量子力学中的力学量

第二章 力学量的算符

经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但ψ并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。

本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；

两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；

四个本征态及本征值：坐标x 或r 、动量x p ∧或∧p 、角动量∧2

L 及z L ∧、能量（哈密顿量∧

H ）。

本部分的难点是任意态),(t x ψ与力学量算符本征态n ϕ及力学量概率态n C 的区别。

1 厄米算符

1.1 算符：算符∧

F 只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如

⎰、、dx d

等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量p

与

∇- i 相当，自由粒子体系的能量E 与2

22∇-μ

相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。

1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数 ϕψ=∧

F （1） 但在特殊情况下，得到

λψψ=∧

F （2）

λ为实或复常数。量子力学中把这样的函数称为算符∧

F 的本征函数，对应的常数λ称为算符

∧

F 的本征值，相应的关系式称为本征方程。 1.3 厄米算符：

（1）算符∧

F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符∧

*

F 。例如∇-=∧

i p ，则∇=∧

i p *

， 一般来说，∧∧

≠*

p p 。

（2）算符∧

F 的转置算符定义为∧

~F ，即

⎰⎰∧

∧

=dx F dx F ϕψϕψ*~* （3）

ϕψ,*

一般为任意函数，∧

∧≠F F ，例如算符

x

∂∂

的转置算符为 x x ∂∂

-=∂∂~ （4） 这是因为 ⎰⎰∞∞∞

∞∂∂

=∂∂＋－＋－dx x

dx x **

~

ψϕϕψ

⎰⎰∞

∞∞∞∞

∞

∂∂

-=∂∂-=＋－＋－＋－dx x dx x ϕψϕψϕψ)(|

**

* （3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为∧

+∧=F F ~*

，即

⎰⎰⎰∧

∧

∧+

==dx F dx F dx F ϕψϕψϕψ**

**

)( （5） 一般来讲， ∧∧+

≠F F ，但动量算符却例外，如 x

i p x ∂∂-=∧

， x x

p x

i p ∧∧

+=∂∂

-= （6） （4）厄米算符 满足∧

∧+

=F F 的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄 米算符，虽然没有任何标记，当它都包含转置共轭的性质，如∧

F 为厄米算符，则有 ⎰⎰⎰∧

∧∧

==dx F dx F dx F ϕψϕψϕψ**

*

*)( （7）

此式被认定为厄米算符的定义式，经常应用不可忽视。这种特殊性质的算符，对它的本征值具 有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数。

厄米算符的特殊作用以及它的本征函数、本征值在量子力学中占有极其重要的地位。

2 力学量用厄米算符表示

当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表 示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一 步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能 与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量F 可以用一个线性厄米 算符∧F 来表示，简称为力学量算符∧F ，所谓“线性”，无非是要求∧

F 满足运算 22112211)(ψψψψ∧

∧

∧

+=+F c F c c c F （8）

实中21,c c 为任意常数。“厄米”才是关键所在。而“表示”只是指一种表现形式，这要看算符

所作用的态函数的变量（后面表象理论一讲详细讨论）。本讲基本上都是以坐标r

为变量，所以

只需以∇-==∧

∧

i p r r ,为基础，原则上可以得出所有力学量算符

),(),(∇-==∧∧∧

∧

i r F p r F F （9）

3 力学量算符的本征态和本征值

微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。

假定体系处于力学量算符∧

F 的本征态ϕ，本征方程为

λϕϕ=∧

F （10） 说明力学量算符对应着确定的实数本征值λ，这时的力学量没有别的选择，只能是 λ=F （11）

即当体系处于力学量算符∧

F 的本征态时，力学量F 具有确定值。这种确定的关系可以表示为

λϕ

ϕϕ=→→→∧

∧

∧

F F F F 的本征态）力学量( 确定值

量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符∧

F 的本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符∧

F 的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符

2

2

22dx d H μ -=∧

的本征态（能量本征态）x a

n a x n πψsin 2)(=

，势阱宽)~0(a ，本征值 3,2,1,22

2

22===n n a

E E n μπ，力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱。 大致可分为三类：（1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；（2）带谱—本征值被限定在某些区域， ,,43211x

F x x F x <<<<例如固体中的能带；（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为λ或λ'，分立谱记为),2,1( =n n λ。对应的本征函数分别记为λλϕϕ',及n ϕ。二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如s 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为s 度简并。

四个特例 3.1 球坐标中的角动量 首先看角动量的z 分量 ϕ

∂∂

-=∧

i L z 的本征函数。设其本征函数为)(ϕΦ，对应的本征值为z L ，则本征方程为Φ=∂Φ

∂-z L i ϕ

，将其变为im L i z ==∂Φ∂ ϕln )( m L z = 可解出ϕϕim m Ce =Φ)( ，由波函数单值性要求ϕπϕim im e e =+)2(， 故m 必须是整数，即

,2,1,0±±=m ，可见本征值 m L z =是量子化的分立谱。利用归一化条件

⎰=⋅=ΦΦπ

πϕ20

2

*12C d