(完整版)数列求和方法归纳

数列求和

一、直接求和法（或公式法）

掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n=

(1)

2

n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2

2

2

2

123+++……+n =(1)(21)

6

n n n ++，3333123+++……+n =

2

(1)2n n +⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．

解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++

+．

由等差数列求和公式，得原式50(3199)

50502

⨯+=

=．

变式练习：已知3

log 1

log 23-=

x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n

21

二、倒序相加法

此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.

例2 求222

2

2

2222222123101102938101++++++++的和． 解：设222

2

2

222

2222123101102938101

S =++++++++ 则222

2

22222222109811012938

101

S =+++

+++++． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．

三、裂项相消法

常见的拆项公式有：

1

()n n k =+111()k n n k -+ ，

=1k

， 1(21)(21)n n =-+111()22121

n n --+，等.

例3 已知2221

12(1)(21)6

n n n n ++

+=++，

求 222222222

35721()11212312n n n

*

+++++∈++++++N 的和． 解：222

21216

112(1)(1)(21)6

n n n a n n n n n n ++===++++++，

11

161223(1)111116122311611ln .1

n S n n n n n n ⎡⎤∴=++

+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++

-

⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛

⎫=- ⎪+⎝⎭=+

小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即

1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.

变式练习：求数列

311⨯，421⨯，5

31

⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.

解：∵

)2(1+n n =2

1

1(21+-n n ）

S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4

21

22143+-

+-n n 四、错位相减法

源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}

n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x +++

+-的和．

解：当1x ≠时，211

2

2(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x

-+--=+----； 当1x =时，2n S n =． 小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.

)1(2

)

1(=+a n n

变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

解：（1）若a=0, 则S n =0 （2）若a=1,则S n =1+2+3+…+n=(1)

2

n n + （3）若a ≠0且a ≠1

则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n ， ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1

∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1=

∴S n = 当a=0时，此式也成立。

∴S n =

五、分组求和法

若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

例5 求数列11111

246248162

n n ++，，，，，的前n 项和n S ．

23411

111111

(2462)(1)222

222n n n S n n n ++⎛⎫=+++

+++++

+

=++- ⎪⎝⎭． 变式练习：求数列11111,2,3

,4,3

9

2781

的前n 项和

解：211

223n

n n ++-⋅ 数列求和基础训练

1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2232221n

a a a a ++++ ＝41

3

n -

2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝ (1)n n -⋅.

3.

111

1447

(32)(31)n n +++

=

⨯⨯-⨯+31

n n +. 4.

1111

...243546(1)(3)

n n ++++•••++= 1111122323n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭

5. 数列2211,(12),(122),,(1222),

n -++++++

+的通项公式n a =12-n ，前n 项和n S =

221--+n n

11

1++---n n na a a

a )1(1)1(1

2

1≠----++a a na a a a n n )

1(1)1(1

21≠----++a a

na a a a n n