§5.2 函数迭代法
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2
x0 x2 x1 x1 0.60988 x0 2 x1 x2
2
不 一 样
1 ln(4 0.60988 ) 0.61043 2 1 x3 ln(4 0.61043 ) 0.61035 2 x2
x1 x3 x2 x2 0.61036 x1 2 x2 x3
2x
xn1 4 e 2 x
n
n 0, 1, 2, 3....
, x2 3.9989 , x3 2970.4 同样取 x0 1 ，计算得 x1 3.3891
x4 4, x5 2977 , x6 4
迭代发散!
§5.2 函数迭代法 问题：如何选取迭代函数 ( x) 才能保证迭代序列
§5.2 函数迭代法
连接曲线上两点 A( x0 , x1 ), B( x1 , x2 )，与 y x 交点为 C( x1 , x1 ) * 则有 x 靠近
x1 x1 x 2 x1 x1 x 0 x1 x0
x0 x2 x1 x1 x0 2 x1 x2
2
同样：x2
( x1 ),
2
x3 ( x2 )
x1 x3 x 2 x2 x1 2 x 2 x3
§5.2 函数迭代法 不断进行下去，归纳有：
xn 1 ( xn ) x ( x ) n2 n 1 2 xn 1 xn xn 2 xn1 xn 2 xn 1 xn 2
xn1 ( xn ), n 0, 1, 2, 3,
xn1 lim ( xn ) x* ( x* ), 称 x 为第 n次近似值， 若 lim n n n ( x)为迭代函数。
§5.2 函数迭代法 例7：用迭代法求方程 e 2 x x 4 0 的根。
说明
对某些发散过程，埃特金法也适用。
2x 解：方程 f ( x) e x 4曲线如下图
5 4 3 2 1 0 -1.0 -1 -2 -3 -4 -5
f(x)=e +x-4
2x
f(x)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
将方程 e x 4 0
2x
改写为
从而得迭代公式：
1 xn 1 ln( 4 xn ) 2
h t mg m2 g y h t 2 (1 e m ) k k
h
0 y
令y 0 解以上方程即可求得小球落到地面时所用的时间 t
§5.2 函数迭代法
采用迭代法求解，将把方程化成
h t k m t (t ) h (1 e m ) mg k
其中| (t ) || 20e
xn xn1
| ( xn ) | 1 1 | | 1 ( x *的邻域内) 2 4 xn
上例中： f ( x) e 2 x x 4
1 xn1 ( xn ) ln(4 xn ) 2
xn1 ( xn ) 4 e2 xn
| ( xn ) | 2e2 xn 1 ( x *的邻域内)
例8：质量为 m 0.5 kg的小球 ，从距水平面AB高 h 10 m
处以初速度0沿垂直方向下落，设小球受到的粘滞 阻力 F kv, k 0.5sN/m, v为小球下落的速度。
试求小球落到地面时的时间。 解：取小球为研究对象，根据已知条件有 t 0 时：y (0) h, y (0) 0 小球垂直向下位移 y 所满足的微分方程为 my mg ky mg kv 该微分方程的解为
1 x ln( 4 x) 2
n 0, 1, 2, 3,
§5.2 函数迭代法
取 x0 1 ，迭代结果如表所示
由于迭代公式是根据方程 f ( x) 0设计出来的，方法可以
有多种，迭代公式可以有多个，如： 改写为 2x 将方程 e x 4 0 相应的迭代公式为：
x Baidu Nhomakorabea 4e
n 0, 1, 2
§5.2 函数迭代法
2x 例10：用埃特金法求方程 e x 4 0的根。
1 解：将方程改写为： x ln( 4 x) 2
1 x1 ln(4 1) 0.54931 2 1 x2 ln(4 x1 ) 0.61929 2
仍取 x0
1，有
x 是收敛的？
n
分析：
* ( x ) x 若 在 的某个邻域内有一阶连续导数,且对该邻域内的
x 有 ( x) q 1,则由微分中值定理得
* * xn1 x ( )( xn x ) q xn x *
反复递推得
x n x * q x n 1 x * q 2 x n 2 x * q n x0 x *
* * x x 0 x x n ， n ，n
q 1
§5.2 函数迭代法
定理
* * 设 x 是方程 x ( x) 根的，若 ( x) 在 x 的某个邻域内有
一阶导数，且对该邻域内的一切 x有
( x) q 1
则迭代公式 xn1 ( xn ) 对该邻域内任一初值 x0 均收敛。 迭代常用条件：
5.2
函数迭代法
§5.2 函数迭代法 设 f ( x) 0 f ( x) 在有根区间[a,b]上是连续函数。 设计一个迭代公式，将 f ( x) 0 写成等价形式：
x ( x)
在 [a, b]上任取 x0，带入上式右端，记所得的值为 x1
x1 ( x0 ) 迭代公式可能收 同理得 x2 ( x1 ), x3 ( x2 ) 于是迭代公式为： 敛，可能发散。
20t
|, 当 t 1时，满足 | (t ) | 1 。
取初值： t 1.0 s，求解区间为[0, 3] 计算结果：t 1.8643750 s 迭代步数：4次。
§5.2 函数迭代法
加速算法－埃特金(Aitken)法
方程 x ( x)如图示，由初值 x0出发：
计算：
x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
x0 x2 x1 x1 0.60988 x0 2 x1 x2
2
不 一 样
1 ln(4 0.60988 ) 0.61043 2 1 x3 ln(4 0.61043 ) 0.61035 2 x2
x1 x3 x2 x2 0.61036 x1 2 x2 x3
2x
xn1 4 e 2 x
n
n 0, 1, 2, 3....
, x2 3.9989 , x3 2970.4 同样取 x0 1 ，计算得 x1 3.3891
x4 4, x5 2977 , x6 4
迭代发散!
§5.2 函数迭代法 问题：如何选取迭代函数 ( x) 才能保证迭代序列
§5.2 函数迭代法
连接曲线上两点 A( x0 , x1 ), B( x1 , x2 )，与 y x 交点为 C( x1 , x1 ) * 则有 x 靠近
x1 x1 x 2 x1 x1 x 0 x1 x0
x0 x2 x1 x1 x0 2 x1 x2
2
同样：x2
( x1 ),
2
x3 ( x2 )
x1 x3 x 2 x2 x1 2 x 2 x3
§5.2 函数迭代法 不断进行下去，归纳有：
xn 1 ( xn ) x ( x ) n2 n 1 2 xn 1 xn xn 2 xn1 xn 2 xn 1 xn 2
xn1 ( xn ), n 0, 1, 2, 3,
xn1 lim ( xn ) x* ( x* ), 称 x 为第 n次近似值， 若 lim n n n ( x)为迭代函数。
§5.2 函数迭代法 例7：用迭代法求方程 e 2 x x 4 0 的根。
说明
对某些发散过程，埃特金法也适用。
2x 解：方程 f ( x) e x 4曲线如下图
5 4 3 2 1 0 -1.0 -1 -2 -3 -4 -5
f(x)=e +x-4
2x
f(x)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
将方程 e x 4 0
2x
改写为
从而得迭代公式：
1 xn 1 ln( 4 xn ) 2
h t mg m2 g y h t 2 (1 e m ) k k
h
0 y
令y 0 解以上方程即可求得小球落到地面时所用的时间 t
§5.2 函数迭代法
采用迭代法求解，将把方程化成
h t k m t (t ) h (1 e m ) mg k
其中| (t ) || 20e
xn xn1
| ( xn ) | 1 1 | | 1 ( x *的邻域内) 2 4 xn
上例中： f ( x) e 2 x x 4
1 xn1 ( xn ) ln(4 xn ) 2
xn1 ( xn ) 4 e2 xn
| ( xn ) | 2e2 xn 1 ( x *的邻域内)
例8：质量为 m 0.5 kg的小球 ，从距水平面AB高 h 10 m
处以初速度0沿垂直方向下落，设小球受到的粘滞 阻力 F kv, k 0.5sN/m, v为小球下落的速度。
试求小球落到地面时的时间。 解：取小球为研究对象，根据已知条件有 t 0 时：y (0) h, y (0) 0 小球垂直向下位移 y 所满足的微分方程为 my mg ky mg kv 该微分方程的解为
1 x ln( 4 x) 2
n 0, 1, 2, 3,
§5.2 函数迭代法
取 x0 1 ，迭代结果如表所示
由于迭代公式是根据方程 f ( x) 0设计出来的，方法可以
有多种，迭代公式可以有多个，如： 改写为 2x 将方程 e x 4 0 相应的迭代公式为：
x Baidu Nhomakorabea 4e
n 0, 1, 2
§5.2 函数迭代法
2x 例10：用埃特金法求方程 e x 4 0的根。
1 解：将方程改写为： x ln( 4 x) 2
1 x1 ln(4 1) 0.54931 2 1 x2 ln(4 x1 ) 0.61929 2
仍取 x0
1，有
x 是收敛的？
n
分析：
* ( x ) x 若 在 的某个邻域内有一阶连续导数,且对该邻域内的
x 有 ( x) q 1,则由微分中值定理得
* * xn1 x ( )( xn x ) q xn x *
反复递推得
x n x * q x n 1 x * q 2 x n 2 x * q n x0 x *
* * x x 0 x x n ， n ，n
q 1
§5.2 函数迭代法
定理
* * 设 x 是方程 x ( x) 根的，若 ( x) 在 x 的某个邻域内有
一阶导数，且对该邻域内的一切 x有
( x) q 1
则迭代公式 xn1 ( xn ) 对该邻域内任一初值 x0 均收敛。 迭代常用条件：
5.2
函数迭代法
§5.2 函数迭代法 设 f ( x) 0 f ( x) 在有根区间[a,b]上是连续函数。 设计一个迭代公式，将 f ( x) 0 写成等价形式：
x ( x)
在 [a, b]上任取 x0，带入上式右端，记所得的值为 x1
x1 ( x0 ) 迭代公式可能收 同理得 x2 ( x1 ), x3 ( x2 ) 于是迭代公式为： 敛，可能发散。
20t
|, 当 t 1时，满足 | (t ) | 1 。
取初值： t 1.0 s，求解区间为[0, 3] 计算结果：t 1.8643750 s 迭代步数：4次。
§5.2 函数迭代法
加速算法－埃特金(Aitken)法
方程 x ( x)如图示，由初值 x0出发：
计算：
x1 ( x0 ) x2 ( x1 )