万有引力求天体的质量

求天体的质量(密度,加速度)

1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量

由mg=G 2R

Mm

得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重

力加速度和天体的半径．）

2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

222

224T

mr mr r v m r Mm G πω===

若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体

的质量为G r GT

r G rv M 3

223224ωπ===

1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和

轨道半径，由22ωmr r

Mm

G

=可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2

324GT r M π=，所以D 项正确 2. 2010·全国卷Ⅱ·21已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

A ．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时 【答案】B

【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R 1，密度ρ1。某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R 2，密度ρ2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有

12112

1

3

111)2(34

r T m r R Gm ππρ=⨯

2222

2

23

2

2

2)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯ 两式化简得122

1

2==

T T 小时 3. (2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的半径R ，万有引力常量为G 。在该轨道上，神舟七号航天飞船（.BCD ） A ．运行的线速度大小为

T

R

π2 B ．运行的线速度小于第一宇宙速度

C ．运行时的向心加速度大小22)

(4T h R +π

D ．地球表面的重力加速度大小为2

23

2)(4R

T h R +π 4.(05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1

μm 到10 m 的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×104

km 延伸到1.4×105

km .已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h ,引力常量为6.67×10

-11

N ·m 2

/kg 2

,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用） ( ) A .9.0×1016

kg B .6.4×1017

kg C .9.0×1025 kg

D .6.4×1026

kg

答案 D

解析 由万有引力作用提供向心力得222

π4T

r

m r GMm = 所以M =2

113

822

32)600314(1067.6)104.1(π4π4⨯⨯⨯⨯⨯=-GT r

=6.4×1026

kg

5.（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=

6.67×

10-11

N

·m 2/kg 2,

,

由此估算该行星的平均密度为

（ D ）

A.1.8×103

kg/m 3

B. 5.6×103

kg/m

3

C. 1.1×104

kg/m 3

D.2.9×104

kg/m 3

解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供

2224T R m R Mm G π=,可求出地球的质量.然后根据3

43R M

πρ=,可得该行星的密度约为2.9×104

kg/m 3

。

6、（06北京卷）24 .一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量C

A.飞船的轨道半径

B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期

D.行星的质量

7. 北京市昌平一中高三年级第二次月考有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（ D ） A.

4

1

； B.4倍； C.16倍； D.64倍。