§5.2 函数迭代法
迭代公式的建立ppt课件
0.4x2(k)
2
9
迭代计算
x(0) 0 [0, 0, 0]T
x(1) 1
0.3
x (1) 2
1.5
x1(k x2(k
1) 1)
0.2x2(k) 0.1x3(k) 0.3
0.2x1(k )
0.1x3(k) 1.5
x3(k
1)
0.2x1(k )
将L+U= A - D代入
x(k1) D1b D1(D A) x(k ) (I D1A) x(k) D1b
写成
x(k1) Gx(k ) d
雅可比迭代矩阵
G I D1A
d D1b
27
雅可比迭代的矩阵形式为 x(k1) Gx(k) d
第五章 线性代数方程组的迭代法
5.1 迭代公式的建立 5.2 向量和矩阵的范数 5.3 迭代过程的收敛性
1
5.1 迭代公式的建立 设线性代数方程组
写成矩阵形式 Ax=b 其中
2
迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
基本思想：对给定的方程组 Ax b ，写成等价的形式
x Gx d
a x ( k 1) ij j j 1
n
a
ij
x
( j
k
)
)
j i 1
参数 称为松弛因子。
可以证明，为了保证迭代过程收敛，必须要求
0 2。
20
迭代-加速的形式
x ( k 1) i
(1 ) xi( k )
aii
( bi
§5.2 需求函数模型
X1 X2 X = M Xn
r1 r2 R= M rn
X i = (−bi p1 ,L,−bi pi −1 ,(1 − bi ) pi ,−bi pi +1 ,L,−bi pn )
• 再改写成如下形式： 再改写成如下形式
& W = ZB + Ν
W1 W2 W = M Wn
n
（2）
Z Z & Z = O Z
b1 b2 B = M bn
Z = I − ∑ p j rj
j =1
Wi = Vi − pi ri
需求函数的0 ⑷ 需求函数的0阶齐次性条件 • 当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时， 当收入、价格、其它商品的价格等都增长倍时， 对商品的需求量没有影响。 对商品的需求量没有影响。即
, , f (λ I,λ p1,Lλ pi ,Lλ pn) =λ f (I, p1,L pi ,L pn) , ,
⒉ 对数线性需求函数模型
ln q i = α +
∑β
j =1
n
j
ln p j + γ ln I + µ
• 经验中比较普遍存在 • 参数有明确的经济意义 每个参数的经济意义和数值范围？ 每个参数的经济意义和数值范围？ • 可否用0阶齐次性条件检验？ 可否用0阶齐次性条件检验？ • OLS估计 OLS估计
⑵ 需求的自价格弹性
∆q i ε ii = qi
∆pi ∆ →0 ∂ q i → ∂ pi pi
pi qi
•生活必须品的需求自价格弹性？ 生活必须品的需求自价格弹性？ 生活必须品的需求自价格弹性 •高档消费品的需求自价格弹性？ 高档消费品的需求自价格弹性？ 高档消费品的需求自价格弹性 •“吉芬品” 的的需求收入弹性？ “吉芬品” 的的需求收入弹性？
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
迭代法
迭代法迭代法的基本思想是：将方程f (x ) = 0化为一个等价的方程)(x x ϕ= 从而构造序列,2,1,0)(1==+k x x k k ϕ 显然，如果()x ϕ连续，迭代序列收敛于*x ，则*x 就是方程f (x) = 0的解。
事实上 ())(lim )(lim lim *1x x x x k k k k k k ϕϕϕ===∞→∞→+∞→ 即)(**x x ϕ=或 0)(*=x f 所以，如果迭代序列收敛，总能收敛于原方程的解。
实际计算中，无穷过程不可能实现，只迭代到一定程度，取k x 作为原方程的近似根。
由于)(**x x ϕ=，即*x 在ϕ的映射下保持不便，因此*x 通常也称为ϕ的不动点。
例2：求方程0210)(=+-=xx x f 的一个根 解：因为f (0) = 1>0 f (1) = ‐7 <0，由定理1知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方程改为同解方程210+=x x )2lg(+=x x由此得迭代格式)2lg(1+=+k k x x取初始值x 0 = 1，可逐次算得x 1 = 0.4771x 2 = 0.3939…x 6 = 0.3758 x 7 =0.3758因为x 6和x 7已趋于一致，所以取x 7 = 0.3758为原方程在[0, 1]内的一个根的近似值。
一个方程的迭代格式并不是唯一的，且迭代也不总是收敛的。
如例2的方程也可改写成 210-=x x得迭代格式2101-=+k x k x仍取x 0 = 1算得：82101=-=x88210210≈-=x,2108103-=x 显然，该迭代序列发散。
那么迭代格式要满足哪些条件才能保证迭代收敛呢？下面我们来讨论这个问题。
迭代过程的收敛性定理（压缩映射）如果()[,]x C a b ϕ∈满足下列条件（1）当[,]x a b ∈时，()[,]x a b ϕ∈（2）存在1L <，使对[,]x a b ∈，都有()()x y L x y ϕϕ-≤-则方程)(x x ϕ=在[,]a b 上有唯一的根x *, 且对任意初值0[,]x a b ∈时，迭代序列1()k k x x ϕ+=收敛于x *。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
函数的变换与迭代
函数的变换与迭代一、函数变换1.函数平移：–水平平移：f(x + a)–垂直平移：f(x) + b2.函数缩放：–水平缩放：f(ax + b)–垂直缩放：f(x) * c3.函数反射：–y = f(-x) 为关于y轴的对称–y = -f(x) 为关于x轴的对称–y = f(x) 为关于原点的对称二、函数迭代1.迭代概念：–函数迭代：将函数的结果作为输入再次输入函数中，得到新的输出。
–迭代序列：a_n = f(a_(n-1))，其中a_0为初始值。
2.迭代规律：–收敛迭代：lim(n→∞) a_n 存在，称为收敛。
–发散迭代：lim(n→∞) a_n 不存在，称为发散。
3.迭代举例：–平方迭代：a_n = a_(n-1)^2–立方迭代：a_n = a_(n-1)^3三、函数变换与迭代的应用1.几何变换：–缩放和平移在几何图形中的应用，如图形放大、缩小、平移等。
2.物理应用：–振动方程的迭代求解，如简谐振动、非线性振动等。
–电磁场的迭代计算，如麦克斯韦方程组的求解。
3.计算机科学：–迭代算法：如斐波那契数列、矩阵幂的计算等。
–分形生成：如分形树、雪花曲线等的生成。
四、中小学生的学习内容和身心发展1.学习内容：–函数的基本概念和性质。
–函数的图像和几何变换。
–函数的迭代规律和应用。
2.身心发展：–培养学生的逻辑思维能力。
–提高学生的创新意识和实践能力。
–增强学生的数学美感和审美能力。
五、教学策略和方法1.教学策略：–结合实例讲解函数变换和迭代。
–通过问题驱动，引导学生探索函数变换和迭代规律。
–注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
2.教学方法：–讲授法：讲解函数变换和迭代的基本概念和性质。
–实践法：让学生动手实践，绘制函数图像，观察迭代规律。
–讨论法：分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
习题及方法：1.习题一：已知函数f(x) = 2x + 3，求f(x)向左平移2个单位后的函数表达式。
答案：f(x + 2) = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7解题思路：根据函数平移的规则，将函数f(x)中的x替换为x + 2，得到新的函数表达式。
§5[1][1].2 函数迭代法
![§5[1][1].2 函数迭代法](https://img.taocdn.com/s3/m/7acd93280066f5335a812119.png)
t 0
时：y ( 0 )
h,
y ( 0 ) 0
h
小球垂直向下位移 y 所满足的微分方程为 my mg ky mg kv 该微分方程的解为
y h mg k t m g k
2 2 h m
x3 (x2 )
x2 x1 x 3 x 2
2
x1 2 x 2 x 3
§5.2 函数迭代法 不断进行下去，归纳有：
x n 1 ( x n ) x n 2 ( x n 1 ) 2 x n x n 2 x n 1 x n 1 x n 2 x n 1 x n 2
x1
x 0 2 x1 x 2
0 . 60988
不 一 样
1 2 1 2
ln( 4 0 . 60988 ) 0 . 61043 ln( 4 0 . 61043 ) 0 . 61035
x2
x1 x 3 x 2
2
x1 2 x 2 x 3
0 . 61036
0
y
(1 e
t
)
令y 0 解以上方程即可求得小球落到地面时所用的时间 t
§5.2 函数迭代法
采用迭代法求解，将把方程化成
t (t ) k mg h m k (1 e
h m t
)
其中| ( t ) | | 20 e 取初值： t
20 t
|,
当t
1时，满足 | ( t ) | 1
2
( x1 ), x 3
(x2 )
迭代公式可能收 于是迭代公式为： 敛，可能发散。
函数迭代
2011年1月数学学校专题-----函数迭代利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。
一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。
如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n.若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+aan--11b(a ≠).函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。
然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。
⑴观查法例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。
例2、 设).(.12)()(2x f x x x f n 计算-=⑵不动点求函数迭代：如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f n 的不动点。
这一点用数学归纳法是容易证明的。
例3、若9319)(2+=x x f 求，)()(x fn 。
③函数迭代应用：在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。
主要有三个方面：（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。
下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。
例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。
如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。
证明：对每个n ∈N ，都有12+k k n ≤f (n )≤21+k n .例5、 设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+x1]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。
《迭代法的收敛定理》课件
探索迭代法的基本概念、原理和应用，了解其令人着迷的收敛性质和常见的 收敛定理，并深入分析和实践应用。
迭代法的基本概念
通过逐步逼近的方式解决学问题。了解如何选取初始值和迭代函数，掌握迭代过程和迭代序列的特点。
迭代法的原理和应用
深入理解迭代法的工作原理，及其在数值计算和优化问题中的广泛应用。探 索迭代算法的灵活性和效率。
收敛定理的证明方法
介绍证明收敛定理的常见方法，如数学归纳法、反证法和递推关系法。演示具体应用并讨论证明的合理性。
例题分析和实践应用
通过实际例题的分析和解决，加深对迭代法和收敛定理的理解。展示迭代法 在实践中的应用和效果。
迭代法的收敛性质
研究迭代法的收敛性质，包括局部收敛、全局收敛和收敛速度。掌握如何评估和优化迭代算法的收敛性。
收敛定理的定义
介绍收敛定理的概念和定义。了解不同类型的收敛定理，如不动点定理、收敛性判别定理等。
常见的收敛定理
详细说明常见的收敛定理，如Banach不动点定理、Newton-Raphson法的收敛 性等。展示定理的应用和实例。
迭代法导数变化率
迭代法导数变化率
【最新版】
目录
1.迭代法简介
2.导数与变化率
3.迭代法求解导数
4.迭代法的应用
5.结论
正文
1.迭代法简介
迭代法是一种求解方程或优化问题的数值方法，通过不断地尝试接近解的值，逐步逼近目标解。
迭代法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
2.导数与变化率
导数是函数在某一点处的局部性质，表示函数在该点处的变化率。
在数学分析中，导数可以用来研究函数的极值、曲率等性质。
在实际应用中，导数可以用来表示物理量在某点的变化速率，如速度、加速度等。
3.迭代法求解导数
迭代法可以用来求解导数，其中最常见的方法是牛顿法。
牛顿法是一种基于函数的泰勒展开的迭代方法，通过不断地逼近函数的切线，最终得到函数的导数。
另外，还有其他一些迭代方法，如梯度下降法、拟牛顿法等，它们也可以用于求解导数。
4.迭代法的应用
迭代法在求解导数方面有着广泛的应用，如在机器学习中，梯度下降
法可以用来求解损失函数的极小值；在物理学中，牛顿法可以用来求解运动方程的解，从而得到物体的速度和加速度等。
5.结论
迭代法是一种求解方程或优化问题的数值方法，它可以用于求解导数，从而研究函数的性质和物理量的变化速率。
第二节 迭代法 2
( k , c 0)
则称迭代格式 xk 1 ( xk ) 是 p 阶收敛的.
特别地, p = 1时称为线性收敛, p = 2 时称为二阶(平方)收敛, , 收敛阶越大, 收敛越快 1<p<2时称为超线性收敛显然 . 利用微分中值定理及泰勒展式可得下面的定理3.
数学学院 信息与计算科学系
数学学院 信息与计算科学系
3 2 f ( x ) x 4 x 10 0 在 例2 用迭代法求方程
[1,2] 内的一个近似根，取初始近似值 x0 1.5
解
原方程的等价方程可以有以下不同形式
(1) ( 2) ( 3) ( 4) x x x 3 4 x 2 10 10 x 4x x 1 x 10 x 3 2 10 x 4 x
1 x 2 x 2 )4
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
数学学院 信息与计算科学系
分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行 迭代计算，结果如下：
xk 1 1 ( xk ) (3 xk 2 x ) x26 x27 1.124123
x x ( x ) 在[a , b]上有唯一根 ;
(2) 对任意迭代初值 x0∈[a , b],迭代序列 xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,) 收敛于 x 。
数学学院 信息与计算科学系
证 (1) 先证方程 x ( x ) 之解存在且唯一. 由于 ( x ) 在[a , b]上存在, 所以 ( x ) 连续。
由定理2知 ( x0 ) 值越小，收敛速度就越快
数学学院 信息与计算科学系
取 x0 1.5 , 列表计算如下 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 1.5 -0.875 6.732 -469.7
迭代法
f ( x) 3x2 3
由简化Newton法 由弦截法
3 f ( xk ) xk 3 xk 1 xk xk 2 f ( x0 ) 3 x0 3
xk 1 xk
f ( xk ) ( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
(局部收敛性)
--------(6) --------(7)
牛顿迭代法的基本思想
设 X K 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在
若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线
f ( xk ) f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x xk ) 2 2!
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
迭代函数的构造有关
什么形式的迭代法
发散
Newton法的改进(III) : 牛顿下山法
一般地说，牛顿法的收敛性依赖于初值 x0 的选取，如果 * x x0偏离 较远，则牛顿法可能发散。 为了防止发散，通常对迭代过程再附加一项要求，即保证 函数值单调下降：
f xk 1 f xk
满足这项要求的算法称为下山法。 牛顿下山法采用以下迭代公式：x
xk 1 f ( xk ) xk ( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
这种格式称为弦截法
收敛阶约为1.618
迭代法求解方程原理
迭代法求解方程：原理与步骤详解迭代法，又称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
迭代法求解方程的原理是基于数学中的逼近理论，通过构造一个序列，使得该序列的极限值就是方程的解。
这种方法通常用于求解非线性方程或者方程组，因为这些方程可能难以通过直接求解的方式得到解析解。
迭代法求解方程的基本步骤：1.选择迭代函数：根据待求解的方程，选择一个合适的迭代函数。
这个迭代函数通常是通过对方程进行某种变换得到的。
2.确定迭代初值：为迭代过程选择一个初始值，这个初始值可以是任意的，但不同的初始值可能会影响到迭代的收敛速度和稳定性。
3.进行迭代计算：使用迭代函数和初始值，计算得到序列的第一个值。
然后，用这个值作为下一次迭代的输入，继续计算得到序列的下一个值。
如此反复进行，直到满足某个停止条件（如达到预设的迭代次数，或者相邻两次迭代结果的差值小于某个很小的阈值）。
4.判断解的有效性：如果迭代过程收敛，即序列的极限值存在且唯一，那么这个极限值就是方程的解。
否则，如果迭代过程发散，或者收敛到非唯一解，那么这种方法就失败了。
迭代法的收敛性：迭代法的关键问题是判断迭代过程是否收敛，即序列的极限值是否存在且唯一。
这通常取决于迭代函数的选择和初始值的设定。
对于某些迭代函数，无论初始值如何，迭代过程都会收敛到同一个值；而对于其他迭代函数，迭代过程可能会发散，或者收敛到多个不同的值。
迭代法的优缺点：优点：◆迭代法适用于求解难以直接求解的方程或方程组。
◆迭代法通常比直接法更容易编程实现。
◆在某些情况下，迭代法可能比直接法更快。
缺点：◆迭代法可能不收敛，或者收敛速度很慢。
◆迭代法的收敛性通常需要额外的数学分析或实验验证。
◆对于某些方程，可能需要尝试不同的迭代函数和初始值，才能找到有效的解决方案。
常见的迭代法：◆雅可比迭代法：用于求解线性方程组的一种方法，通过不断更新方程组的近似解来逼近真实解。
迭代法
太原科技大学 数值分析
n 0 1 2 3
xn 1 0.359608 -0.129685 2.796711
n 4 5 6 7
xn -18.86 2.33333 -33.114
太原科技大学 数值分析
控制迭代结束公式：xn − xn −1 |≤ ε |
可用来控 制收敛结 束
太原科技大学 数值分析源自例 求方程 x = e − x 在 x 0 = 0.5附近的近似根，要求 精确到小数点后三位。 解：设 f ( x ) = x − e − x。由于 f (0.5) < 0, f (0.6) > 0知方 程在[0.5, 0.6]上有一个根。取迭代公式： xn +1 = e − xn 其迭代函数为： ϕ ( x ) = e − x 则对于任意 x ∈ [0.5, 0.6], 有：
x11 − x10 < ε =
1 × 10 −3 ,因此取 x* = 0.567 2
太原科技大学 数值分析
迭代法的收敛性
定理
考虑方程 x =φ(x), 若 ( I ) 当 x∈(a, b) 时，φ(x)∈[a, b]； ∈ ∈ ； ( II ) ∃ 0 ≤ q < 1 使得 | φ’(x) | ≤ q 对 ∀ x∈(a, b) 成立。 ∈ 成立。 则任取 x0∈(a, b)，由 xn+1 =φ(xn) 得到的序列 { x n }∞= 0 收敛 ， n 的根x* 于方程 x =φ(x)的根 。 的根
取初值x0=1，迭代结果如下：
太原科技大学 数值分析
1 ln( 7 − 3 x 0 ) = 2 1 x 2 = ln( 7 − 3 x1 ) = 2 ... x1 = 1 ln( 7 − 3 x 7 ) = 2 1 x 9 = ln( 7 − 3 x8 ) = 2 x8 =
导数与函数的迭代法
导数与函数的迭代法导数和函数的迭代法是微积分中的两个重要概念，它们分别用于研究函数的变化率和逼近函数的解。
在本文中，我们将探讨导数的基本定义和性质，以及函数的迭代法在数值计算中的应用。
一、导数的基本定义和性质导数是描述函数变化率的重要工具，常常被用于解决实际问题和优化算法。
在微积分中，导数的定义如下：设函数y=f(x)，其中f(x)在点x处有定义，如果极限：lim┬(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x存在，那么该极限就被称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，即：f'(x)=lim┬(△x→0)[f(x+△x)-f(x)]/△x导数的意义在于描述函数在某一点的瞬时变化率，可以用来确定函数的极值点、切线方程等。
导数具有以下几个基本性质：1. 可加性：若函数y=f(x)和g(x)在点x处都可导，则[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
2. 可乘性：若函数y=f(x)和g(x)在点x处都可导，则[f(x)g(x)]' =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
3. 基本函数导数：常数函数f(x)=c的导数为0，幂函数f(x)=x^n(n为常数)的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
二、函数的迭代法函数的迭代法是一种数值计算方法，常用于求解方程的近似解。
通过反复迭代函数的计算，不断逼近方程的解，直到满足所设定的精度要求。
函数的迭代法的基本思想如下：1. 选择一个初始值x0，将其代入原方程，得到x1=f(x0)。
2. 将x1代入原方程，计算x2=f(x1)。
3. 重复以上步骤，直到满足所设定的精度要求，即|x_n+1 - x_n | < ε，其中ε为所要求的精度。
函数的迭代法可以用于求解非线性方程、递推关系式等，是一种简单而有效的数值计算方法。
三、导数与函数的迭代法的关系导数和函数的迭代法在数学和计算中有着密切的联系。
迭代法
•
• • • • • • • • • • • • • • • • •
int main() { double x,precision; int maxcyc; printf("输入初始迭代值x0:"); scanf("%lf",&x); printf("输入最大迭代次数:"); scanf("%d",&maxcyc); printf("迭代要求的精度:"); scanf("%lf",&precision); if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1 printf("该值附近的根为:%lf\n",x); else //若函数返回值为0 printf("迭代失败!\n"); getch(); return 0; }
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化 的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部 分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前 两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)-f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列： x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
谢 谢！
邮箱:lihaicg@
迭代关系式： • if (y<=3) • f=f1=f2=f3=1; • else • { f=f1+f3; • f1=f2; • f2=f3; • f3=f; • } • 相信大家都能理解！！！
第2节 迭代法
x * xk 1 4）lim g( x*) k x * x k
1 x * xk xk 1 xk 1 L
例8.3 确定xex –1=0 在[0.5，0.65] 内是否存在唯 一实根，如果存在，试构造一收敛的迭代格式，并 求出近似解，精度要求为ε=10-5 。 解:将原方程改写成如下的形式 x = e-x,则g(x) = e-x
x22= 0.56714303 | x21 - x22 |=0.00000072< 0.000001=10-6
关于解的唯一性的判别，还可以借助于根的存 在性定理。我们用另一种方法完成上面的例子。 解法二:令 f(x)=xex-1， 有 f(0.5)= -0.176 , f(0.65)= 0.5220
i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
xi 0.56727720 0.56706735 0.56718636 0.56711886 0.56715714 0.56713543 0.56714774 0.56714076 0.56714472 0.56714248 0.56714375
1
– xk 求
0.61k 0.61k 于是 x * xk x1 x0 0.10653 10 5 1 0.61 1 0.61 5 0.39 10 k 0.61 3.66 10 5 0.10653
两边取对数得到： k lg 0.61<-5+lg 3.66 查表计算得到： -0.21 k <-4.43
定理8.2 (迭代法局部收敛性定理)：如果方程 x=g(x) 满足条件： 1). g(x)在方程的解x* 的邻域内连续可微； 2). |g’(x*)|< 1 (由于g(x)在x* 的邻域内连续可微， 故一定存在 L 使得 |g’(x*)| ≤L < 1 ) ；
迭代法的般原理
第二章 迭代法的一般原理非线性方程组无论从理论上还是计算方法上，都比线性方程组复杂得多。
一般的非线性方程组很难求出解析解，往往只能求出其数值解，且往往只能借助于迭代法。
本章我们将讨论迭代法的一般原理、迭代法的一般构造及迭代收敛速度的衡量标准。
2-1 迭代法与不动点定理设n n R R D →⊂:f ，考虑方程()0=x f (2-1)若存在D *∈x ，使()0=*x f ，则称*x 为方程(2-1) 的解。
用迭代法求解(2-1) ，先将(2-1)化为等价的方程 ()x g x =(2-2)这里映象n n R R D →⊂:g 。
方程(2-2)的解*x (即()**x g x =)称为映象g 的不动点。
因此用迭代法解方程(2-1)，就是求(2-2)中映象g 的不动点。
这样以及g 是否存在不动点自然就是我们关心的问题。
定理2-1 若n n R R D →⊂:g 为有界闭集D D ⊂0上的严格非膨胀映象，()00D D ⊂g ，则g 在0D 内有唯一不动点。
证 唯一性 设g 在0D 内至少有两个不动点1x ，2x ，则()()2121x x x g x g x x 21-≤-=-α 因1<α，所以由上式推得21x x =。
唯一性得证。
记()()x g x x -=ϕ，由g 及泛数的连续性可知1:R R D n →⊂ϕ连续。
因0D 为有界闭集，故ϕ在0D 上有最小值。
设0D *∈x 为最小点，即()()x g x x -=∈m in 0D x *ϕ则*x 为g 的不动点。
因为若不然，则有()**x g x ≠，再由g 严格非膨胀，可得 ()()()()()***x g g x g x g -=ϕ()()***x x g x ϕ=-<这与*x 为ϕ的最小点相矛盾，故*x 为g 的不动点。
注 定理中0D 的有界闭性、g 的压缩性和g 映0D 入自身，此3个条件缺一不可。
例如，()xx x g 1+=在[)+∞=,D 10上严格非膨胀，但它在0D 中却没有不动点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2x
xn1 4 e 2 x
n
n 0, 1, 2, 3....
, x2 3.9989 , x3 2970.4 同样取 x0 1 ，计算得 x1 3.3891
x4 4, x5 2977 , x6 4
迭代发散!
§5.2 函数迭代法 问题：如何选取迭代函数 ( x) 才能保证迭代序列
例8：质量为 m 0.5 kg的小球 ，从距水平面AB高 h 10 m
处以初速度0沿垂直方向下落，设小球受到的粘滞 阻力 F kv, k 0.5sN/m, v为小球下落的速度。
试求小球落到地面时的时间。 解：取小球为研究对象，根据已知条件有 t 0 时：y (0) h, y (0) 0 小球垂直向下位移 y 所满足的微分方程为 my mg ky mg kv 该微分方程的解为
5.2
函数迭代法
§5.2 函数迭代法 设 f ( x) 0 f ( x) 在有根区间[a,b]上是连续函数。 设计一个迭代公式，将 f ( x) 0 写成等价形式：
x ( x)
在 [a, b]上任取 x0，带入上式右端，记所得的值为 x1
x1 ( x0 ) 迭代公式可能收 同理得 x2 ( x1 ), x3 ( x2 ) 于是迭代公式为： 敛，可能发散。
* * x x 0 x x n ， n ，n
q 1
§5.2 函数迭代法
定理
* * 设 x 是方程 x ( x) 根的，若 ( x) 在 x 的某个邻域内有
一阶导数，且对该邻域内的一切 x有
( x) q 1
则迭代公式 xn1 ( xn ) 对该邻域内任一初值 x0 均收敛。 迭代常用条件：
xn xn1
| ( xn ) | 1 1 | | 1 ( x *的邻域内) 2 4 xn
上例中： f ( x) e 2 x x 4
1 xn1 ( xn ) ln(4 xn ) 2
xn1 ( xn ) 4 e2 xn
| ( xn ) | 2e2 xn 1 ( x *的邻域内)
20t
|, 当 t 1时，满足 | (t ) | 1 。
取初值： t 1.0 s，求解区间为[0, 3] 计算结果：t 1.8643750 s 迭代步数：4次。
§5.2 函数迭代法
加速算法－埃特金(Aitken)法
方程 x ( x)如图示，由初值 x0出发：
计算：
x1 ( x0 ) x2 ( x1 )
( x1 ),
2
x3 ( x2 )
x1 x3 x 2 x2 x1 2 x 2 x3
§5.2 函数迭代法 不断进行下去，归纳有：
xn 1 ( xn ) x ( x ) n2 n 1 2 xn 1 xn xn 2 xn1 xn 2 xn 1 xn 2
说明
对某些发散过程，埃特金法也适用。
x 是收敛的？
n
分析：
* ( x ) x 若 在 的某个邻域内有一阶连续导数,且对该邻域内的
x 有 ( x) q 1,则由微分中值定理得
* * xn1 x ( )( xn x ) q xn x *
反复递推得
x n x * q x n 1 x * q 2 x n 2 x * q n x0 x *
§5.2 函数迭代法
连接曲线上两点 A( x0 , x1 ), B( x1 , x2 )，与 y x 交点为 C( x1 , x1 ) * 则有 x 靠近
x1 x1 x 2 x1 x1 x 0 x1 x0
x0 x2 x1 x1 x0 2 x1 x2
2
同样：x2
xn1 ( xn ), n 0, 1, 2, 3,
xn1 lim ( xn ) x* ( x* ), 称 x 为第 n次近似值， 若 lim n n n ( x)为迭代函数。
§5.2 函数迭代法 例7：用迭代法求方程 e 2 x x 4 0 的根。
n 0, 1, 2
§5.2 函数迭代法
2x 例10：用埃特金法求方程 e x 4 0的根。
1 解：将方程改写为： x ln( 4 x) 2
1 x1 ln(4 1) 0.54931 2 1 x2 ln(4 x1 ) 0.61929 2
仍取 x0
1，有
2x 解：方程 f ( x) e x 4曲线如下图
5 4 3 2 1 0 -1.0 -1 -2 -3 -4 -5
f(x)=e +x-4
2x
f(x)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
将方程 e x 4 0
2x
改写为
从而得迭代公式：
1 xn 1 ln( 4 xn ) 2
2
x0 x2 x1 x1 0.60988 x0 2 x1 x2
2
不 一 样
1 ln(4 0.60988 ) 0.61043 2 1 x3 ln(4 0.61043 ) 0.61035 2 x2
x1 x3 x2 x2 0.61036 x1 2 x2 x3
1 x ln( 4 x) 2
n 0, 1, 2, 3,
§5.2 函数迭代法
取 x0 1 ，迭代结果如表所示
由于迭代公式是根据方程 f ( x) 0设计出来的，方法可以
有多种，迭代公式可以有多个，如： 改写为 2x 将方程 e x 4 0 相应的迭代公式为：
x 4e
h t mg m2 g y h t 2 (1 e m ) k k
h
0 y
令y 0 解以上方程即可求得小球落到地面时所用的时间 t
§5.2 函数迭代法
采用迭代法求解，将把方程化成
h t k m t (t ) h (1 e m ) mg k
其中| (t ) || 20e