第二换元法-教案

例6
解：原式 令
还原变量：最后要用 不能用 ：运用“直角三角形法”将含有 的式子转化为 ：
“对比邻”
观察右图，可见 “对比斜”
原式
练习 方法同上述
以上三种是三类题，虽然都是去根号，但方法途径不同，请大家冷静下来回味一下。
四．割换“ ”
例8 令
解：原式
还原变量：最后要用 不能用 ：运用“直角三角形法”将含有 的式子转化为 ：
实际上，该题的应该先凑微分。
解： ，然后令 ，转化为例1
练习1
解：令变量 ，即作变量代换 从而微分
2求不定积分
解：令 则
二．弦换含有“ ”
例3 让我们联想到 ，如果令 就可以消去根号。
解：令 此时在实数集 上有： ，即
原式
遇到正负号问题：索性定一个主值区间： 则 ，
为正，这就避免了符号的纠缠。
回代
可见：“弦换”目标也是去根号，但去根号的方法、手段是弦的变换；
原式 此时 得“微出去”明显检验出：
“回代： ”
可见，凑微分是将微分号外面的式子凑到里面，即“凑进来”，而“二换”是将微分号里面的式子“微出去”。
其方向相反
若： 我们从例一得到经验！本题障碍在于含有 ，索性将 设为 。
例2
积分的障碍也是“ ”，但根号里含有2次。如果“ ”设成 ， 求出有含有新的“ ”。这样，去掉一个根号，又来了一个根号，达不到降低难度、化简为易的目的。
4.3.2第二换元法
教学内容：
前面介绍了直接积分法、第一换元法，对不同的题型用不同的求积分方法，注意方法应得当。第一换元法是先凑微分，再用新变量 替换 ．但是有些积分是不容易凑微分的，需要新的积分法，即第二换元法．
一．根换即将整个根号设为
例1 对于 用一换可一下子求出
解：令 ，则 ，但是本题若也用一换：“ ”
即 邻比斜”
观察右图，可见 “对比邻”
原式
例9 显然不等于“ ”
解：原式 令 ，
虽与前面形式上不同，但方法一样。方法越多，越得理性化，拿到题先评估。
例10 该题可以用二换，但是用直接积分法更简单
解：原式
例11
解：原式
小结：应用第二换元法求根换型和三角代换型的积分。
如果此时令“ ”，则主值区间“ ”，但是求出来结果“ ”，与“ ”实质上一样，不必多虑。
练习1 “与上题很像，咋处理？数学是一门艺术，需要创作，一件东西经过创作换成另一种形式”
解：原式 令 ，则 ，这里“ ”
2
解：原式 令
总之，“弦换”就是公式：“ ”的运用。
三．切换含有“ ”
三角函数公式还有：“ ， ”，应用“切割公式”就有了“切换”