从简单问题浅谈发散思维
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t t1 t 2 t n
即是这个排列的逆序数。所以，该题的逆序数为
t 0 1 1 2 2 3 (n 1) n n 2 。
我们也可以从反面入手，比每一元素 pi 小 的且排在 pi 后面 的元素有 i 个，则 ． ．．
1 2 n ，也是这个排列的逆序数。在题目中，易见排在元素 1, 2, , n 后 ．
Shallow talk to dissipate of the thinking from the simple problem MA Bao-lin , LIU Juan ( Henan Institute of Science and Technology , Xinxiang, Henan
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现代数学教学把发展学生的思维提到了相当高的地位，形象地喻数学 教学为 “思维的体操”[1] 。 而从创新的角度来说， 思维不能局限于一个范围， 而应向多方面、更广泛的区域扩展，也即是思维要有一定的广度。在许多 问题中，再将思维的广度进行更深一层地拓展，便会引出一连串的创意， 这就是思维的发散。随着高新技术的发展，越来越要求人们的思路广阔， 头脑开放。真正实用的人才必须具备发散思维特征。所谓发散思维就是围 绕某一有待解决的问题，让思维尽可能地向各个方向和各个方面去展开， 沿着问题各种不同的方面去思考，不依常规，寻求变异， “不择手段” ，从 多方面探索答案，重组眼前的信息和记忆系统中的信息，并产生新的有用 信息。[2] 发散思维不是单一的思维形式，它是创造性思维的核心，是优化了 多种思维形式的综合产物。
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面 且比其小 的元素个数为零，所以只考虑 (2n) ，(2n 1) ，(2n 2) ，…，(n 1) ． ． 即可，所以，该题的逆序数为
t (2n 1) (2n 3) (2n 5) 1 n 2
善于从反面思考，举反例、变式、四种命题的转换研究，常常是数学 教育中产生逆向发散思维的起点。这时就需要发散者具备较为完整的学科 基本结构，具有良好的发散思维的习惯，敢于大胆尝试与创新，同时要求 发散者有敏锐的洞察力，对问题解决的初步方案迅速作出判断，评价与取 舍。 四、穷举发散，举一反三 数学在培养学生的观察力、推理能力、想象能力、类比能力、探索能 力、创造能力方面的重大作用不言而喻，但是我们在一些简单的问题上， 所花的时间、精力不多，有的学生光挑难题作，对于那些显而易见的题目 不假思索，这就丢失了数学最坚实的基础。万物的“始基” （物质的构成） ， 自古以来就是一个诱人的问题。 [7] 而数学上的一些假说（猜想） ，都是在简 单的问题当中诞生。例如： 6 3 3 ， 8 3 5 ， 10 3 7 ， 12 5 7 等等，从 这些等式中，有人猜想：每一个不小于 6 的偶数，都可以表示为两个奇素 数之和。这个人就是哥德巴赫，这一猜想被后人称之为哥德巴赫猜想。在 数学证明中，常用的数学归纳法也正是这一思想的体现。所以，我们应该 对某一简单的问题，进行综合分析，熟练把握该题的聚焦点，从已知到未 知寻找已知的各种充分条件，并列地展开各种可能出现的合理联想，联想 是由表及里，由浅入深，由此及彼，由简到繁，从已知发散到未知的途径 和桥梁。这也是培养数学发散思维的一种模式。
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筛选，找到科学合理的结论；也可以从简单的例子入手，大胆尝试新的求 异思维，将聚焦点打散，放在不定、可变的地位上加以观察和思考、探索 “可变”的各种可能；甚至在范例中也可稳中求变，变中求活，活中求异， 异中求新，新中求广。 比如，我们在小学就见过这样一道题目：树上十只鸟，用枪打死一只， 还剩几只鸟？常规思维是 9 只。但是答案却是 1 只也没有，因为鸟儿全吓 飞了。对于这倒题目，我是这样认为的，答案是：不一定。分析如下：1） 因为题目只问还剩几只鸟，死鸟也是鸟，活着的 9 只就算飞走了，它也存 在在世界上，数学上的存在 是指只要有就行，不求大小不论位置，所以存 ．． 在 10 只；2）活着的是 9 只；3）假如死鸟挂在树上，其余的 9 只飞走了， 所以树上只有 1 只；4）死鸟落地，其余飞走，树上 0 只；5）树上的 9 只 鸟都是老弱病残，飞不动了，树上还剩 9 只；6）由于枪声，鸟儿全都吓成 的心肌梗塞，动不了了，树上还剩 9 只；7）死鸟的父母，久久不忍离去， 所以树上还有 2 只；8）死了的是鸟中之王呢？可想而知…… 简单的问题中，隐藏着深刻的思想，我们对未知的东西，就应该大胆 猜测，对已知的东西，就应该大胆怀疑，对于常规的问题，就应该大胆突 破。 二、横向发散，逐层扩张 没有游离于数学知识之外的数学方法，也没有不包含数学方法的数学 知识。数学科学的内容中，始终反映着两条线，即数学基础知识与数学思 想方法，每一章节乃至每一道题，都体现着这两条线的有机结合。 [5] 因此， 在培养数学思维时，仅仅满足于对数学方法的自发认知是远远不够的，应
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最后，我讲一个小故事：一位农夫请了工程师，物理学家和数学家， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，直称这是最 优设计；物理学家将篱笆拉开成一条直线，假设篱笆无限长，认为可以围 半个地球总够大了；数学家不声不响，用很少的篱笆把自己为起来，然后 说： “我现在是在篱笆的外面。 ”从这个简单故事中，我们又该思考一些什 么呢？ 参考资料： 1、李晓红 浅谈数学教学中学生发散思维能力的培养 山西煤炭管理干部学 院学报 2002，2：28-29 2、赵善基 谈高等数学教学中的几种思维模式 工科数学 2002，18（4） ： 49-53 3、李元中，王仲春 数学教学系统方法概论 陕西人民教育出版社 4、陶家元 发散思维中的聚焦点 西南民族学院学报·自然科学版 1998， 24（2） ：229-231 5、钱学森 关于思维科学 上海人民出版 1987 6、张万琴 线性代数 机械工业出版社 2002，7 7、王前 假设与理论 辽宁人民出版社 1987 8、张顺燕 数学的思想、方法和应用 北京大学出版社 1997，11
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个的，灵活变通，突出探索创新，以点盖面，深入思想，逐层扩张。 三、逆向发散，对立统一 数学思维应具有高度的灵活性，即不过多的受思维定势的影响和思维 转向的及时性，善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。比如小时 候，我们都学过司马光砸缸救童的事迹，当伙伴掉进大水缸时，司马光砸 缸的行为与其他小孩去喊大人的目的一致，均为救人。但不同的是两者思 维模式，其他小孩去喊大人是让小孩离开水，而司马光砸缸是让水离开小 孩。对于某一数学问题，可以根据它的特点从常规思维的反面或否定方面 去思考和探索，顺推不行，考虑逆推，直接不行，考虑间接，探讨可能性 发生困难时考虑不可能性，从对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清 对某些数学概念的模糊认识，更深刻、更透彻地理解新知识。 比如，微积分中，求导是顺水行舟，只要掌握公式即可，而积分犹如 逆水行舟，不进则退，讲究朔 “源” ，这是也是发散思维最讲究的，也是 最常见的一种形式。 再如， 线性代数 [6] 中逆序的求解中有这样一个简单的题 目，求排列 (2n) 1 (2n 1) 2 (2n 2) 3… (n 1) n 的逆序数，依定义可知，比每一 元素 pi 大 且排在 pi 前面 的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 源自文库i ，全体 ． ．． 元素的逆序数之总和
453003) Abstract: Dissipating of the thinking is the core of creative thinking, which is advantageous to developing student's variety, flexibility and specialty of thinking. But in actual mathematics teaching, a lot of teachers just request the student to carry on dissipating of the thinking from various aspects while solving tough problem. But I think the development of dissipate of the thinking should pay much attention to commence from the simple topic. This essay will shallowly talk how to develop the student's ability of dissipating of the thinking. Key words: Simple problem, dissipate of the thinking, focus point, innovation, mathematics
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当将发散思维从自发提高到自觉的程度，以点盖面，逐层扩张。我们可以 时时刻刻训练我们的思维，磨合我们的思维，尝试从一点一滴入手，从简 单入手，慢慢扩散我们的思维。教师在教学过程中，不应该单纯地让学生 模仿解题步骤，掌握定理、结论，而是要增加开放性、探究性问题，将知 识拓广，拉伸，有意识的将同一来源的数学信息，与相关的各方面的数学 知识点、知识线、知识面、知识块相联系，章节内部、各章之间，甚至数 学各分科之间的相互联系，进行横向发散，这样更有利于促进学生对概念、 公式、定理的横向拓广、纵向深入。 比如，我们在学习线性代数时，有一个简单的定理： “一个排列中任意 两个元素对换，排列改变奇偶性” 。先说说它的证明思路，该题采用在证明 了特殊的“一次相邻对换，排列改变奇偶性”之后，将任意对换刻意的化 成了若干次的相邻对换，最后根据已证的结论断定定理的正确性。其中包 含着一种特殊的数学思想----将未知的问题转化为已知的问题。这一思想 在数学证明中举足轻重。 我们再将该定理逐层扩张， 便可得到以下结论： 1） 一次对换，排列改变奇偶性；2）两次对换，排列不改变奇偶性；3）奇数 次对换，排列改变奇偶性，4）偶数次对换，排列不改变奇偶性；5）奇排 列对调成标准排列需奇数次；6）偶排列对调成标准排列需偶数次。然后将 此作为工具证明： “所有 n 级排列中，奇偶排列各占一半” 。7）行列式的所 有项中正负各占一半。…… 数学发散思维的实质就是创新，所以由此可知，数学中的简单问题可 以通过发散思维将其横向扩散，注重理解数学的思想实质，围绕聚焦点， 将思维形式拉伸，从固定的到可变的、从已知的到未知的，从单一的到多
从简单问题浅谈发散思维
马宝林 刘娟 （河南科技学院数学系，河南 新乡 453003）
摘要：发散思维是创造性思维的核心，进行发散思维训练有利于培养 学生思维的多向性、灵活性和独特性。但是在实际的数学教学中，很多教 师只有在解决难题时，才要求学生从多种渠道进行发散思维。而我却觉得 对于发散思维的培养，更应该注重从简单题目入手。本文将从简单的问题 中浅谈如何培养学生发散思维能力。 关键词：简单问题，发散思维，聚焦点，创新，数学
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在实际教学中正确培养和拓展学生的发散思维能力，对造就创造性人 才极为重要。但是很多教师只有在解决难题时，才要求学生从多种渠道进 行发散思维。而我却觉得对于发散思维的培养，更应该注重从简单题目入 手。因为， “将未知的问题转化为已知的问题、将一般的问题转化为特殊的 问题”是数学上的一个重要思想。发散思维就应从单调狭窄转向丰富开阔， 思维坐标应从“一维纵向”转向“多维立体” ，思维模式应从“相斥选择” 向“相兼选择”转变，以便于习惯多方向推理，多角度研究。[3] 这就要求学 生思路清晰，思维灵敏，站在已经解决了的简单问题上。我们需要掌握较 多的关于这种问题的变形、推广，因此更需要有对这种方法的深刻理解， 掌握它的变异特征，这样才能恰如其分地将题目进行变换，达到解题的目 的。也只有这样，才有可能将我们所学的知识多元化，系统化，深刻化。 另外，在解决具体的问题或推广某一问题时，始终会围绕着一个主题、一 个思想，我们把它称之为进行发散思维的聚焦点。[4] 因此，在教学中如何围 绕聚焦点，提高创造精神，发展创造能力，研究、培养数学发散思维已经 成了数学教学中应予以重视的一个重要问题。本文就此谈点粗浅的看法。 一、求异发散，不依常规 发散思维需要不依常规，寻求变异，对同一来源的数学信息进行大幅 度、多方位的联想、判断，对人们已有的完整定论的形式、关系、方法持 怀疑态度，探求不同的形式、关系、方法，从多方面寻求问题的答案。也 就是打破习惯思维程序，摆脱思维定势的束缚，赋予开拓创新意识。我们 不必循规蹈矩，尽可能的张扬我们的思维，对于同一数学问题，思考时不 急于归一，而应自由发散，提出多方面的设想和各种解决方案，然后经过
即是这个排列的逆序数。所以，该题的逆序数为
t 0 1 1 2 2 3 (n 1) n n 2 。
我们也可以从反面入手，比每一元素 pi 小 的且排在 pi 后面 的元素有 i 个，则 ． ．．
1 2 n ，也是这个排列的逆序数。在题目中，易见排在元素 1, 2, , n 后 ．
Shallow talk to dissipate of the thinking from the simple problem MA Bao-lin , LIU Juan ( Henan Institute of Science and Technology , Xinxiang, Henan
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现代数学教学把发展学生的思维提到了相当高的地位，形象地喻数学 教学为 “思维的体操”[1] 。 而从创新的角度来说， 思维不能局限于一个范围， 而应向多方面、更广泛的区域扩展，也即是思维要有一定的广度。在许多 问题中，再将思维的广度进行更深一层地拓展，便会引出一连串的创意， 这就是思维的发散。随着高新技术的发展，越来越要求人们的思路广阔， 头脑开放。真正实用的人才必须具备发散思维特征。所谓发散思维就是围 绕某一有待解决的问题，让思维尽可能地向各个方向和各个方面去展开， 沿着问题各种不同的方面去思考，不依常规，寻求变异， “不择手段” ，从 多方面探索答案，重组眼前的信息和记忆系统中的信息，并产生新的有用 信息。[2] 发散思维不是单一的思维形式，它是创造性思维的核心，是优化了 多种思维形式的综合产物。
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面 且比其小 的元素个数为零，所以只考虑 (2n) ，(2n 1) ，(2n 2) ，…，(n 1) ． ． 即可，所以，该题的逆序数为
t (2n 1) (2n 3) (2n 5) 1 n 2
善于从反面思考，举反例、变式、四种命题的转换研究，常常是数学 教育中产生逆向发散思维的起点。这时就需要发散者具备较为完整的学科 基本结构，具有良好的发散思维的习惯，敢于大胆尝试与创新，同时要求 发散者有敏锐的洞察力，对问题解决的初步方案迅速作出判断，评价与取 舍。 四、穷举发散，举一反三 数学在培养学生的观察力、推理能力、想象能力、类比能力、探索能 力、创造能力方面的重大作用不言而喻，但是我们在一些简单的问题上， 所花的时间、精力不多，有的学生光挑难题作，对于那些显而易见的题目 不假思索，这就丢失了数学最坚实的基础。万物的“始基” （物质的构成） ， 自古以来就是一个诱人的问题。 [7] 而数学上的一些假说（猜想） ，都是在简 单的问题当中诞生。例如： 6 3 3 ， 8 3 5 ， 10 3 7 ， 12 5 7 等等，从 这些等式中，有人猜想：每一个不小于 6 的偶数，都可以表示为两个奇素 数之和。这个人就是哥德巴赫，这一猜想被后人称之为哥德巴赫猜想。在 数学证明中，常用的数学归纳法也正是这一思想的体现。所以，我们应该 对某一简单的问题，进行综合分析，熟练把握该题的聚焦点，从已知到未 知寻找已知的各种充分条件，并列地展开各种可能出现的合理联想，联想 是由表及里，由浅入深，由此及彼，由简到繁，从已知发散到未知的途径 和桥梁。这也是培养数学发散思维的一种模式。
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筛选，找到科学合理的结论；也可以从简单的例子入手，大胆尝试新的求 异思维，将聚焦点打散，放在不定、可变的地位上加以观察和思考、探索 “可变”的各种可能；甚至在范例中也可稳中求变，变中求活，活中求异， 异中求新，新中求广。 比如，我们在小学就见过这样一道题目：树上十只鸟，用枪打死一只， 还剩几只鸟？常规思维是 9 只。但是答案却是 1 只也没有，因为鸟儿全吓 飞了。对于这倒题目，我是这样认为的，答案是：不一定。分析如下：1） 因为题目只问还剩几只鸟，死鸟也是鸟，活着的 9 只就算飞走了，它也存 在在世界上，数学上的存在 是指只要有就行，不求大小不论位置，所以存 ．． 在 10 只；2）活着的是 9 只；3）假如死鸟挂在树上，其余的 9 只飞走了， 所以树上只有 1 只；4）死鸟落地，其余飞走，树上 0 只；5）树上的 9 只 鸟都是老弱病残，飞不动了，树上还剩 9 只；6）由于枪声，鸟儿全都吓成 的心肌梗塞，动不了了，树上还剩 9 只；7）死鸟的父母，久久不忍离去， 所以树上还有 2 只；8）死了的是鸟中之王呢？可想而知…… 简单的问题中，隐藏着深刻的思想，我们对未知的东西，就应该大胆 猜测，对已知的东西，就应该大胆怀疑，对于常规的问题，就应该大胆突 破。 二、横向发散，逐层扩张 没有游离于数学知识之外的数学方法，也没有不包含数学方法的数学 知识。数学科学的内容中，始终反映着两条线，即数学基础知识与数学思 想方法，每一章节乃至每一道题，都体现着这两条线的有机结合。 [5] 因此， 在培养数学思维时，仅仅满足于对数学方法的自发认知是远远不够的，应
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最后，我讲一个小故事：一位农夫请了工程师，物理学家和数学家， 想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，直称这是最 优设计；物理学家将篱笆拉开成一条直线，假设篱笆无限长，认为可以围 半个地球总够大了；数学家不声不响，用很少的篱笆把自己为起来，然后 说： “我现在是在篱笆的外面。 ”从这个简单故事中，我们又该思考一些什 么呢？ 参考资料： 1、李晓红 浅谈数学教学中学生发散思维能力的培养 山西煤炭管理干部学 院学报 2002，2：28-29 2、赵善基 谈高等数学教学中的几种思维模式 工科数学 2002，18（4） ： 49-53 3、李元中，王仲春 数学教学系统方法概论 陕西人民教育出版社 4、陶家元 发散思维中的聚焦点 西南民族学院学报·自然科学版 1998， 24（2） ：229-231 5、钱学森 关于思维科学 上海人民出版 1987 6、张万琴 线性代数 机械工业出版社 2002，7 7、王前 假设与理论 辽宁人民出版社 1987 8、张顺燕 数学的思想、方法和应用 北京大学出版社 1997，11
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个的，灵活变通，突出探索创新，以点盖面，深入思想，逐层扩张。 三、逆向发散，对立统一 数学思维应具有高度的灵活性，即不过多的受思维定势的影响和思维 转向的及时性，善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。比如小时 候，我们都学过司马光砸缸救童的事迹，当伙伴掉进大水缸时，司马光砸 缸的行为与其他小孩去喊大人的目的一致，均为救人。但不同的是两者思 维模式，其他小孩去喊大人是让小孩离开水，而司马光砸缸是让水离开小 孩。对于某一数学问题，可以根据它的特点从常规思维的反面或否定方面 去思考和探索，顺推不行，考虑逆推，直接不行，考虑间接，探讨可能性 发生困难时考虑不可能性，从对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清 对某些数学概念的模糊认识，更深刻、更透彻地理解新知识。 比如，微积分中，求导是顺水行舟，只要掌握公式即可，而积分犹如 逆水行舟，不进则退，讲究朔 “源” ，这是也是发散思维最讲究的，也是 最常见的一种形式。 再如， 线性代数 [6] 中逆序的求解中有这样一个简单的题 目，求排列 (2n) 1 (2n 1) 2 (2n 2) 3… (n 1) n 的逆序数，依定义可知，比每一 元素 pi 大 且排在 pi 前面 的元素有 ti 个，就说 pi 这个元素的逆序数是 源自文库i ，全体 ． ．． 元素的逆序数之总和
453003) Abstract: Dissipating of the thinking is the core of creative thinking, which is advantageous to developing student's variety, flexibility and specialty of thinking. But in actual mathematics teaching, a lot of teachers just request the student to carry on dissipating of the thinking from various aspects while solving tough problem. But I think the development of dissipate of the thinking should pay much attention to commence from the simple topic. This essay will shallowly talk how to develop the student's ability of dissipating of the thinking. Key words: Simple problem, dissipate of the thinking, focus point, innovation, mathematics
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当将发散思维从自发提高到自觉的程度，以点盖面，逐层扩张。我们可以 时时刻刻训练我们的思维，磨合我们的思维，尝试从一点一滴入手，从简 单入手，慢慢扩散我们的思维。教师在教学过程中，不应该单纯地让学生 模仿解题步骤，掌握定理、结论，而是要增加开放性、探究性问题，将知 识拓广，拉伸，有意识的将同一来源的数学信息，与相关的各方面的数学 知识点、知识线、知识面、知识块相联系，章节内部、各章之间，甚至数 学各分科之间的相互联系，进行横向发散，这样更有利于促进学生对概念、 公式、定理的横向拓广、纵向深入。 比如，我们在学习线性代数时，有一个简单的定理： “一个排列中任意 两个元素对换，排列改变奇偶性” 。先说说它的证明思路，该题采用在证明 了特殊的“一次相邻对换，排列改变奇偶性”之后，将任意对换刻意的化 成了若干次的相邻对换，最后根据已证的结论断定定理的正确性。其中包 含着一种特殊的数学思想----将未知的问题转化为已知的问题。这一思想 在数学证明中举足轻重。 我们再将该定理逐层扩张， 便可得到以下结论： 1） 一次对换，排列改变奇偶性；2）两次对换，排列不改变奇偶性；3）奇数 次对换，排列改变奇偶性，4）偶数次对换，排列不改变奇偶性；5）奇排 列对调成标准排列需奇数次；6）偶排列对调成标准排列需偶数次。然后将 此作为工具证明： “所有 n 级排列中，奇偶排列各占一半” 。7）行列式的所 有项中正负各占一半。…… 数学发散思维的实质就是创新，所以由此可知，数学中的简单问题可 以通过发散思维将其横向扩散，注重理解数学的思想实质，围绕聚焦点， 将思维形式拉伸，从固定的到可变的、从已知的到未知的，从单一的到多
从简单问题浅谈发散思维
马宝林 刘娟 （河南科技学院数学系，河南 新乡 453003）
摘要：发散思维是创造性思维的核心，进行发散思维训练有利于培养 学生思维的多向性、灵活性和独特性。但是在实际的数学教学中，很多教 师只有在解决难题时，才要求学生从多种渠道进行发散思维。而我却觉得 对于发散思维的培养，更应该注重从简单题目入手。本文将从简单的问题 中浅谈如何培养学生发散思维能力。 关键词：简单问题，发散思维，聚焦点，创新，数学
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在实际教学中正确培养和拓展学生的发散思维能力，对造就创造性人 才极为重要。但是很多教师只有在解决难题时，才要求学生从多种渠道进 行发散思维。而我却觉得对于发散思维的培养，更应该注重从简单题目入 手。因为， “将未知的问题转化为已知的问题、将一般的问题转化为特殊的 问题”是数学上的一个重要思想。发散思维就应从单调狭窄转向丰富开阔， 思维坐标应从“一维纵向”转向“多维立体” ，思维模式应从“相斥选择” 向“相兼选择”转变，以便于习惯多方向推理，多角度研究。[3] 这就要求学 生思路清晰，思维灵敏，站在已经解决了的简单问题上。我们需要掌握较 多的关于这种问题的变形、推广，因此更需要有对这种方法的深刻理解， 掌握它的变异特征，这样才能恰如其分地将题目进行变换，达到解题的目 的。也只有这样，才有可能将我们所学的知识多元化，系统化，深刻化。 另外，在解决具体的问题或推广某一问题时，始终会围绕着一个主题、一 个思想，我们把它称之为进行发散思维的聚焦点。[4] 因此，在教学中如何围 绕聚焦点，提高创造精神，发展创造能力，研究、培养数学发散思维已经 成了数学教学中应予以重视的一个重要问题。本文就此谈点粗浅的看法。 一、求异发散，不依常规 发散思维需要不依常规，寻求变异，对同一来源的数学信息进行大幅 度、多方位的联想、判断，对人们已有的完整定论的形式、关系、方法持 怀疑态度，探求不同的形式、关系、方法，从多方面寻求问题的答案。也 就是打破习惯思维程序，摆脱思维定势的束缚，赋予开拓创新意识。我们 不必循规蹈矩，尽可能的张扬我们的思维，对于同一数学问题，思考时不 急于归一，而应自由发散，提出多方面的设想和各种解决方案，然后经过