两样本均值的比较.
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– 受測者成對抽取，每對中的各元素性質相近。
二個獨立樣本平均數差的統計推論
• X1與X2是來自兩個母體的獨立樣本，其統計量： 2 2 X 1 , X 2 , s1 , s2 • X 1 X 2 的抽樣分配
VarX 1 X 2
E X 1 X 2 1 2 X1 X 2
成對樣本平均值檢定 （paired t-test）
• 實驗設計需要兩處理的基本條件相似。
– 成對（match）或區集 （block）
• 當兩樣本來自於相同環境。
D X1 X 2 1 D Di n i 1
2 1 n S Di D n 1 i 1 2 D n
E D ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
2 SD 2 VarD D n S D D n
D D SD n D 1 2 S C .I .D t ,n 1 D 2 n tn 1
• Example：
– 某一藥劑研究員欲研究某種藥丸是否如預期降低血壓，研究人員 先記錄15名女性的血壓，在服用6個月之後再檢測血壓，得下列 資料
• 1.虛無假設及對立假設 • 2.檢定此藥丸是否有降低血壓之功用(reject H0) • 3.1-2之95％信賴區間(2.72 , 14.88)
1 前 後 70 68 2 80 72 3 72 62 4 76 70 5 76 58 6 76 66 7 72 68 8 78 52 9 82 64 10 64 72 11 74 74 12 92 60 13 74 74 14 86 72 15 84 74
X X
1 2
• 信賴區間：
X
1
X 2 t
,n1 n2 2 2
X1 X 2
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但不相等
• t檢定：--不須計算Sp；以S1，S2代替σ1 , σ2 • Cochran折衷法
t
• Example：
– 為進行一項研究，選出25乳牛，比較兩種飼料的效果，一為脫水 牧草，另一為枯萎牧草。隨機選出12頭餵食脫水牧草，另外13頭 餵食枯萎牧草。其牛乳產量如下表。μ1、μ2為常態分配，且有相 同的變異數，試求：﹙α=0.05﹚
• 請檢定兩種牧草的效果是否相同。 • μ1-μ2之95%信賴區間。(-4.02 , 9.82)
牛奶產量表 A牧草 n1=13 平均數45.15 均方63.97
B牧草
n2=12
平均數42.25
均方76.39
• Example：
– 欲檢測肥沃土壤與貧脊土壤的某微量元素含量是否相 同，試檢測兩土壤之該元素含量有無差異。
沃土 5.9 3.8 6.5 18.3 16.2 16.1 7.6 脊土 7.6 1.4 1.1 3.2 5.5 4.1
12
n1
2 2
n2
X1 X 2
兩樣本均值差的抽樣分配
• 大樣本μ1-μ2之抽樣分配 • Z檢定：
Z
X
1
X 2 1 2
2 S12 S 2 n1 n2
• 信賴區間：
X
1
X 2 Z X1 X 2
兩樣本均值的比較
兩種處理方法的比較
Sample1 Population Sample2
•Example： •常遇到的問題
•1.新舊比較效果比較。 •2.兩不同品種產量比較。 •3.A與B事件比較。
名詞解釋
• 處理(treatment)：
– 欲做比較的事實。有吃藥/無吃藥；對象的種類。
• 實驗單位(experiment unit)：
– 陳述一項處理的基本單位，或稱受測者(experimental subjects)
• 反應(response)：
– 被實驗者在一處理後的特徵。
獨立與成對
• 獨立樣本(independent sample)：
– treatment 1 & treatment 2 不相關。
• 成對樣本(paired sample) or (matched sample)：
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但相等
• t檢定：
t
復習
Z X
X
1
X 2 1 2
2 Sp
n
n1 S
2 p
2 Sp
n2
( X Z
2
n
, X Z
2
n
)
2 n1 1S12 n2 1S 2 n1 1 n2 1
– 從A城市湖水中抽取85個樣本得到其湖水的鹽分含量18.3，標準差 1.2。從B城市湖水中抽取110個樣本得到其湖水的鹽分含量17.8， 標準差1.8。請檢定A城市湖泊鹽分是否高於B城市湖泊鹽量。 (α=0.05)(reject H0)
• Example：
– 與比較A、B兩個社團中女性第一次結婚的年齡，由此 兩社團中隨機抽出各100位已婚女性，紀錄第一次結婚 的年齡，A社團為20.7歲，標準差6.3；B社團18.5，標 準差5.8。試求μ1-μ2之95%信賴區間。(0.52 , 3.88)
2 2 t1 S X t S 2 X2 1 2 2 SX S X2 1 2 S12 S2 t n2 1 n1 n2 2 S12 S 2 n1 n2
t n1 1
• If t>t’(σ/2) then reject H0
• Example：(Sp)
– 為了比較A、B兩種咖啡中的咖啡因含量，從A咖啡中 抽取10樣本，測得咖啡因含量為3.1毫克，標準差為0.5 毫克。自B中抽取8個樣本，其平均值為2.7毫克，標準 差為0.7毫克，假設兩組樣本變異數相同，求兩A、B母 體平均數差的95%信賴區間。(-0.2 , 1)
2
• Example：(sσ)
– 醫院比較A、B兩病房住院病人的平均住院天數，隨機抽取A病房 64個病例，平均數6.54天，標準差1.2。隨機抽取B病房，81個病 例，其平均數為6.24天，標準差為0.96。問兩病房平均住院天數 差的95%信賴區間。(-0.06 , 0.6607)
• Example：(單尾)
二個獨立樣本平均數差的統計推論
• X1與X2是來自兩個母體的獨立樣本，其統計量： 2 2 X 1 , X 2 , s1 , s2 • X 1 X 2 的抽樣分配
VarX 1 X 2
E X 1 X 2 1 2 X1 X 2
成對樣本平均值檢定 （paired t-test）
• 實驗設計需要兩處理的基本條件相似。
– 成對（match）或區集 （block）
• 當兩樣本來自於相同環境。
D X1 X 2 1 D Di n i 1
2 1 n S Di D n 1 i 1 2 D n
E D ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD
2 SD 2 VarD D n S D D n
D D SD n D 1 2 S C .I .D t ,n 1 D 2 n tn 1
• Example：
– 某一藥劑研究員欲研究某種藥丸是否如預期降低血壓，研究人員 先記錄15名女性的血壓，在服用6個月之後再檢測血壓，得下列 資料
• 1.虛無假設及對立假設 • 2.檢定此藥丸是否有降低血壓之功用(reject H0) • 3.1-2之95％信賴區間(2.72 , 14.88)
1 前 後 70 68 2 80 72 3 72 62 4 76 70 5 76 58 6 76 66 7 72 68 8 78 52 9 82 64 10 64 72 11 74 74 12 92 60 13 74 74 14 86 72 15 84 74
X X
1 2
• 信賴區間：
X
1
X 2 t
,n1 n2 2 2
X1 X 2
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但不相等
• t檢定：--不須計算Sp；以S1，S2代替σ1 , σ2 • Cochran折衷法
t
• Example：
– 為進行一項研究，選出25乳牛，比較兩種飼料的效果，一為脫水 牧草，另一為枯萎牧草。隨機選出12頭餵食脫水牧草，另外13頭 餵食枯萎牧草。其牛乳產量如下表。μ1、μ2為常態分配，且有相 同的變異數，試求：﹙α=0.05﹚
• 請檢定兩種牧草的效果是否相同。 • μ1-μ2之95%信賴區間。(-4.02 , 9.82)
牛奶產量表 A牧草 n1=13 平均數45.15 均方63.97
B牧草
n2=12
平均數42.25
均方76.39
• Example：
– 欲檢測肥沃土壤與貧脊土壤的某微量元素含量是否相 同，試檢測兩土壤之該元素含量有無差異。
沃土 5.9 3.8 6.5 18.3 16.2 16.1 7.6 脊土 7.6 1.4 1.1 3.2 5.5 4.1
12
n1
2 2
n2
X1 X 2
兩樣本均值差的抽樣分配
• 大樣本μ1-μ2之抽樣分配 • Z檢定：
Z
X
1
X 2 1 2
2 S12 S 2 n1 n2
• 信賴區間：
X
1
X 2 Z X1 X 2
兩樣本均值的比較
兩種處理方法的比較
Sample1 Population Sample2
•Example： •常遇到的問題
•1.新舊比較效果比較。 •2.兩不同品種產量比較。 •3.A與B事件比較。
名詞解釋
• 處理(treatment)：
– 欲做比較的事實。有吃藥/無吃藥；對象的種類。
• 實驗單位(experiment unit)：
– 陳述一項處理的基本單位，或稱受測者(experimental subjects)
• 反應(response)：
– 被實驗者在一處理後的特徵。
獨立與成對
• 獨立樣本(independent sample)：
– treatment 1 & treatment 2 不相關。
• 成對樣本(paired sample) or (matched sample)：
• 小樣本μ1-μ2之抽樣分配
– σ1 , σ2未知但相等
• t檢定：
t
復習
Z X
X
1
X 2 1 2
2 Sp
n
n1 S
2 p
2 Sp
n2
( X Z
2
n
, X Z
2
n
)
2 n1 1S12 n2 1S 2 n1 1 n2 1
– 從A城市湖水中抽取85個樣本得到其湖水的鹽分含量18.3，標準差 1.2。從B城市湖水中抽取110個樣本得到其湖水的鹽分含量17.8， 標準差1.8。請檢定A城市湖泊鹽分是否高於B城市湖泊鹽量。 (α=0.05)(reject H0)
• Example：
– 與比較A、B兩個社團中女性第一次結婚的年齡，由此 兩社團中隨機抽出各100位已婚女性，紀錄第一次結婚 的年齡，A社團為20.7歲，標準差6.3；B社團18.5，標 準差5.8。試求μ1-μ2之95%信賴區間。(0.52 , 3.88)
2 2 t1 S X t S 2 X2 1 2 2 SX S X2 1 2 S12 S2 t n2 1 n1 n2 2 S12 S 2 n1 n2
t n1 1
• If t>t’(σ/2) then reject H0
• Example：(Sp)
– 為了比較A、B兩種咖啡中的咖啡因含量，從A咖啡中 抽取10樣本，測得咖啡因含量為3.1毫克，標準差為0.5 毫克。自B中抽取8個樣本，其平均值為2.7毫克，標準 差為0.7毫克，假設兩組樣本變異數相同，求兩A、B母 體平均數差的95%信賴區間。(-0.2 , 1)
2
• Example：(sσ)
– 醫院比較A、B兩病房住院病人的平均住院天數，隨機抽取A病房 64個病例，平均數6.54天，標準差1.2。隨機抽取B病房，81個病 例，其平均數為6.24天，標準差為0.96。問兩病房平均住院天數 差的95%信賴區間。(-0.06 , 0.6607)
• Example：(單尾)