浅谈条件概率在生活中的应用

浅谈条件概率在生活中的应用

摘要：条件概率在概率论中占着举足轻重的地位,其在生活中更是存在广泛的应用.之前有许多学者在应用方面对它进行了研究,取得很多重要成果.本文在其基础上,通过查阅各类资料,总结分析收集到的各方面信息,在深刻理解条件概率的定义、相关性质、概率计算以及三个重要公式的基础上,主要讨论了条件概率在生活中的广泛应用.其应用除进行举例分析外,还作了进一步的说明和拓展.

关键词:条件概率概率应用

Discuss Conditional Probability of application in life

Abstract：Conditional probability in the probability of a pivotal position occupied, in life there is more widely used. before the application of many scholars studied it, made many important achievements. In this paper, its basis, through access to various types of Data, analyzed all aspects of the information collected, in a deep understanding of the definition of conditional probability, related to the nature, probability calculations and formulas on the basis of three important, mainly to discuss the conditions for the probability of a wide range of applications in life. In addition to the examples of its application Analysis, but also made a further explanation and expansion.

Keywords: Conditional probability Probability Application

1．条件概率的相关概念

1.1概率定义

概率（英文名：probability）,全国科学技术名词审定委员会审定公布的结果将其定义为：表征随机事件发生可能性大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性.通俗的讲：概率是随机事件发生的可能性大小,它是随机事件出现可能性的量度.

1.2条件概率定义

我们知道对概率的讨论总是在某些固定的条件下进行的,以前的讨论经常是假定除此之外无别的信息可用.但是,有时我们却会碰到这样的情况,即已知在某事件B 发生的条件下,求另一事件A的概率.下面我们看一个例子：

例1.1 考虑抛硬币事件,假定硬币出现正反面概率相同,则分别做上记号1、2的两枚硬币同时抛出后向上面分别为：（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）的可能性是一样的. 若以A记随机选取一次抛物中出现一正一反这一事件,则显然P（A）＝1/2,但是,若预先知道这次事件中至少有一个反面,那么这个事件的概率就应该是2/3.显然两种情况下算出的概率不同的,因为在第二种情况下,我们多知道了一个条件：事件B（至少有一反面）发生,因此我们算得的概率事实上是"在已知事件B发生的条件下,事件A发生的概率",这个概率我们记为P（A∣B）.

条件概率是概率论中一个重要而实用的概念,所考虑的是在事件A已发生的条件下事件B发生的概率.对于条件概率,一是知道实际生活中哪些是条件概率,条件是什么；二是如何计算条件概率.

设A与B是样本空间 中的两事件,若P（B）> 0,则称P（A∣B）＝P（AB）/P （B）为“在B的发生下A的条件概率”,简称条件概率.

类似地,当P（A）> 0时,在事件A发生下事件B发生的条件概率为: P（B∣A）＝P（AB）/P（A）

1.3条件概率计算方法

结合实例谈谈条件概率的计算方法：

方法一，由公式P（A∣B）＝P（AB）/P（B）计算：

例1.1中,AB——“出现一正一反这一事件”, P（AB）=1

2

，则

P（A∣B）＝P（AB）/P（B）=1

2

/

3

4

=

2

3

方法二，“改变样本空间法”：

硬币抛出后,我们得到的样本空间是C={（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）},当得知第二个条件“事件B发生”时,则转而在“新样本空间”D={（正,反）,

（反,正）,（反,反）}的基础上计算了,于是很容易得到P（A∣B）＝2

3

.

前面给出的概率公理化定义是比较严密的数学定义，我们可以通过定义对概率进行讨论，但是它并没有给出具体的计算方法，下面就让我们从几个公式入手重点谈谈条件概率的计算问题：

2．条件概率三公式及其简单应用

2.1乘法公式

我们把条件概率公式改写为：

P （AB ）＝P （B ）P （A ∣B ） （1）

将其进一步延伸我们得到另一个式子：

1121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A P A P A A P A A A P A A A A -= （2） 这就是乘法公式,可见乘法公式是利用条件概率P （A ∣B ）来计算P （AB ）的.乘法公式是普遍成立的,只要作为“条件的事件“的概率不等于零即可.

例2.1 （配对问题）在一次生日聚会上,n 嘉宾的n 把伞（各不相同）被放在了同一个橱柜,离开的时候每人从橱柜中任意取出一把伞,求没有一个人拿到自己伞的概率0p .

解：令i B =“第i 个人拿到了自己的伞”, i =1,2,…,n ,则1n

i i B = 表示“n 个人中

至少有一个人拿到了自己的伞”,所以0p =1-1n i i P B =⎛⎫

⎪⎝⎭

.

每个人可以从n 把伞中随意拿一把,所以第i 个人拿到自己伞的概率()i P B =1n

,故()11i i

c P B ==∑

若i B 出现,第

j 个人共有1n -把伞可以选择,故

()1|1j i P B B n =

-,()()()11|1

i j i j i P B B P B P B B n n ==⋅-, 从而 ()2

2,1

(1)2!n i j i j

C c P B B n n ===-∑

同理,!

1

r c r =

,(r =1,2,…,n ) 所以,0p =1-1n i i P B =⎛⎫ ⎪⎝⎭

＝1-()1

11!k n

k k +=-∑

.

从式子中我们可以看出,0p 与n 有关,进一步计算知10lim 0.36n p e -→∞

=≈

2.2全概率公式

设1B ,2B ,…,n B 为样本空间Ω的一个分割（见图）,即1B ,2B ,…,n B 互不相容,且Ω== n

i i B 1,如果P （i B ）>0,i =1,2,…n,则对任一事件A 有