高三一轮复习函数的性质周期性和对称性复习练习题

函数周期性和对称性（知识点，练习题）

一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立

则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；

2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数

4、 y=f(x)满足f(x+a)=()

x f 1

(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()

x f 1

-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

7、1()()1()

f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

8、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以

()2b a -为周期的周期函数；

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以

()4b a -为周期的周期函数；

11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。 14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0), 则f(2

T

)=0. 三 函数的轴对称：

定理1：如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

对称.

推论1：如果函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称. 推论2：如果函数()y f x =满足()()f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线0x =（y 轴）对称

四 函数的点对称：

定理2：如果函数()y f x =满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称. 推论3：如果函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称. 推论4：如果函数()y f x =满足()()0f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于原点()0,0对称.特

别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

五 函数周期性的性质：

定理3：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=-（其中a b ≠），则函数

()y f x =以()2a b -为周期.

定理4：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=--，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以()2a b -为周期.

定理5：若函数()f x 在R 上满足()()f a x f a x +=-，且()()f b x f b x +=--（其中a b ≠），则函数()y f x =以()4a b -为周期.

以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.

例1．已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）.

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负.

分析：()()4+-=-x f x f 形似周期函数()()4+=x f x f ，但事实上不是，

入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2-x 代替x ，使()()4+-=-x f x f 变形为()()22+-=-x f x f .它的特征就是推论 3.因此图象关于点()0,2对称. ()f x 在区间()+∞,2上单调递增，在区间()2,∞-上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）

1242x x -<< ，且函数在()+∞,2上单调递增，所以 ()()124x f x f -<，又由()()4+-=-x f x f ，

有()[]()()1111444)4(x f x f x f x f -=+-=--=-

∴()()<+21x f x f ()()114x f x f -+()()11-=x f x f

当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.

练1：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则

()f x ( )

A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数

D.在区间[2,1]

--上是减函数，在区间[3,4]

上是增函数

分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到

()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是

减函数，可得如右()f x 草图.故选B

练2.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） A.0

B.1

C.3

D.5

分析：()()0f T f T =-=，()()()()2222

T T T T

f f f T f -

=-=-+=， ∴()()022

T T

f f -

==，则n 可能为5 ？ 例2．已知函数()y f x =的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f 的值.

分析：由推论1可知，()y f x =的图象关于直线2=x 对称，即()()x f x f -=+22， 同样，()x f 满足()()x f x f -=+44，现由上述的定理3知()y f x =是以4为周期的函数.

()()

5.3445.19+⨯=∴f f ()5.3f =()[]()5.05.04-=-+=f f ，同时还知()x f ()()5.05.05.0==-f f .

例3．()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ）个不同的值.

A.165

B.177

C.183

D.199

分析：由已知()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-()1056f x =+

()()()1760704352f x f x f x =+=+=+.