叶轮机械原理第二章 基本方程..

连续方程
在 dt 时间内流过面积 dA 的气 体质量dm为：
dm v sin dAdt
在单位时间内流过dA的气流质 量，即质量流量（mass flow rate） 为： dm dm v sin dA dt
连续方程
在叶轮机械中习惯于用气体总参数和流量函 数q(λ)表示连续方程:
dmK

p T

q sin dA

v
2k * RT k 1
其中K为综合常数， k=1.4 ,R=287.06J/(kg · K)时，K=0.0404sK0.5/m; k=1.33,R=287.4 J/(kg· K)时，K=0.0397 sK0.5/m
连续方程
如果在叶轮机中沿轴向任一截面Ai上气流参数 是均匀的，即一维流动（气体参数仅沿流动方向发 生变化），则任一截面Ai上的流量为
i1w i2 w 2 w12 w2 c pT1 c pT2 2 2
热力学第一定律方程
热力学第一定律
dq c p dT 1

dp di
1

dp
在叶轮机中，气体微团从截面1运动到截面2， 气体从状态1变化到状态2，过程积分
q i2 i1
n 1 n 2 1 p n dp RT1 2 1 1 p1 n 1
机械能形式的能量方程
气体压缩过程——焓熵图
热力学第二定律： dq Tds 热力学关系式： ds
cp T dT R dp p
s2 s1 c p ln T2 T1
k 1 k 2 1 p k Lad dp RT1 2 1 1 p1 k 1
绝热压缩功
多变压缩过程：过程中存在损失和热交换，产生了多变指 数 n=k时，绝热过程 n p / 常数
n=1时，等温过程
多变压缩功
L pol
mi K

Pi q (i ) sin i Ai Ti


热焓形式的能量方程
根据能量守恒定律，得热焓形式的能量方程：
2 v2 v12 Lu qe c p (T2 T1 ) c p (T2 T1 ) 2
Lu(J/kg或m2/s2): 轮缘功，是 Lu >0：叶轮机对单位质量气体加入的机械功（压气机转子）； Lu <0：单位质量气体对叶轮机输出的机械功（涡轮转子）。 qe(J/kg或m2/s2): 单位质量气体与叶轮机热量的交换。 qe>0：叶轮机对气体加入热量； qe<0：气体对叶轮机输出热量。
叶轮机械原理
第二章 气动热力学基本方程 在叶轮机械中的应用
在气体动力学和工程热力学中已介绍过描述气 体运动的基本方程（三大守恒）
连续方程 热焓形式的能量方程 机械能形式的能量方程 热力学第一定律方程 （广义伯努利方程） 动量方程（欧拉方程） 动量矩方程（叶轮机欧拉方程）
本章重点介绍上述方程在叶轮机械中的应用
等压线为对数曲线： dp 0 等温过程 绝热过程 多变过程
流动过程中有无摩擦和热量交换，会影响n值的大小。n=k时，变 化过程为等熵绝热过程，即没有摩擦和与外界没有热量交换过程
2
dp
1

dp
或
qe L f i2 i1
2
1

(q qe q f , q f Lf )
机械能形式的能量方程
绝对坐标系下的机械能形式的能量方程（伯努 利方程）
2 2 dp v2 v12 Lu Lf 1 2
相对坐标系下的机械能形式的能量方程
热焓形式的能量方程
绝对坐标系下的热焓形式能量方程
2 v2 v12 Lu qe i2 i1 i2 i1 2
无论对无粘流动还是有粘流动上述方程都是适用的。方 程中没有明显包含能量损失，但这部分损失通过热量传 递给气体或外界。 用于叶轮机静子，轮缘功Lu＝0 。 如果气体与叶轮机静子之间热量交换qe也为零，即流动过 程是绝热的，那么 i2 i1 轮缘功并不是轴功。传给叶轮的轴功需要分配给轴承机 械损失、轮阻损失、内漏气损失等等，轮缘功仅为其中 的一部分。
热焓形式的能量方程
相对坐标系下的热焓形式能量方程
2 2 u2 u12 w2 w12 qe i2 i1 i2 i c ( T T w 1w p 2w 1w ) 2 2
如果qe＝0，并且r1＝r2，则有u1＝u2 ，那么，气流流 过转子时相对总焓不变，即有


2
1
p 1 pd( ) RTd( ) RT ln 1 RT ln 2 1 2 p1
1
2
故，压缩功 Lis 1
2
1

dp RT ln
p2 p1
机械能形式的能量方程
绝热压缩过程：过程与外界无热交换且无损失，即 qe q f =0
p / k 常数
<0 >0
>0 >0
气体的相对动能减少，用于克服流阻和压缩功 膨胀功用于克服流阻和增加气体的相对动能
机械能形式的能量方程没有显式地反映气体与 外界热量交换的情况，但对与外界有或无热量 交换的流动过程都是适用的。气体与外界的热 量交换对压缩功或膨胀功项有影响，进而会影 响到气体绝对和相对动能变化量的大小
机械能形式的能量方程
压缩功
不可压流：进出口密度近似不变，压缩功 1
2
1

dp
1

( p1 )
只与进出口静压升有关，与过程无关 可压流：密度随压缩过程而改变，压缩功与过程相关 等温压缩过程： T 常数
p / 常数
2 1

2
1
p p p d( ) 2 1 0
2 2 2 dp u2 u12 w2 w12 Lf 1 2 2
当u1＝u2时，离心力作功量为零，则有

2
dp
1
2 w2 w12 Lf 0 2
机械能形式的能量方程

涡轮：
2
dp
1
2 w2 w12 Lf 0 2
压气机： >0 <0