等腰直角三角形

11

等腰直角三角形

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹亦直角锐角45，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径R就为（根号2加1），所以r:R=1:（根号2加1）。

目录

1关系

2线段

3解三角形

4勾股定理

5证明方法

6定理

7相关定理

8梅涅劳斯9特殊等腰

高：顶点到对边垂足的连线。

角平分线；顶点到两边距离相等的点所构成的直线。

中位线：任意两边中点的连线。

3解三角形

在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有

（1）正弦定理

a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)

（2）余弦定理。

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cb

b^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2ac

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab

4勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C 满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

5证明方法

证法1

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ AB EG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

a^2+b^2=c^2

证法2

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

证法3

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上，

a^2+b^2=c^2

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面积等于，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证，矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即a^2+b^2=c^2

证法5(欧几里得的证法)