回归分析自学整理21页
《回归分析》PPT课件
多元共线性
即数学上的线性相依，指在回归模型中 预测变量本身间有很高的相关。
有很多评价指标，如容差（容忍度）、 VIF，特征值
特征值若小于0.01,预测变量间可能存在多元共线性；
方差比例：若有两个或多个自变量在一个特征值上高于0.8 或 0.7以上，表示 可能存在多元共线性
整理成表格
表1 福利措施、同侪关系、适应学习对组织效能的影响
Beta
t
福利 0.180 5.513*
措施
**
同侪 0.264 8.166*
关系
**
适应 0.369 12.558
学习
***
R=0.73 R2=0.5 F=464.
阶层回归
如第一层自变量为福利措施 第二层为同辈关系 第三层为适应学习
学习完毕请自行删除
什么是回归分析
用一定的数学模型来表述变量相关关系 的方法。
一元线性回归
最简单的回归是只涉及一个因变量和一个自变量一元 线性回归，此时的表达式为：
y= 0+ 1 x+ y为因变量，x为自变量或预测变量， 0为截距即当
x=0时y的值， 1为斜率即1个单位的x变化对应 1个单 位y的变化。 是误差，服从N(0, σ2)的正态分布，不 同观察值之间是相互。
练习
“组织效能.sav”
15回归系数及检验组织效能0180福利措施0264同侪关系0369适应学习在回归分析中若自变量间中高相关则某些与因变量有关系的变量会被排除在回归模型之外容差及方差膨胀系数vif检验多元回归分析的共线性问题
《回归分析》PPT课件
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回归分析法精选全文
可编辑修改精选全文完整版回归分析法用相关系来表示变量x和y线性相关密切程度，那么r数值为多大时才能说明它们之间线性关系是密切的？这需要数理统计中的显著性检验给予证明。
三、显著性检验是来用以说明变量之间线性相关的密切程度如何，或是用以说明所求得的回归模型有无实用价值。
为说明相关系数的概念，先观察图2-3。
回归分析的检验包括：相关系数的显著性检验、回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检等，它们是从不同角度对回归方程的预测效能进行验证的。
关于显著性检验这涉及有关数理统计的内容,为此我们作一下简要回顾。
数理统计的主要内容包括:·参数估计;·假设检验;·方差分析等。
（1）相关系数检验。
相关系数的检验，需要借助于相关系数检验表来进行，这种表是统计学家按照有关的数学理论制定出的。
在相关系数检验表中，有两个参数需要说明。
1）f —称为自由度。
其含义为：如果有n个变量 x1,x2,...x n相互独立，且无任何线性约束条件，则变量的自由度个数为 f=n ，一般情况下有:f=n —约束条件式数对于一元线性回归，参数a，b要通过观测数据求出，有两个约束式，则失去两个自由度，因此 f=n-2 ，n为散点（观测点或统计数据点）个数。
2） a —称为显著性水平。
取值为0.01或0.05。
而1-a 称为置信度或置信概率，即表示对某种结论的可信程度。
当 a 取值为0.05时，则1-a 为0.95，这表示在100次试验中，约有5次犯错误（小概率事件发生）。
判断两个随机变量x,y间有无线性相关关系的方法是：首先根据要求确定某一显著性水平 a ，由散点数n计算出 f ，然后根据 a , f 利用相关系数检验表查出相关系数的临界值 r a，最后将计算出的相关系数r的绝对值与临界值 r a相比较。
r a表示在一定的置信概率下，所要求的相关系数起码值。
若，表示这两个随机变量之间存在线性相关关系；若，表示这两个随机变量之间线性相关程度不够密切。
《回归分析 》课件
通过t检验或z检验等方法，检验模型中各个参数的显著性，以确定 哪些参数对模型有显著影响。
拟合优度检验
通过残差分析、R方值等方法，检验模型的拟合优度，以评估模型是 否能够很好地描述数据。
非线性回归模型的预测
预测的重要性
非线性回归模型的预测可以帮助我们了解未来趋势和进行 决策。
预测的步骤
线性回归模型是一种预测模型，用于描述因变 量和自变量之间的线性关系。
线性回归模型的公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
线性回归模型的适用范围
适用于因变量和自变量之间存在线性关系的情况。
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实 际值之间的平方误差来估计参数。
最大似然估计法
最大似然估计法是一种基于概率的参数估计方法，通过最大化似 然函数来估计参数。
梯度下降法
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断迭代更新参数来最小 化损失函数。
线性回归模型的假设检验
线性假设检验
检验自变量与因变量之间是否存在线性关系 。
参数显著性检验
检验模型中的每个参数是否显著不为零。
残差分析
岭回归和套索回归
使用岭回归和套索回归等方法来处理多重共线性问题。
THANKS
感谢观看
04
回归分析的应用场景
经济学
研究经济指标之间的关系，如GDP与消费、 投资之间的关系。
市场营销
预测产品销量、客户行为等，帮助制定营销 策略。
生物统计学
研究生物学特征与疾病、健康状况之间的关 系。
一元线性回归分析PPT课件
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
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ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归知识点总结归纳
回归知识点总结归纳随着社会的发展和科技的进步，人们对于回归知识点的重视日益增加。
回归分析是一种用来探索变量之间关系的统计方法，它可以帮助我们理解变量之间的关系，并对未来的趋势进行预测。
在本文中，我们将对回归知识点进行总结归纳，以便读者更好地掌握这一重要的统计学方法。
一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的定义回归分析是指通过确定两个或多个变量之间的数理关系，来预测一个或多个变量的方法。
在回归分析中，通常将要预测的变量称为因变量，而用来预测的变量称为自变量。
1.2 回归分析的类型回归分析可以分为线性回归分析和非线性回归分析两种类型。
其中，线性回归分析是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归分析则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。
1.3 回归分析的应用领域回归分析广泛应用于各个学科领域，如经济学、金融学、社会科学、生物学等。
它可以帮助研究者了解变量之间的关系，并为决策提供依据。
二、线性回归分析2.1 简单线性回归分析简单线性回归分析是指只包含一个自变量和一个因变量的回归分析方法。
其数学表达式可以表示为Y = α + βX + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，α和β分别为截距和斜率，ε为误差。
2.2 多元线性回归分析多元线性回归分析是指包含两个或多个自变量和一个因变量的回归分析方法。
其数学表达式可以表示为Y = α + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε，其中X1、X2、…、Xn为自变量，β1、β2、…、βn为自变量的系数。
2.3 线性回归分析的模型拟合线性回归分析的模型拟合是指通过最小二乘法来拟合模型，使得因变量Y和自变量X之间的残差平方和最小化。
这样可以得到最优的模型参数估计值。
2.4 线性回归分析的检验线性回归分析的检验包括回归系数的显著性检验、模型拟合度的检验、残差的独立性检验等。
这些检验可以帮助我们判断模型的有效性和可靠性。
三、非线性回归分析3.1 非线性回归分析模型非线性回归分析模型包括指数模型、对数模型、幂函数模型等。
回归分析自学整理21页
回归分析自学整理21页回归分析自学整理一、回归分析的数学模型与假设 (1)二、回归分析的步骤 (3)三、回归分析的SPSS 操作与数据解释 (12)一、回归分析的数学模型与假设总体回归模型（理论模型）β0为常数项，也叫截距。
β1,β2,…,βj 为总体偏回归系数。
βj （j=1,2,…,m ）表示当方程中其它自变量保持常量时，自变量Xj 每增加（或减少）一个计量单位时，反应变量Y 平均变化βj 个单位。
ε表示去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，也称作残差。
样本回归模型（估计模型）j j x b x b x b b y ++++=Λ22110?就是回归方程。
总体回归与样本回归的区别假设古典线性回归模型总是假设1.误差项ε是一个服从均值为零（零均值）、方差是常数（同方差）正态分布的随机变量，即ε~N(0,2 )，E(ε)=0,且相互独立（残差无自相关）；2.解释变量x1，x2，…，xk是可以精确观察的普通变量（非随机变量）。
3.解释变量X与随机误差项ε是各自独立对解释变量Y产生影响（残差与自变量无相关）。
多元回归增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。
在此条件下，自变量观测值矩阵X列满秩二、回归分析的步骤（一）画散点图。
选择合适的回归方法。
初步判定自变量与因变量的关系。
（二）建立回归方程。
求出b0和bj。
（三）回归方程检验。
方程精度检验（R2）、回归系数检验（F 检验和T检验）（四）预测。
求出总体回归系数β0和βj.并求出预测区间。
（一）画散点图散点图的重要作用回归分析时，有时R比较明显，达到0.8以上，但是并不表示Y 与X之间的关系是线性的，因此进行回归分析时，不能进行简单判断。
图示分析方法是最基本、最直观的方法，有助于对数据的内在性质进行准确判断。
例如：下面四图中的数据，计算相关系数差不多都为0.8，但实际却差别巨大。
第一图虽然数据比较散，但线性趋势比较模型。
第二图模型是曲线趋势。
第三图有一个异常点，该点导致直线的斜率发生较大改变。
回归分析法PPT课件
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
通过最小化误差平方和的方法来估计 模型参数。
最大似然估计
通过最大化似然函数的方法来估计模 型参数。
参数估计的步骤
包括数据收集、模型设定、参数初值、 迭代计算等步骤。
参数估计的注意事项
包括异常值处理、多重共线性、自变 量间的交互作用等。
线性回归模型的假设检验
假设检验的基本原理
回归分析法的历史与发展
总结词
回归分析法自19世纪末诞生以来，经历 了多个发展阶段，不断完善和改进。
VS
详细描述
19世纪末，英国统计学家Francis Galton 在研究遗传学时提出了回归分析法的概念 。后来，统计学家R.A. Fisher对其进行了 改进和发展，提出了线性回归分析和方差 分析的方法。随着计算机技术的发展，回 归分析法的应用越来越广泛，并出现了多 种新的回归模型和技术，如多元回归、岭 回归、套索回归等。
回归分析法的应用场景
总结词
回归分析法广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、生物学、医学等。
详细描述
在经济学中，回归分析法用于研究影响经济发展的各种因素，如GDP、消费、投资等；在金融学中，回归分析法 用于股票价格、收益率等金融变量的预测；在生物学和医学中，回归分析法用于研究疾病发生、药物疗效等因素 与结果之间的关系。
梯度下降法
基于目标函数对参数的偏导数， 通过不断更新参数值来最小化目 标函数，实现参数的迭代优化。
非线性回归模型的假设检验
1 2
模型检验
对非线性回归模型的适用性和有效性进行检验， 包括残差分析、正态性检验、异方差性检验等。
参数检验
通过t检验、z检验等方法对非线性回归模型的参 数进行假设检验，以验证参数的显著性和可信度。
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
回归分析知识点总结
回归分析知识点总结一、回归分析的基本概念1.1 回归分析的概念回归分析是一种通过数学模型建立自变量与因变量之间关系的方法。
该方法可以用来预测数据、解释变量之间的关系以及发现隐藏的模式。
1.2 回归分析的类型回归分析主要可以分为线性回归和非线性回归两种类型。
线性回归是指因变量和自变量之间的关系是线性的，而非线性回归则是指因变量和自变量之间的关系是非线性的。
1.3 回归分析的应用回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、生物学、医学等。
在实际应用中，回归分析可以用于市场预测、风险管理、医疗诊断、环境监测等方面。
二、回归分析的基本假设2.1 线性关系假设线性回归分析假设因变量和自变量之间的关系是线性的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的。
2.2 正态分布假设回归分析假设误差项服从正态分布，即残差在各个预测点上是独立同分布的。
2.3 同方差假设回归分析假设误差项的方差是恒定的，即误差项的方差在不同的自变量取值上是相同的。
2.4 独立性假设回归分析假设自变量和误差项之间是独立的，即自变量的变化不受误差项的影响。
三、回归分析的模型建立3.1 简单线性回归模型简单线性回归模型是最基础的回归分析模型，它只包含一个自变量和一个因变量，并且自变量与因变量之间的关系是线性的。
3.2 多元线性回归模型多元线性回归模型包含多个自变量和一个因变量，它可以更好地描述多个因素对因变量的影响。
3.3 非线性回归模型当因变量和自变量之间的关系不是线性的时候，可以使用非线性回归模型对其进行建模。
非线性回归模型可以更好地捕捉因变量和自变量之间的复杂关系。
四、回归分析的模型诊断4.1 线性回归模型的拟合优度拟合优度是评价线性回归模型预测能力的指标，它可以用来衡量模型对数据的拟合程度。
4.2 回归系数的显著性检验在回归分析中，通常需要对回归系数进行显著性检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。
4.3 多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性，这可能导致回归系数估计不准确。
回归知识点总结
回归知识点总结一、回归分析的基本概念1. 回归分析的定义回归分析是指通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，来研究自变量对因变量的影响程度和趋势的一种统计分析方法。
在回归分析中，通常假设自变量和因变量之间具有一定的数学表达关系，通常用回归方程来表示这种关系。
2. 回归方程回归方程是描述自变量和因变量之间关系的数学公式，通常写成：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + ε其中，Y表示因变量，X1、X2等表示自变量，β0、β1、β2等表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度和趋势，而误差项则表示模型无法解释的部分。
3. 回归类型根据因变量和自变量的性质，回归分析可分为线性回归和非线性回归。
线性回归是指因变量和自变量之间存在线性关系的回归分析方法，常用于连续型因变量和连续型自变量之间的关系研究；而非线性回归则是指因变量和自变量之间存在非线性关系的回归分析方法，适用于非线性的数据关系。
二、回归分析的方法1. 普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计回归方程中的回归系数。
其基本思想是通过最小化因变量的观测值和回归方程预测值之间的差异，来求解回归系数，使得误差的平方和最小。
2. 变量选择方法变量选择方法是用来确定回归模型中应该包含哪些自变量的方法，常用的变量选择方法包括前向逐步回归、后向逐步回归和逐步回归等。
这些方法可以帮助排除无关变量，选择对因变量影响显著的自变量，从而建立更为准确的回归模型。
3. 模型诊断方法模型诊断是用来检验回归模型的假设和前提条件的方法，常用的模型诊断方法包括残差分析、异方差性检验、多重共线性检验、解释变量选择与模型优化等。
这些方法可以帮助检验回归模型的合理性和准确性，从而对模型进行修正和优化。
三、回归分析的应用1. 预测分析回归分析常用于预测因变量的取值，例如通过消费者的收入、年龄、教育程度等自变量来预测其购买行为、消费偏好等因变量的取值。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
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回归分析自学整理一、回归分析的数学模型与假设 (1)二、回归分析的步骤 (3)三、回归分析的SPSS 操作与数据解释 (12)一、回归分析的数学模型与假设总体回归模型（理论模型）β0为常数项，也叫截距。
β1,β2,…,βj 为总体偏回归系数。
βj （j=1,2,…,m ）表示当方程中其它自变量保持常量时，自变量Xj 每增加（或减少）一个计量单位时，反应变量Y 平均变化βj 个单位。
ε表示去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，也称作残差。
样本回归模型（估计模型）j j x b x b x b b y ++++=Λ22110ˆ就是回归方程。
总体回归与样本回归的区别假设古典线性回归模型总是假设1.误差项ε是一个服从均值为零（零均值）、方差是常数（同方差）正态分布的随机变量，即ε~N(0,2 )，E(ε)=0,且相互独立（残差无自相关）；2.解释变量x1，x2，…，xk是可以精确观察的普通变量（非随机变量）。
3.解释变量X与随机误差项ε是各自独立对解释变量Y产生影响（残差与自变量无相关）。
多元回归增加的假定：各自变量之间不存在线性关系。
在此条件下，自变量观测值矩阵X列满秩二、回归分析的步骤（一）画散点图。
选择合适的回归方法。
初步判定自变量与因变量的关系。
（二）建立回归方程。
求出b0和bj。
（三）回归方程检验。
方程精度检验（R2）、回归系数检验（F检验和T检验）（四）预测。
求出总体回归系数β0和βj.并求出预测区间。
（一）画散点图散点图的重要作用回归分析时，有时R比较明显，达到0.8以上，但是并不表示Y与X之间的关系是线性的，因此进行回归分析时，不能进行简单判断。
图示分析方法是最基本、最直观的方法，有助于对数据的内在性质进行准确判断。
例如：下面四图中的数据，计算相关系数差不多都为0.8，但实际却差别巨大。
第一图虽然数据比较散，但线性趋势比较模型。
第二图模型是曲线趋势。
第三图有一个异常点，该点导致直线的斜率发生较大改变。
第四图本来没什么趋势，也只是一个异常点的影响使其线性相关系数较大。
后面三图直接进行回归分析都会得出错误的回归模型，不能反映事实。
（二）建立回归方程建立多元线性回归方程同样要根据最佳拟合原则，采用最小二乘法，使所求直线在y轴上与实际观测值y间的误差平方和Q最小。
根据微积分求极值的原理，只需分别对a、求偏导数,令它们等于零,整理后可得标准（正规）方程组。
达到最小，其充分必要条件得到正规方程组利用最小乘法建立多元回归方程的过程直观地说，所谓最小二乘法,就是如果散点图中每一点沿y轴方向到直线的距离最小,简单讲就是使误差平方和最小,则在所有直线中这条直线的代表性就是最好的,它的表达式就是所求的回归方程.由于x与y的关系是分布在一个区域,两个变量的成对数据画成散点图后,两点确定一条直线,因此可以画出不止一条直线,在这些直线中有的离散点远,用它来表示两变量的关系,准确性就较差.只有Q最小的直线准确性最好.由于建立多元线性回归方程所应用的数据也是样本数据，所以建立的方程也是样本回归方程，记作：在高等数学中，要使Q最小，就是求Q的极值。
求Q的极值，就是要求Q 的一阶偏导并令其为0组成偏导方程组，然后解偏导方程组求出参数估计值。
多元线性回归方程的建立从原理上说，与一元线性回归方程的建立相同，但由于涉及到多个因变量，所以数学处理更复杂。
这里，我们试图通过二元线性回归方程的建立，来寻找多元线性回归方程的求建规律和方法。
设二元线性回归方程为：根据最小二乘法，有：最小将回归方程代入，则有：先求Q对常数项b0的一阶偏导并令其为0，有：整理后，得到：（三）回归方程有效性检验1.模型整体拟合效果检验（自变量联合效应方差分析）（检验模型整体是否显著，即各回归系数是否全为0。
）回归模型整体拟合效果的显著性检验。
检验多个自变量联合对因变量是否有显著影响。
它是建立在总离差平方和分解的基础上(SST=SSR+SSE)。
回归平方和SSR 越大，变量之间线性相关性越大,设统计量F分别服从自由度为1、n-2的卡方分布，并计算F值。
多元线性回归方程建立后，也要通过统计检验判断其有无实用价值，检验方法还是方差分析法。
经过证明，多元线性回归的总离差平方和也是分解为回归平方和U与剩余平方和Q两部分，有：其中，总离差平方和的自由度为n-1，回归平方和U的自由度为自变量个数k，剩余平方和Q的自由度为n-k-1。
总变差平方和（SST、Lyy）反映因变量Y的n个观察值与其均值的总离差。
回归变差平方和（SSR、U）反映自变量x的变化对因变量y取值变化影响。
（可用X来解释的变化。
）剩余变差平方和（SSE、Q）反映除x以外的其他因素对y取值的影响。
（一些不规则偶然因素所致的变化。
）假设整个检验过程可列表如下：F=(U/k)/(Q/N-k-1)=回归均方/残差均方=MSR/MSE。
其意义为所有自变量产生的回归变异是否显著。
2.决定系数（R2）分析（自变量联合效应比例）（所有自变量决定的因变量离差的比例）经过有效性检验我们判定了所求多元线性回归方程是有效的、有价值的，但是，价值有多大，或者说有效性有多高，还必须进一步判断。
多元线性回归方程的有效性高低仍然采用决定系数R2表示，其值是：=回归平方和/总平方和可见，决定系数是回归平方和在总离差平方和中所占的比例。
显然，U 值越大，即由自变量所决定的离差平方和在总离差平方和中所占的比例也就越大，回归方程有效性就越高。
当U=l yy 时，则因变量就完全由自变量决定，两着就成了函数关系（确定性关系），当然，这种情况在相关分析中是不太可能的，但我们可以通过U 值的大小来判断回归方程有效性的高低。
现在我们来看看R2究竟是什么？ 根据前面的分析，我们知道：，即决定系数等于积差相关系数的平方。
在这里，我们也可以用决定系数的算术平方根表示因变量y 与k 个自变量（）间的相关程度，称为复相关系数。
定义e yy Q U U L U R +==为y 与x 1,x 2,...,x k 的多元相关系数或复相关系数． 由于2211R R k k n F ---=，故用F 和用R 检验是等效的．为什么要修正？可决系数是自变量个数的不减函数，比较因变量相同而自变量个数不同的两个模型的拟合程度时，不能简单地对比多重可决系数。
需要用自由度去修正多重可决系数中的残差平方和与回归平方和3.回归系数检验（t 检验）建立了多元线性回归方程后，还需要对自变量进行检验和筛选，剔除那些经检验未达到显著水平，对因变量没有影响或影响甚小的自变量，达到简化变量间关系结构的目的。
F 检验法自变量的显著性检验是通过对它的回归系数的检验进行的，检验的虚无假设和备择假设是：检验统计量为：其中，Cjj 是正规方程系数矩阵L kхk 逆矩阵C kхk 对角线上第j 个元素。
经验的临界值是分子自由度为1，分母自由度为n-k-1的F α。
T 检验法根据样本回归估计的结果对总体回归函数回归系数的有关假设进行检验，以检验总体回归系数是否等于某个特定的数值。
首先提出零（原）假设H0：B=0（两变量之间不存在线性关系）；备择假设H1：B ≠0（两变量之间存在线性系）。
设定统计量t 服从自由度为（n-k-1)的t 分布，并计算统计量的值。
2σ是未知的，而且不一定能获得大样本，这时可用2σ的无偏估计2ˆσ代替2σ去估计参数的标准误差。
用估计的参数标准误差对估计的参数作标准化变换，所得的t 统计量将不再服从正态分布，而是服从t 分布：t=回归系数/回归系数的标准误 ∑-==⋅2)(/X X s b s b t X Y ib i b i i t~(n-k-1)确定显著性水平α，并进行决策.。
4.残差分析方差齐性检验——残差统计量或残差散点图残差的方差是否是一个常数，用残差统计量或残差散点图。
除了看R 2、模型显著性外，可以根据残差散点图进行判断。
如果残差图中，各点随机分布，且绝大多数点落在正负2倍标准差范围内，则拟合效果良好。
残差正态性检验——残差直方图或正态概率图考查误差项分布的正态性假设是否满足。
残差无自相关检验——DW检验DW检验用来判断残差是否具有自相关性，如果有，则违反了模型的经典假设。
对于时间序列数据，该检验非常必要。
在回归分析时，单击Statistic 按钮，在Residuals(残差)框中选中Durbin-Watson复选框即可。
DW检验的判断标准：0<DW<4，DW≈2，无自相关；DW<2，正自相关；DW>2，负自相关。
5.多重共线性分析多重共线性指自变量间存在的近似线性关系，即某个自变量能近似地表示为其他自变量的线性函数。
当共线性很严重时，会对模型的拟合带来严重影响。
1.出现模型整体显著，但是所有回归系数都不显著的情况。
2.回归系数的大小明显与常识不符，甚至符号都相反。
3.在专业知识上肯定有影响的变量，不能进入回归方程。
多重共线性的检验容忍度（Tolerance）：其中R2是此自变量与其它自变量间的多元相关系数的平方，其值最大，代表模型中其它自变量可以有效解释这个变量。
容忍度在0~1之间，越接近于0（一般常规的界限是0.1)，表示多重共线性越强，越接近于1，表示多重共线性越弱。
方差膨胀因子（variance inflation factor,VIF）：是容忍度的倒数，越大说明共线性可能越严重，如果VIF大于10，则可能共线性问题严重。
条件指数（Condition Index,CI）：CI最大，愈有共线性问题。
如果在15以上，则表示可能有共线性问题，如果大于30，则表示有严重性的共线性问题。
另外，也可以对所有自变量进行相关分析，如果某些自变量的相关系数在0.9以上，则就会有比较严重的共线性出现。
在SPSS中进行回归分析，可以输出共线性诊断结果。
单击Statistic按钮，选中Collinearity Diagnostics(案例诊断)复选框即可。
例：对于某国进口明显（某国1988－1998经济数据.sav），将所有自变量纳入模型，分析其变量间的共线性情况。
本例中国内GDP和国内消费存在严重的共线性，应解决。
共线性的解决：1.增大样本量。
2.采用各种自变量筛选办法，建立最优回归方程。
3.从专业角度出发，去掉次要变量。
4.用因子分析法，将相关的自变量综合成一个因子进行分析。
5.用岭回归分析法。
6.去掉与y相关程度较低，而与其他自变量高度相关的变量。
7.采用新的样本数据。
在数据中重新抽取一个样本，有可能会减弱其中变量的多重共线性。
结论：体重指数和瘦素每减少一个单位，脂联素的平均水平改变1.08和0.75单位，从标准化回归系数可看出瘦素对脂联素的影响较大。
（四）预测预测已知X0，预测总体回归线对应的Ŷ0（主值）已知X0，预测新的观测值Y0控制已知Y 的范围，控制X 的范围从X 0预测总体回归线对应的Ŷ0（1）点预测求出回归方程011ˆˆˆˆk ky x x βββ=+++L ，对于给定自变量的值*1,,k x x *L ，用***011ˆˆˆˆk ky x x βββ=+++L 来预测**011k k y x x βββε*=++++L .称*ˆy 为*y 的点预测.（2）区间预测y 的α-1的预测（置信）区间为)ˆ,ˆ(21y y,其中 C =L -1=(c ij ),L =X T X三、回归分析的SPSS 操作与数据解释（一）基本操作例1：某地一年级12名女大学生的体重与肺活量数据如下，已知体重与肺活量之间有直接联系，试求解其回归模型。