,1,0(,cos )(1Λπ， ?-==lln n xdx ln x f l b )2,1(,sin )(1Λπ为系数的三⾓级数 ∑∞=++10)sin cos(21n n n x l n b x l n a a ππ称为)(x f 的傅⽴叶级数，表⽰为 ∑∞=++10)sin cos(21)(n n n x ln b x l n a a ～x f ππ． 2.收敛定理（狄⾥赫莱的充分条件）设函数)(x f 在区间],[ππ-上满⾜条件①除有限个第⼀类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(x f 的傅⽴叶级数在],[ππ-上收敛，且有∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a±=-++-++-=πππx f f ；x f x x f x f ；x f x x f )],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第⼀类间断点是的连续点是. 3.函数展开成傅⽒级数①周期函数（i ）以π2为周期的函数)(x f ：∑∞=++10sin cos 2)(n n nnx b nx aa～x f-=πππ)(1x f a n ),2,1,0(cos Λ=n nxdx ，1=),2,1(sin Λ=n nxdx ；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n nx b ～x f (正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 2()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，2()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n .（ii ）以l 2为周期的函数)(x f ：∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π+)sin x ll n x f la )(1),2,1,0(cos Λ=n xdx l n π，?-=l l n x f l b )(1),2,1(sin Λ=n xdx ln π；注：①若)(x f 为奇函数，则∑∞=1sin )(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，0=n a ),2,1,0(Λ=n 02()sin l n n b f x xdx l l π=),2,1(Λ=n ；②若)(x f 为偶函数，则∑∞=+10cos2)(n n x ln a a～x f π，(余弦级数) 02()cos l n n a f x xdx l lπ=),2,1,0(Λ=n ，0=n b ),2,1(Λ=n . ②⾮周期函数（i ）奇延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1()sin n b f x nxdx ππ=),2,1(Λ=n ；B. )(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，则令?<≤---≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为奇函数，∑∞=1sin)(n n x l n b ～x f π(正弦级数)，02()sinl n n b f x xdx llπ=?),2,1(Λ=n .（ii ）偶延拓：A.)(x f 为],0[π上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ，则)(x F 除0=x 外在],[ππ-上为偶函数，∑∞=+10cos 2)(n nnx aa～x f (余弦级数)，0()cos n a f x nxdx ππ=),2,1,0(Λ=n .B.)(x f 为],0[l 上的⾮周期函数，令?<≤--≤≤=0),(0),()(x l x f lx x f x F ，则∑∞=+10cos2)(n n x l n a a～x f π(余弦级数)，02()cosl n n a f x xdx llπ=?),2,1,0(Λ=n . 注：解题步骤：①画出图形、验证狄⽒条件．画图易于验证狄⽒条件，易看出奇偶性；②求出傅⽒系数；③写出傅⽒级数，并注明它在何处收敛于)(x f ．。
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高等数学（三）教案 无穷级数
计算机与数学基础教学部 杨淑辉
- 1 -
无穷级数 总结
无
穷级数
常
数项级数
傅立叶级数
幂级数
一
般项级
数
正
项级数
用收敛定义，n n s ∞
→lim 存在
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质
○
1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ○
2两个收敛级数的和差仍收敛. 注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
○
3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. ○
4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。
推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
○5（必要条件） 如果级数收敛, 则0lim 0
=→n
n u 莱布尼茨判别法
若1+≥n n
u u 且0lim =∞
→n n u ，则∑∞
=--1
1)1(n n
n u 收敛
n u ∑和n v ∑都是正项级数，且n n v u ≤.若n v ∑收敛，则n u ∑也收敛；若n u ∑发散，则n v ∑也发散.
比较判别法
比较判别法的极限形式
n u ∑和n v ∑都是正项级数，且l v u n
n n =∞
→lim ，则○
1若+∞<<l 0,n u ∑与n v ∑同敛或同散;○2若0=l ,n v ∑收敛,n u ∑也收敛；○
3如果+∞=l ，n v ∑发散，n u ∑也发散。
比值判别法
根值判别法
n u ∑是正项级数，ρ=+∞
→n
n n u u
1lim ,ρ=∞
→n n n u lim ,则1<ρ时收
敛；1>ρ(ρ=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发散.
收敛性
和函数
展成幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
,ρ=+∞
→n
n n a a 1lim ,1
,0;,0;0,.R R R ρρρρ
=
≠=+∞===+∞ 缺项级数用比值审敛法求收敛半径
)(x s 的性质○
1在收敛域I 上连续;○2在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;○3和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变,收敛域可能变化).
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式
11(11)1n n x x x ∞==-<<-∑ 11
()!
x n n e x x n ∞==-∞<<+∞∑ 22T T l
π==
∑∞=++=
1
)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ⎰-
=
π
π
πdx x f a )(10
⎰-
=
π
π
π
nxdx x f a n cos )(1
⎰-
=
π
π
π
nxdx x f b n sin )(1
收敛定理
x 是连续点,收敛于)(x f ;x 是间断点,收敛于)]()([2
1+-+x f x f
周期
延拓
)(x f 为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(x f 为偶函数，余弦级数、偶延拓.
交错 级数。