08高考数学第二轮复习直线与圆的方程

08高考数学直线与圆的方程

一、重点知识结构

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；

曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；

圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；

5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线

【例题】

【例1】已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使 AB C的面积等于21，求点A的坐标。

解：直线B C方程为2x＋5y－22 = 0,|B C| = 29，设点A坐标(3y－3,y)，则可求A到

B C 的距离为29

|

2811|-y ，∵∆AB C 面积为21，∴

2129

|2811|2921=-∙y ， ∴11141170-=

或y ，故点A 坐标为（1170,

11177）或（11

14

,1175--）. 【例2】

已知直线l 的方程为3x +4y －12=0, 求直线l ′

的方程, 使得：

(1) l ′

与l 平行, 且过点(－1,3) ;

(2) l ′

与l 垂直, 且l ′

与两轴围成的三角形面积为4.

解： (1) 由条件, 可设l ′

的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′

的方程为 3x +4y －9=0; (2) 由条件, 可设l ′

的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -=, 令x =0, 得3

n

y =, 于是由三角形面积43

421=∙-∙=

n n S , 得n 2

=96, ∴64±=n ∴直线l ′

的方程是06434=+-y x 或06434=--y x

【例3】

过原点的两条直线把直线2x ＋3y －12 = 0在坐标轴间的线段分成三

等分，求这二直线的夹角。

解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角。 ∵2=CA BC ，∴⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+⨯+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）. 又2=DB AD ，∴⎪⎩

⎪⎨

⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k . ∴1393

13413134|1|

=⨯+-=

+-=OD

OC OD

OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ. 【例4】

圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P,Q 两点,求c 为

何值时,OP ⊥OQ(O 为原点).

解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5

1

21c y y +=∙, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5

121-=∙c x x , ∵OP ⊥OQ,∴

12211-=∙x y x y ,∴5

274512--=+c c ，解得c = 3.

【例5】 已知直线y =－2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0相切,求b 的值和

切点的坐标.

解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,

整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令∆= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5

)

2(2+=

b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，

∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.

【例6】

已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .

证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0 f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0

∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .

【例7】

某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览

室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.

由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =t a n xCA =

x

a a -αcos α

sin ,

.αcos α

sin tan x

b b xCB k BC -=

=

于是t a n ACB =

AC BC AC BC k k k k ⋅+-1α

cos )(α

sin )(αcos )(αsin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x x

ab b a x x b a ab x b a