(完整版)数列求和方法归纳

数列求和
一、直接求和法（或公式法）
掌握一些常见的数列的前n 项和：123+++……+n=
(1)
2
n n +，1+3+5+……+(2n-1)=2n 2
2
2
2
123+++……+n =(1)(21)
6
n n n ++，3333123+++……+n =
2
(1)2n n +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．
解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=+++
+．
由等差数列求和公式，得原式50(3199)
50502
⨯+=
=．
变式练习：已知3
log 1
log 23-=
x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和. 解：1－n
21
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求222
2
2
2222222123101102938101++++++++的和． 解：设222
2
2
222
2222123101102938101
S =++++++++ 则222
2
22222222109811012938
101
S =+++
+++++． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．
三、裂项相消法
常见的拆项公式有：
1
()n n k =+111()k n n k -+ ，
=1k
， 1(21)(21)n n =-+111()22121
n n --+，等.
例3 已知2221
12(1)(21)6
n n n n ++
+=++，
求 222222222
35721()11212312n n n
*
+++++∈++++++N 的和． 解：222
21216
112(1)(1)(21)6
n n n a n n n n n n ++===++++++，
11
161223(1)111116122311611ln .1
n S n n n n n n ⎡⎤∴=++
+⎢⎥⨯⨯+⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++
-
⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭=+
小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即
1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.
变式练习：求数列
311⨯，421⨯，5
31
⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.
解：∵
)2(1+n n =2
1
1(21+-n n ）
S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =4
21
22143+-
+-n n 四、错位相减法
源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}
n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x +++
+-的和．
解：当1x ≠时，211
2
2(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x
-+--=+----； 当1x =时，2n S n =． 小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.
)1(2
)
1(=+a n n
变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

解：（1）若a=0, 则S n =0 （2）若a=1,则S n =1+2+3+…+n=(1)
2
n n + （3）若a ≠0且a ≠1
则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n ， ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1
∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1=
∴S n = 当a=0时，此式也成立。

∴S n =
五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.
例5 求数列11111
246248162
n n ++，，，，，的前n 项和n S ．
23411
111111
(2462)(1)222
222n n n S n n n ++⎛⎫=+++
+++++
+
=++- ⎪⎝⎭． 变式练习：求数列11111,2,3
,4,3
9
2781
的前n 项和
解：211
223n
n n ++-⋅ 数列求和基础训练
1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ
－１，则2232221n
a a a a ++++ ＝41
3
n -
2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝ (1)n n -⋅.
3.
111
1447
(32)(31)n n +++
=
⨯⨯-⨯+31
n n +. 4.
1111
...243546(1)(3)
n n ++++•••++= 1111122323n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭
5. 数列2211,(12),(122),,(1222),
n -++++++
+的通项公式n a =12-n ，前n 项和n S =
221--+n n
11
1++---n n na a a
a )1(1)1(1
2
1≠----++a a na a a a n n )
1(1)1(1
21≠----++a a
na a a a n n
6 .
;,2
12,,25,23,2132 n n -的前n 项和为 2332n n n S +=-
数列求和提高训练
1．数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则
=++++2008
3211111a a a a ( A ) A ．
2009
4016
B ．
2009
2008
C ．
1004
2007
D ．
20082007
解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，
∴利用叠加法得到：2)
1(+=
n n a n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n n n a n
， ∴)200911(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009
4016
=．
2．数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，且a 1，b 1∈N *，则数列{n b a }前10项的和等于 ( B )
A ．100
B ．85
C ．70
D ．55
解：∵a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1 ∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n ―1)―1＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3 则数列{n b a }也是等差数列，并且前10项和等于：
8510213
4=⨯+
答案：B.
3．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( A )
A.3)1(2-n n
B.21n (n +4)
C.21n (n +5)
D.2
1n (n +7)
3．解：因为 a n = n 2 - n .，则依据分组集合即得. 答案;A.
4．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( A ) A.1 B.-1 C.0 D.2
解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+)(2)(2
1
为偶为奇n n n n
答案：A
5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }
的前10项和为 ( A ) A.978 B.557 C.467 D.979
解 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则⎩
⎨⎧=+=+221
2d q d q
∴q 2-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1+1-n,∴S n =978. 答案：A
6. 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝ ( A )
A ．15 B.12 C ．－12
D.－15
解析 A 设b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2
＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.
7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
解： 设此数列{a n },其中间项为a 1001,
则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:
1000
1001
8．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .
解： 原式=.
6326)12()1(23n n n n n n +-=-•-
答案：61
;21;31-
9．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别
是等比数列{b n }的第二、三、四项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有133
2211+=++++n n
n a b c b c b c b c 成立． 求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014的值．
解：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d ＞0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，可得b n ＝3n －
1
(2)当n ＝1时，c 1＝3； 当n ≥2时，由
n n n
n
a a
b
c -=+1，得c n ＝2·3n －1， 故⎩⎨
⎧≥⋅==-).2(32),1(31
n n c n n
故c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2014＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32015．
10.设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n . 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S n ＝na 1＋1
2
n (n －1)d .∵S 7＝7，S 15＝75，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2，d ＝1.
∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12
(n －
1)． ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为－2，公差为12的等差数列． ∴T n ＝14n 2－94n .
11.已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n
a n ＋1
(1)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列；(2)求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a n 的前n 项和S n .
解析 (1)∵a n ＋1＝
2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12a n ，∴1a n ＋1－1＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-1121n
a
，又a 1＝2
3， ∴1a 1－1＝12≠0，∴1a n －1≠0，∴1
a n ＋1－1
1a n －1
＝12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以12为首项，1
2为公比的等比数 (2)由(1)知1a n －1＝12·
n
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21211
即1a n ＝12n ＋1∴n a n
＝n 2n ＋n .设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n .......①
则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2
n ＋1 ．．．．．．． ② ， ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2n ＋1 ＝2
1
121121-
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－2＋n 2n .又∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，
∴ 数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2
＋n ＋42－n ＋22n .。