高考北师大版数学总复习课件：2.2函数的单调性与最值
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4ac－ b2 ，＋∞ 4a
2 4 ac － b －∞， 4a
；当 a<0 时，值域为
.
k (3)y＝ (k≠ 0)的值域是 {y|y∈R 且 y≠0} ． x
(4)y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)的值域是 (0，＋∞)． (5)y＝ logax(a>0，且 a≠ 1)的值域是 R . (6)y＝ sinx， y＝ cos x， y＝ tan x 的值域分别为 [－ 1,1]，R .
知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1< x2 时， ①若 f(x1)<f(x2) ，则 f(x)在 区间D 上是增函数； ②若 f(x1)>f(x2) ，则 f(x)在 区间D 上是减函数．
(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函 数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x) 的单调区间．
2．函数的最值 (1)设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤M ②存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝M . 则称 M 是 f(x)的最大值． ；
(2)设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝M . 则称 M 是 f(x)的最小值．
3．判断函数单调性的方法 (1)定义法：利用定义严格判断． (2)利用函数的运算性质：如若 f(x)、 g(x)为增函数，则 ① f(x)＋ g(x)为增函数； 1 ② 为减函数(f(x)>0)； fx ③ fx为增函数(f(x)≥ 0)； ④ f(x)· g(x)为增函数 (f(x)>0， g(x)>0)； ⑤－ f(x)为减函数．
3．函数 y＝log1 (x2－ 5x＋ 6)的单调递增区间为 (
2
)
5 A. ，＋∞ 2 5 C. －∞， 2
B． (3，＋∞ ) D． (－∞， 2)
[答案] D
[解析] 由 x2－ 5x＋ 6>0⇒ x>3 或 x<2. ∵ y＝log1 u 在 (0，＋∞)上为减函数，
2．(文 )(2011· 新课标理，2)下列函数中， 既是偶函数又在 (0， ＋∞ )单调递增的函数是 ( A． y＝ x3 C． y＝－ x2＋ 1 ) B． y＝ |x|＋ 1 D． y＝ 2－|x|
[答案] B
[解析] 本题考查函数的奇偶性以及单调性． 对于 A， y＝ x3 不是偶函数， A 错误；B 正确，既是偶函数 又在 (0，＋∞ )上单增；对于 C，在 (0，＋∞ )上单调递减，错误； 对于 D，在(0，＋∞ )上单调递减，错误，故选 B.
(6)导数法 ①若 f(x)在某个区间内可导，当 f′ (x)>0 时， f(x)为 增 函 数；当 f′ (x)<0 时， f(x)为 减 函数； ②若 f(x)在某个区间内可导，当 f(x)在该区间上递增时，则 f′ (x) ≥ 0；当 f(x)在该区间上递减时，则 f′ (x) ≤ 0.
4．基本初等函数的值域 (1)y＝ kx＋ b(k≠ 0)的值域为 R . (2)y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的值域是当 a>0 时，值域为
2
1 2
在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是 ( A．①② C．③④ B．②③ D．①④
)
[答案] B
[解析 ] ①是幂函数，其在 (0，＋∞ )上为增函数，故此项 不符合题意；②中的函数是由函数 y＝ log1 x 向左平移 1 个单位
2
得到的，因原函数在(0，＋∞ )上为减函数，故此项符合题意； ③中的函数图像是由函数 y＝ x－1 的图像保留 x 轴上方的部分， 下方的图像翻折到 x 轴上方得到的，由其图像可知函数在 (0,1) 上单调递减；④中的函数为指数函数，其底数大于 1，故其在 R 上单调递增，不符合题意．综上可知选 B.
(3)利用复合函数关系判断单调性． 法则是“ 同增异减 ”，即两个简单函数的单调性相同， 则这两个函数的复合函数为 增函数 ， 若两个简单函数的单调 性相反，则这两个函数的复合函数为 减函数． (4)图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 相同 的单 调性； 偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 相反 的单调 性．
2
u＝ x2－ 5Biblioteka Baidu＋ 6 在 (－∞，2)上为减函数， ∴函数 y＝ log1 (x2－ 5x＋ 6)在 (－∞，2)上为增函数．
(理 )(2012· 辽宁朝阳模拟 )f(x)＝ 4x2－ mx＋ 5 在 [－ 2，＋∞) 为增函数，f(1)的取值范围是( A． (－∞，25] C． [25，＋∞) ) B． (25，＋∞ ) D． (－∞，25)
[答案] C
m [解析 ] 由题意知对称轴 ≤－ 2，即 m≤－ 16，所以 f(1) 8 ＝ 9－ m≥ 25.
第 二 节
函数的单调性与最值
考纲解读 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值．
考向预测 1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年 高考中均有重要体现． 2．求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的 取值范围是热点．
[－1,1]，
基 础 自 测
1.(文 )(教材改编题 )下列函数中，在区间 (0,2)上为增函数的 是( ) A． y＝－ x＋ 1 C． y＝ x － 4x＋ 5
2
B． y＝ x 2 D． y＝ x
[答案] B
[解析] 结合函数的图像可知只有选项 B 对应的函数满足 题意．
(理 )(2012· 潍坊模拟 )给定函数： ① y＝ x ；②y＝ log1 (x＋ 1)；③ y＝ |x－ 1|；④ y＝ 2x＋1，其中
2 4 ac － b －∞， 4a
；当 a<0 时，值域为
.
k (3)y＝ (k≠ 0)的值域是 {y|y∈R 且 y≠0} ． x
(4)y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)的值域是 (0，＋∞)． (5)y＝ logax(a>0，且 a≠ 1)的值域是 R . (6)y＝ sinx， y＝ cos x， y＝ tan x 的值域分别为 [－ 1,1]，R .
知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2，当 x1< x2 时， ①若 f(x1)<f(x2) ，则 f(x)在 区间D 上是增函数； ②若 f(x1)>f(x2) ，则 f(x)在 区间D 上是减函数．
(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ，则称函 数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做 f(x) 的单调区间．
2．函数的最值 (1)设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤M ②存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝M . 则称 M 是 f(x)的最大值． ；
(2)设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M，满足： ①对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝M . 则称 M 是 f(x)的最小值．
3．判断函数单调性的方法 (1)定义法：利用定义严格判断． (2)利用函数的运算性质：如若 f(x)、 g(x)为增函数，则 ① f(x)＋ g(x)为增函数； 1 ② 为减函数(f(x)>0)； fx ③ fx为增函数(f(x)≥ 0)； ④ f(x)· g(x)为增函数 (f(x)>0， g(x)>0)； ⑤－ f(x)为减函数．
3．函数 y＝log1 (x2－ 5x＋ 6)的单调递增区间为 (
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)
5 A. ，＋∞ 2 5 C. －∞， 2
B． (3，＋∞ ) D． (－∞， 2)
[答案] D
[解析] 由 x2－ 5x＋ 6>0⇒ x>3 或 x<2. ∵ y＝log1 u 在 (0，＋∞)上为减函数，
2．(文 )(2011· 新课标理，2)下列函数中， 既是偶函数又在 (0， ＋∞ )单调递增的函数是 ( A． y＝ x3 C． y＝－ x2＋ 1 ) B． y＝ |x|＋ 1 D． y＝ 2－|x|
[答案] B
[解析] 本题考查函数的奇偶性以及单调性． 对于 A， y＝ x3 不是偶函数， A 错误；B 正确，既是偶函数 又在 (0，＋∞ )上单增；对于 C，在 (0，＋∞ )上单调递减，错误； 对于 D，在(0，＋∞ )上单调递减，错误，故选 B.
(6)导数法 ①若 f(x)在某个区间内可导，当 f′ (x)>0 时， f(x)为 增 函 数；当 f′ (x)<0 时， f(x)为 减 函数； ②若 f(x)在某个区间内可导，当 f(x)在该区间上递增时，则 f′ (x) ≥ 0；当 f(x)在该区间上递减时，则 f′ (x) ≤ 0.
4．基本初等函数的值域 (1)y＝ kx＋ b(k≠ 0)的值域为 R . (2)y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的值域是当 a>0 时，值域为
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在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是 ( A．①② C．③④ B．②③ D．①④
)
[答案] B
[解析 ] ①是幂函数，其在 (0，＋∞ )上为增函数，故此项 不符合题意；②中的函数是由函数 y＝ log1 x 向左平移 1 个单位
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得到的，因原函数在(0，＋∞ )上为减函数，故此项符合题意； ③中的函数图像是由函数 y＝ x－1 的图像保留 x 轴上方的部分， 下方的图像翻折到 x 轴上方得到的，由其图像可知函数在 (0,1) 上单调递减；④中的函数为指数函数，其底数大于 1，故其在 R 上单调递增，不符合题意．综上可知选 B.
(3)利用复合函数关系判断单调性． 法则是“ 同增异减 ”，即两个简单函数的单调性相同， 则这两个函数的复合函数为 增函数 ， 若两个简单函数的单调 性相反，则这两个函数的复合函数为 减函数． (4)图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有 相同 的单 调性； 偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 相反 的单调 性．
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u＝ x2－ 5Biblioteka Baidu＋ 6 在 (－∞，2)上为减函数， ∴函数 y＝ log1 (x2－ 5x＋ 6)在 (－∞，2)上为增函数．
(理 )(2012· 辽宁朝阳模拟 )f(x)＝ 4x2－ mx＋ 5 在 [－ 2，＋∞) 为增函数，f(1)的取值范围是( A． (－∞，25] C． [25，＋∞) ) B． (25，＋∞ ) D． (－∞，25)
[答案] C
m [解析 ] 由题意知对称轴 ≤－ 2，即 m≤－ 16，所以 f(1) 8 ＝ 9－ m≥ 25.
第 二 节
函数的单调性与最值
考纲解读 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值．
考向预测 1．函数的单调性与最值是函数最重要的两个性质，在每年 高考中均有重要体现． 2．求单调区间、判断单调性、求最值及利用它们求参数的 取值范围是热点．
[－1,1]，
基 础 自 测
1.(文 )(教材改编题 )下列函数中，在区间 (0,2)上为增函数的 是( ) A． y＝－ x＋ 1 C． y＝ x － 4x＋ 5
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B． y＝ x 2 D． y＝ x
[答案] B
[解析] 结合函数的图像可知只有选项 B 对应的函数满足 题意．
(理 )(2012· 潍坊模拟 )给定函数： ① y＝ x ；②y＝ log1 (x＋ 1)；③ y＝ |x－ 1|；④ y＝ 2x＋1，其中