中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题

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∴ MB MC，∠∠ MBC MCB 60 ∵ M 是 AD 中点 ∴ AM MD ∵ AD ∥ BC ∴∠∠， AMB MBC 60 ∠∠ DMC MCB 60 ∴ △≌△ AMB DMC ∴ AB DC ∴梯形 ABCD 是等腰梯形． （2）解：在等边 △MBC 中， MB MC BC 4， ∠∠， MBC
【例4】2010，门头沟，一模 已知正方形 ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F ，连接 DF ， G 为 DF 中点，连接 EG ， CG ． （1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系； （2）将图1中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ，如图2所示，取 DF 中点 G ，连接 EG ， CG ，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结 论是否仍然成立？（不要求证明）
B
60° P
Q
C
【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考 察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二 问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目 给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条 件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找 比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】 （1）证明：∵ △MBC 是等边三角形
第一部分 真题精讲 【例1】（2010，密云，一模） 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD 3 ， DC 5 ， BC 10 ，梯形的高为 4 ．动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线 段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t （秒）．
3 5
60 ． 17
A D N H
B
M
C
③ 当 MC CN 时， 则 10 2t t ．
t 10 ． 3 25 60 10 、 或 时， △MNC 为等腰三角形． 8 17 3
综上所述，当 t
【例2】（2010，崇文，一模） 在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边 且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并 证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ 4 2 ， BC 3 ， CD= x ，求线段CP的长．（用含 x 的式子表示）
中考数学重难点专题讲座 第三讲 动态几何问题
智康·刘豪 【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已 经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态 问题。从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问 题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函 数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平 移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之 重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解 法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐， 建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越 多的时间。
∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构
A 筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一 问的条件， F
然后一样求解。
B G D E
C
（2）CF⊥BD．(1)中结论成立． 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º 即CF⊥BD
4
易证△AQD∽△DCP，∴ CP CD ， ∴
DQ AQ
CP x ， 4 x 4
CP
x x． 4
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②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x．
过A作 AG AC 交CB延长线于点G，则 AGD ACF ． CF⊥BD，
MCB 60
∠MPQ 60
∴∠∠∠∠ BMP BPM
BPM
QPC 120
(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴∠∠ BMP ∴ △∽△ BMP ∴
PC CQ BM BP
QPC CQP
∵ PC x，MQ y ∴ BP 4 x，QC 4 y
∴
【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN= NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等 腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就 成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： ① 当 MN NC 时，如图②作 NF BC 交 BC 于 F ，则有 MC 2 FC 即．（利用等腰三角形底边 高也是底边中线的性质）
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四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法， 自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1） CG EG （2）（1）中结论没有发生变化，即 CG EG ． 证明：连接 AG ，过 G 点作 MN AD 于 M ，与 EF 的延长线交于 N 点． 在 DAG 与 DCG 中， ∵ AD CD ，， ADG CDG DG DG ， ∴ DAG ≌ DCG ． ∴ AG CG ． 在 DMG 与 FNG 中， ∵ DGM FGN ，， FG DG MDG NFG ， ∴ DMG ≌ FNG ． ∴ MG NG 在矩形 AENM 中， AM EN 在 Rt AMG 与 Rt ENG 中， ∵ AM EN ， MG NG ， ∴ AMG ≌ ENG ． ∴ AG EG ． ∴ EG CG
DF 4 ， CD 5 3 ∴ cos C ， 5 3t ∴ 10 2t 2 ， 5 25 解得 t ． 8
∵ sin C
2
A
D N
B
M
F
C
② 当 MN MC 时，如图③，过 M 作 MH CD 于H． 则 CN 2CH ， ∴ t 2 10 2t ． ∴t
1 2 x x4 4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，
∴
x 4 y 4 4 x
∴y
很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．
【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一 样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，
（3）解： △PQC 为直角三角形
1 2 x 2 3 4
∵y
∴当 y 取最小值时， x PC 2 ∴ P 是 BC 的中点， MP BC， 而∠， MPQ 60 ∴∠， CPQ 30
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∴∠PQC 90 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例 如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么 就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形 时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.
A D G E B 图1 C E F B 图3 C A G E F D A D
F
B 图2
C
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意 角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜 边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题 的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要 的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的
A D N
BMຫໍສະໝຸດ C（1）当 MN ∥ AB 时，求 t 的值； （2）试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形．
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【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多 同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通 过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静 的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现， 和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关 系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出 方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时，如图①，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于 E 点，则四边 形 ABED 是平行四边形．