旋转功能梯度圆柱壳振动影响因素研究
高速旋转轴系的扭振模态实验研究
高速旋转轴系的扭振模态实验研究1 引言对于旋转机械，扭转振动是广泛存在的，而对高速旋转机械来说，这种现象也更加明显。
现在广泛使用的扭振测量方法有相位差法、激光多普勒测扭法以及脉冲时序法，这些方法有一个共同点，就是要求待测轴上已经安装有分度结构或者有足够空间用于安装测量齿盘[1]。
而在高速旋转机械中，旋转轴往往在非常复杂的工况下运行，例如充满润滑油的变速齿轮箱，在这种高温复杂并且充满干扰的环境下是不可能用传统方法进行测量的，无论是定位元件的安装以及传感器的抗干扰性都很难保障。
虽然脉冲时序法克服了齿盘分度不均匀的影响，测量精度也较高，但是这种方法对待测轴系有严格的要求：轴的长度必须具有一定跨度来安装多个传感器；并且轴上必须安装有轮盘或者有足够的空间可以安装轮盘[2]。
对于本论文中待测的传动轴来说，大部分轴段是在密封环境中使用的，而暴露在外的轴段没有足够空间安装分度轮盘，这个时候就需要改进测试方法，选用更加节省空间的测试方法。
结合上文的介绍，本论文采用了试验台对旋转轴的扭振特性进行研究，在传感器方面，选用了美国ATI 公司的2000 系列遥测扭振传感器，一方面考虑到它的无线信号传送的优点，既传感器测得的信号不需要线材就可以很好的被接收器接收。
这样不仅很好的解决了测量高速旋转轴扭振时信号线难的问题，同时也避免了传统脉冲时序法对轴系形式有特定要求的弊端。
另一方面，因为该传感器采用了对称布置的双加速度传感器结构，所以很好消除了重力以及径向加速度的影响。
在试验中，利用现有高速旋转试验平台，用试验的方法得到了待测轴的扭振一阶固有频率，同时，利用Ansys 仿真软件计算出待测轴的模态参数，通过和实验数据的对比，证明了扭振测试系统的准确性和可靠性。
2 扭转振动测试系统扭振测试部分主要对被测旋转轴的扭转振动加速度参数进行测量。
示的是ATI 扭振传感器安装实物图：为保证扭振测试装置能够方便的安装、调整，整个测试装置设置在具有T 型滑动槽的工作平台上，同时，各传感器组件以及支架都可以方便的进行横向和纵向的位置调整，已获得更大的灵活性并满足不同传感器的安装位置要求。
河南科技大学学报(自然科学版)2021年第42卷第1~6期(卷终)总目次
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河 南 科 技 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2021 年
考虑踏板速度的驾驶员制动强度识别研究 ……………………………………………… 杨 坤,肖锦钊,王 杰,马 超,付宏勋,杨富春( 3 - 3 3 ) 预知交通信号的电动汽车分层能量管理策略 ……… 王俊朋,司鹏举,付主木,陶发展,田小泷( 3 - 3 8 ) 入射角度对喷雾碰壁后粒径分布的影响…… 王朋辉,杜慧勇,杨丰源,武选柯,王站成,徐 斌( 4 - 3 5 ) 多源信息融合的插电式混合动力公交车行驶工况构建……… 孟 垚,高建平,吴 琼,郗建国( 4 - 4 0 ) 煤炭自动定量装车控制策略设计…………… 齐世炜,孙 畅,付主木,李 玲,陶发展,司鹏举( 5 - 3 2 ) 基于贝叶斯网络的车辆并线意图识别………………………… 姜顺明,匡志豪,王奕轩,吴朋朋( 5 - 3 9 ) 宜宾市 2018 年移动源污染物排放清单与空间分布特征 ……………………………………………………… 李 新,马志豪,何 超,吕恩雨,王 鑫( 6 - 2 6 ) 喷水降低柴油机排气温度的试验研究……… 武选柯,杜慧勇,李 可,王朋辉,王站成,苗家轩( 6 - 3 3 )
旋转型机械设备振动与减振的探讨
旋转型机械设备振动与减振的探讨作者：张连军崔志敬在安装工程中，旋转型机械设备的振动是难以避免的，而超出承受力的振动将对设备本身产生极大的危害，也会对周边环境产生噪音污染。
如何经济有效的将设备的震动减小到最小值，是设计与施工应着重考虑的课题。
一般来说，旋转型机械设备的振动主要由以下几种原因形成：1.转子不平衡。
泵或风机等设备的叶轮或轴等旋转部件经长期运转行成腐蚀和磨损造成转子不平衡从而引起振动；2. 联轴器找正不准确引起设备振动。
设备在生产或安装时联轴器找正不准确使原动机和设备轴同心度差，从而引起设备振动；3.设备基础较轻引起振动。
由于基础太轻或不牢固，易形成设备与基础产生振动的同步性，从而形成强烈振动；4.临界转速引起振动。
设备轴的转速与转子的固有频率相同时就会发生强烈共振，我们常见有些设备在启动时会有较大幅度的振动，而在其正常运转时情况就会大大转好，就是这种原因。
此外泵类设备的振动原因还有汽蚀和喘振。
以上几点中，第4点是设备本体设计的问题，第3点较容易克服，汽蚀和喘振所引起的振动可以通过系统调节来解决，第1、2点原因指的设备内部旋转部分产生不平衡的惯性力矩和力矩强迫基础形成振动，这种振动是安装工程中最常见的。
下面我们主要对由这种原因引起的振动进行分析。
设备基础通常与基坑物质（土壤或其他刚性物质）直接接触，因此旋转设备的回转惯性力或往返惯性力皆传给基坑，从而引起基础与基坑物质的共同振动。
由于基础与基坑的不可分割性及吸振效果，所以通常情况下，我们可以将二者合二为一，看作是一个弹簧系统，从而建立一个单自由度减振系统模型（如下图所示）,即我们只考虑垂直方向上的力（水平方向上的力所产生的振动很容易被可视为水平面无限大的基坑所吸收），所以由工程力学原理可得：m0d2 A/( dt2)+K A=Mrω2cosωt ——式1其中m0——设备基础及设备本体质量K——弹簧刚性M——设备旋转部分质量A——弹簧系统竖向振幅R——旋转部分垂直干扰力r——设备旋转部分偏心距ω——旋转部分干扰圆频率以上数学式为设备基础及本体加速度产生的力、弹簧的作用力与设备本体旋转产生的垂直作用力（R= Mrω2cosωt）之间的数学关系。
旋转机械振动分析
1.联轴器连接的两轴中心线偏移。
2.振动频率与旋转频率一致或与旋转频率
成倍
1.基础螺丝松动或轴承磨损引起的振动。
2.振动频率含有旋转频率的高次成分。 1.常发生在定制给油的滑动轴承上。 2.是因轴承的力学特征引起的振动。 3.振动频率是轴的固有频率。 1. 在泵、风机等产生压力的结构中，每次
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·用 Mc 作注意状态基准，Md 作为危险 状态基准时:
a. 尽管设备处于正常状态，但判定 为不明状态的概率仍有 2.3%，判 定为危险状态的概率仍有 0.1%
b. 当 对 象 设 备 处 于 不 明 状 态 时 ， （检测值等于 Mc 时）判定正常 或不明状态的概率各为 50%，判 定为危险状态的概率为 15.9%
c. 当检测值等于 Md 时，对象设备达到危险状态，这时，判定为 正常状态的概率仍有 15.9%。
为减少判断误差，应遵守各项注意事项进行检测，这些注意事项 对任何一种检测值的分散性都减小的（用标准差的平方表示检测值的 分散程度）。特别是取三次读数的平均值作为检测值时，分散性就减 小到 1/3，误判概率就能降低。 ·从正常状态的振动测定结果求得的 Mc 和 Md 这些标准，还有待于根 据设备特征，过去的维修数据，今后的维修数据，实施维修的状况， 再求得最佳的绝对判定基准。（通过过去与现在的实际情况而定出） （三） 相互判定基准
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不良状态。 绝对标准是经过大量振动试验，现场振动测试以及一定的理论研
究而总结出来的标准。 （二）相对判定基准 同一部位定期检测，将正常时的振动值作为初始值，看定期检测
值是初始值的几倍，以此来判断设备状态。 一般振动值为原始基准 2 倍时，需加强监测，低频振动增大到原
基于Donnell-Mushtari理论的燃烧室机匣模态特性研究
基于Donnell-Mushtari理论的燃烧室机匣模态特性研究李湉1，阳凡2，唐书发2，郭亮2（1.中国航发成都发动机有限公司，成都610503；2.西南石油大学机电工程学院，成都610500）0引言航空发动机燃烧室机匣作为发动机重要的组成部分，其制造质量严重影响发动机的整体结构性能。
燃烧室机匣材料为镍基高温合金，锻造后采用机加工制成，其中主要以铣削加工为主。
常规燃烧室机匣尺寸高度为600mm左右，直径为ϕ1000mm左右，其毛坯质量较大。
但是完全加工后的燃烧室机匣壁厚度为2~5mm左右，相对于毛坯来说其材料去除率高达80%左右。
因其材料的特殊性及超高的材料去除率，导致燃烧室机匣加工可切削性能差。
更重要的是，因燃烧室机匣最薄处壁厚约为2mm，在加工的过程中容易产生剧烈振动，导致刀具加速磨损的同时降低燃烧室机匣表面质量。
加工系统振动原因很多，但是共振对振动的影响最为显著。
因此研究燃烧室机匣的模态特性，对认识燃烧室机匣振动机理及内在规律具有指导意义，为后续优化改进燃烧室机匣铣削工艺及减振工装的结构设计具有很强的工程价值。
目前，现有壳体理论主要有：Reissner-Naghdi-Berry[1]理论、Donnell-Mushtari[2]理论、Love[3]理论、Flügg[4]理论、Goldenveizer-Novozhilov[5]理论、Sanders[6]理论及Kennard[7]壳体理论等。
尤其是1973年Leissa A E[8]针对大量圆柱薄壳研究做出了整理归纳，主要包括薄壳理论基本方程、薄壁圆柱壳体的特性等。
庞福振等[9]利用Reissner-Naghdi’s 线性薄壳理论推导出适用于一般边界条件下的圆柱壳求解模型，并通过与有限元仿真计算结果对比验证了该方法的正确性。
汪志强等[10]采用Flügge薄壳理论分析了正交各向异性圆柱壳的自由振动。
将自由振动问题转换为求解关于圆频率的6次方程，经过将求解过程参数化，得到了在特定范围下正交各向异性圆柱壳自由振动的解空间。
功能梯度薄壁圆柱壳的自由振动
薄 壁板壳 ， 其弹性 模 量与横 向剪 切模 量在 量级 上 可
图 １ 圆柱 壳 几 何 模 型 及 其参 考 坐标 系
Ｆ ｇ １ Ｇｅ ｍｅ ｒ ｆａ ｃ ｌ ｄ ｉ ａ ｈ ｌ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ｆ Ｆ ｌ ｅ ｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｉ． ｏ ｔ ｏ ｙ ｉ ｒｃ ｌｓ ｅ ｌ ｎ ｈ ＇ ｅｅｌ ｏ ｒ ｉ ａｅ ｙ ｎ ｅ ｃ
近似模 型不 仅无法 获得 精度 上 的大 幅 提高 ， 严重 还
增加 了问题 的复 杂性 ．
本 文研究 功能 梯度 薄壁 圆柱壳 的 自由振 动 ． 采
用沿厚度 的幂 律分 布规律 描述 功能 梯度 热物 性 质 ． 试 图根据 Ｄ ｎ ｅ 壳体理 论推 导功 能梯度 薄壁 圆柱 ｏ ｎｌ ｌ
第 ８卷第 ３期 ２ １ ０ ０年 ９月 １７ － ５／ ０ ００ （） １— ６ ２６ ３ ２ １／ ８３ ２ ９５ ５ ／
动 力 学 与 控 制 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｄ ＯＵ ＹＮＡＭＩ Ｓ Ａ ＮＴ Ｃ ＮＤ ＣＯ ＲＯＬ
Ｖｏ ． ． １ ８ Ｎｏ ３ Ｓｅ ｐ．２ ０ ０１
功 能 梯 度 薄 壁 圆柱 壳 的 自 由振 动 木
杜 长城 李 映辉
６０３ ） １０ １ （ 西南交通大学力学与工程学 院， 成都
摘要
研究 了由功能梯度材料制成 的薄壁圆柱壳 的 自由振 动． 采用幂律分 布规律描 述功能梯度 材料沿厚度
的梯度性质 ， 根据 Ｄ ｎ ｅ 壳体理论 ， 出了功 能梯度材 料薄壁 圆柱壳线 性振 动的简化 控制方程 ． 于此理 ｏｎｌ ｌ 导 基 论分析了功能梯 度圆柱壳 的 自由振 动特性 ， 给出了两端简支功能梯度材料 薄壁 圆柱壳 小挠度 固有 振动的频 率公式． 以简支圆柱壳作为算例 ， 与前人结果 及有 限元法对 比验证 了该 简化 功能梯度 薄壁 圆柱壳理论 的正 确性 ， 同时讨论了周向波数及梯度指数对其频率的影响． 关键词 功能梯度材料 ， 薄壁圆柱壳 ， 线性振动 ， 简化理论
旋转机械常见振动故障及原因分析
旋转机械常见振动故障及原因分析旋转机械是指主要依靠旋转动作完成特定功能的机械，典型的旋转机械有汽轮机、燃气轮机、离心式和轴流式压缩机、风机、泵、水轮机、发电机和航空发动机等，广泛应用于电力、石化、冶金和航空航天等部门。
大型旋转机械一般安装有振动监测保护和故障诊断系统，旋转机械主要的振动故障有不平衡、不对中、碰摩和松动等，但诱发因素多样。
本文就旋转设备中，常见的振动故障原因进行分析，与大家共同分享。
一、旋转机械运转产生的振动机械振动中包含着从低频到高频各种频率成分的振动，旋转机械运转时产生的振动也是同样的。
轴系异常（包括转子部件）所产生的振动频率特征如表1。
二、振动故障原因分析1、旋转失速旋转失速是压缩机中最常见的一种不稳定现象。
当压缩机流量减少时，由于冲角增大，叶栅背面将发生边界层分离，流道将部分或全部被堵塞。
这样失速区会以某速度向叶栅运动的反方向传播。
实验表明，失速区的相对速度低于叶栅转动的绝对速度，失速区沿转子的转动方向以低于工频的速度移动，这种相对叶栅的旋转运动即为旋转失速。
旋转失速使压缩机中的流动情况恶化，压比下降，流量及压力随时间波动。
在一定转速下，当入口流量减少到某一值时，机组会产生强烈的旋转失速。
强烈的旋转失速会进一步引起整个压缩机组系统产生危险性更大的不稳定气动现象，即喘振。
此外，旋转失速时压缩机叶片受到一种周期性的激振力，如旋转失速的频率与叶片的固有频率相吻合，将会引起强烈振动，使叶片疲劳损坏造成事故。
旋转失速故障的识别特征：1）振动发生在流量减小时，且随着流量的减小而增大；2）振动频率与工频之比为小于1X的常值；3）转子的轴向振动对转速和流量十分敏感；4）排气压力有波动现象；5）流量指示有波动现象；6）机组的压比有所下降，严重时压比可能会突降；7）分子量较大或压缩比较高的机组比较容易发生。
2、喘振旋转失速严重时可以导致喘振。
喘振除了与压缩机内部的气体流动情况有关，还同与之相连的管道网络系统的工作特性有密切的联系。
功能梯度材料圆柱壳屈曲问题的研究的开题报告
功能梯度材料圆柱壳屈曲问题的研究的开题报告一、研究背景在现代工业生产中，材料是不可缺少的基础建设，其复杂性和多样性使得人们对其研究的方向和方法不断进行探讨。
功能梯度材料（FGM）是一类在不同位置具有不同材料作用的新型复合材料，其材料内部呈现渐变、复合、连续的过程，是材料科学的重要研究领域。
在工程应用中，功能梯度材料可以被用来减少结构的重量、提高结构的刚度、抗裂和抗疲劳等。
圆柱壳作为一种重要的结构形态，广泛应用于航天、机械、建筑和民用工程等领域，因此对其屈曲性能的研究具有重要意义。
研究功能梯度材料圆柱壳的屈曲问题，可以深入了解功能梯度材料与壳的屈曲性能之间的联系，从而可以更好的了解壳的力学性质，为圆柱壳的优化设计提供一定的理论指导。
二、研究目的本研究旨在探索功能梯度材料圆柱壳的屈曲问题，重点考虑不同材料渐变的影响，针对不同的材料参数，分析其对圆柱壳的屈曲性能的影响，并探讨其相关机理和理论。
三、研究方法本研究中将采用数学方法和计算机模拟相结合的研究方式，主要内容包括以下几个方面：1. 基于理论力学和材料科学的知识，建立功能梯度材料圆柱壳的力学模型和数学模型，推导其屈曲方程。
2. 设计相关实验或数值模拟程序，进行屈曲问题的模拟分析，在不同渐变分布下对圆柱壳的力学性能进行分析。
3. 对模拟结果进行数据处理和分析，通过统计分析等方法，深入挖掘不同渐变分布对圆柱壳力学性能的影响（例如材料参数、壳的几何形状等）。
4. 通过对比实验结果和计算结果，验证模拟结果的有效性，并进一步优化模型和理论分析。
四、研究意义本研究的实现，可以深入了解功能梯度材料与壳的屈曲性能之间的联系和影响，为优化设计功能梯度材料圆柱壳提供理论支持。
对于优化功能梯度材料的设计和制造工艺，实现高性能材料的生产和应用具有重要的学术和应用价值。
基于辛方法的功能梯度圆柱壳振动特性分析
基于辛方法的功能梯度圆柱壳振动特性分析
肖笛;王忠民
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2019(0)3
【摘要】基于辛方法分析了功能梯度圆柱壳的自由振动特性。
从薄壳理论和功能
梯度材料特性出发,得到了功能梯度圆柱壳自由振动时的拉格朗日密度函数。
引入
对偶变量,经哈密顿正则变换,导出了功能梯度圆柱壳自由振动的哈密顿正则方程,将问题转化为求解哈密顿矩阵的辛本征值问题,得到了两端固支和两端简支两种边界
条件下功能梯度圆柱壳的量纲为一的固有频率。
数值结果表明:简支和固支两种边
界条件下功能梯度圆柱壳的量纲为一的固有频率随体积分数、厚径比、环向波数的变化规律基本相同,但在数值上略有差别;量纲为一的固有频率随环向波数的增大呈
现先减小后增大的现象,随厚径比的增大而增大,随材料体积分数的增大而逐渐减小。
【总页数】8页(P704-710)
【作者】肖笛;王忠民
【作者单位】西安理工大学土木建筑工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TB34
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特性研究4.基于Flügge理论的功能梯度圆柱壳自由振动响应均匀化转换计算方法5.弹性边界约束旋转功能梯度圆柱壳结构自由振动行波特性分析
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功能梯度材料圆柱壳的线性热弹耦合振动
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物 流 工 程 与 管理
设备设施
ｄ ｉ ０ ９ ９ ｊ ｓ ｎ ６ ４－ ９ ３ ２ １ ． ６ ６ ｏ： ．３ ６ ／．ｉ ．１ ７ ４ ９ ． ０ ０ ０ ．０ ４ １ ｓ
【 ｅ ｏｄ 】Ｃｌｄ ｃ ｅｓ Ｆ ｎｔｎｌ ａｅ ａ ｒ ｓ Ｖｂａｏ Ｋ ｙｗ ｒｓ ｙｎｒ ａｓ ｌ ； ｕｃｏａｙ ｄｄｍ ｔ ａ ； ｉ ｔｎ ｉ ｉｌ ｈ ｌ ｉ ｌｇ ｒ ｅｌ ｉ ｒｉ
１ 引 言
｜ ｒ
Ｔ
＝
Ｇ ） ８
（） ４
功能梯度材料 是一 种近 期发 展 的新型 复合材 料 ， 由多种
式中 Ｐ一 、ｏＰ 、 ２Ｐ Ｐ 、 Ｐ 、３为温度相关系数 。
【 ＋ ）。 ｇ 】一Ｅ ） （ ）一ｔ ） Ｔ： ）（ ｏ； ２ ３ 动 力平 衡 方程 －
【 ｂｔ ｃ】 ａｅ ｌ ｓ ｅ’ｔ ｏ ，ｈ ｒ ｌ ｂ ｔｎｏ ｆ ｃｏａｙｇ ｄｄｍ ｔｉｓ ｙｎｒａ ｓｅｓｓ Ａ ｓ ａｔ Ｂｓｄ ｎｃ ｓｃｓ ｌ ｅｒ ｔ ｐｏ ｅ ｏ ｖ ｒｉ ｆｕ ｔｎｌ ｒ ｅ ａ ｒｌｃｌｄｉ ｈｌ ｒ ｏ ａ ｉ ｈ ｌ ｈ ｙ ｅ ｂ ｍ ｆ ｉａｏ ｎ ｉ ｌ ａ Ｓ ｅａ ｉ ｃ ｌ ｌｉ
料 ， 以 目前 被 广 泛 研 究 。 所
Ｔ ＝ Ｔ ０＋ 出
０＋Ｃｒ ＋
一Ｆ；
＝
本文基 于经典板壳理论 ， 考虑 物性参数 和温度 的影 响 ， 研 究 了功能梯度材料 圆柱 壳 的振动 问题 ， 该 问题进 行 了相应 对 的理论研究 和数值分 析。
功能梯度材料浅壳结构在弹性冲击下的动态响应分析
功能梯度材料浅壳结构在弹性冲击下的动态响应分析祁琦【摘要】研究一个以功能梯度材料构成的浅壳体结构在受到弹性冲击后的动态响应.根据冲击方向的不同将问题分为浅球壳冲击问题与浅凹壳冲击问题.采用Mori-Tanaka法则得到功能梯度壳的局部属性分布;运用一般三阶剪切变形理论,结合Von-Karman方程和哈密顿原理得到壳体在冲击下的运动控制方程;使用有限差分法和Newmark法对问题进行离散,再采用有限迭代法求得问题的解,最后得到功能梯度壳在弹性冲击下的响应.对比功能梯度浅凹壳和浅球壳的响应结果,数值结果表明功能梯度浅凹壳表现出更好的抗冲击性能.【期刊名称】《上海工程技术大学学报》【年(卷),期】2018(032)004【总页数】7页(P334-340)【关键词】功能梯度材料;浅球壳;弹性冲击;工程力学【作者】祁琦【作者单位】淮南联合大学机电系,淮南232001【正文语种】中文【中图分类】O347.3近年来,在航天航空、汽车、船舶等领域内,功能梯度材料(Functionally Gradient Materials,FGM)逐渐变成一种非常有竞争力的功能性材料.功能梯度材料作为一种广泛使用的材料,其构件需要满足各种环境下的工作要求,尤其工程中广泛存在的冲击现象，如冰雹冲击[1]、空中坠物冲击、汽车交通事故等.研究功能梯度结构在冲击下的动态响应,包括应力和位移在内的响应有着很重要的工程与科研意义,因而也引起学者的大量研究与关注.但由于功能精度材料非线性响应受冲击物的形状、材料、冲击角度与速度等许多因素的影响以及接触理论的复杂性,直至今天,对功能梯度材料结构进行精准的非线性动力学响应分析仍然是力学研究与机械材料研究中的一个难点和热点.因此,研究弹性冲击下的浅壳结构板的位移、正应力和接触力等响应问题是非常有必要的,同时也可以为功能梯度浅壳结构的设计与冲击问题求解提供理论支持和指导.功能梯度材料作为一种广泛应用的材料,其制作成涂层、构件等结构后的性能也被广泛研究：Ghorbanpour等[2]利用有限元法对封闭和开放的空心球体进行三维求解,研究内部压力和均匀温度场的影响;Dai等[3]采用积分方法提出一种解析解,解决了一个长的极化功能梯度空心旋转圆柱的轴对称问题,利用电磁热弹性的无穷小理论提出在耦合多场下功能梯度空心球的动态电磁弹性响应;Mao等[4]采用有限差分法对功能梯度板进行非线性动态响应和主动振动控制等相关研究.目前,对功能梯度材料所制各种结构研究的文献较为丰富，但对凹壳与浅球壳在低速冲击下的动态接触模型与热弹性行为研究的文献较少.本研究主要针对此不足,建立相应的动态接触力学模型,并进行数值求解与讨论.1 模型与理论部分1.1 几何模型图1为功能梯度材料浅凹壳和浅球壳的冲击模型示意图.浅凹壳的几何形状为浅球壳的对称结构.其中,FGM壳的厚度为h；面内曲率半径为R；基圆半径为r；凹壳中心和其上任意一点关于曲率中心的圆心角为θ；冲击小球的初速度为v0.1.2 功能梯度板性能图1 冲击模型示意图Fig.1 Schematic diagrams of impact model以图1所示的FGM壳为例,从功能梯度圆板的受冲击面到另一面完成由材料A到材料B的过渡,典型的A、B的选取可为金属基材料和陶瓷材料.FGM壳局部的等效材料属性采用Mori-Tanaka法则确定,材料的体积分数分布为(1)(2)式中：Vm和Vc分别为金属相和陶瓷相的体积分数；z和n分别为垂直方向坐标和体积分数指数(-h/2≤z≤h/2).在图1所示的坐标系中,受冲击面的坐标为z=h/2,其反面的坐标为z=-h/2.根据Mori-Tanaka法则,FGM壳局部的相应的等效体积模量K和剪切模量G分别为(3)(4)得到等效弹性模量及泊松比分别为(5)采用线性混合法则计算等效质量及热传导系数,公式为(6)式中：η(z)为任意厚度处的相关性能参数；ηc和ηm分别为陶瓷、金属相对应的性能参数.1.3 热传导方程本研究中考查功能梯度板性能的热环境为典型的一维定常温度场,其温度沿壳的厚度方向变化,可得热传导方程为(7)其中，k(z)为功能梯度板的热传导率,由式(6)可得k(z)=(km-kc)Vm+kc(8)其温度边界为(9)求解可得(10)1.4 功能梯度板的运动控制方程运用玻耳兹曼叠加原理可以得到FGM壳在温度场下的应力—应变本构关系为(11)式中：和α(z)分别为应力、应变、泊松比、杨氏模量和热膨胀系数(i=r,rz,θ).根据一般三阶剪切变形理论,FGM球壳在其上任何一点的位移(u,v,w)沿坐标(φ,θ,z)可表示为[5](12)式中：u0、v0、w0为FGM壳的中面内位移分量；φu、φv为曲面法线与对应坐标的夹角；ψ,η为对应方向的高阶剪切函数；t为时间变量.考虑到球壳在中心处冲击变形下的轴对称性,对其应用Von-Karman非线性方程,可得该FGM壳的应变几何关系为(13)由于球壳外表面的横向剪切应不存在,由式(12)、(13)可得高阶剪切函数为(14)为推导与分析的便捷性,引入处于球壳底圆沿半径方向的坐标系O-r,得几何关系如下(15)由式(12)至式(14)可得(16)其中(17)考虑FGM壳的运动控制方程,由哈密顿原理(δ∏=0)及式(13)可得运动控制方程为(18)式中：Nr、Nθ、Mr、Mθ、Qrz为对应的内力；I为惯性矩.由式(18)可得其在温度载荷与低速冲击下的非线性平衡方程为(19)1.5 接触力分析对图1所示的FGM壳受到球形冲击物冲击的过程建立动态赫兹接触模型可得F(x,y,t)=k(t)α(x,y,t)3/2(20)其中α(x,y,t)=w(t)-w1(t)(21)式中：w(t)为t时刻下冲头的位移;w1(t)为t时刻下板的横向挠度;k(t)为接触系数.其中k(t)的计算式为[6](22)式中:E1、E2分别为冲击物、被冲击面的杨氏模量；ν为被冲击物的泊松比；R(t)为接触半径，计算式为(23)式中:R1为冲击头的半径;为t时刻被冲击物在冲击处的曲率.由于FGM壳结构具有对称性,在中心冲击处沿各个方向的曲率都是相同的,因而有κ(t)=wθ(t)(24)设冲击物的位移为w(x,y,t),由Sun等[7]研究可知,其表达式为F(x,y,t)dt(25)其中，m为冲击物的质量.由方程式(21)以及式(25)可得F(x,y,t)dt-ws(x,y,t)(26)显然,由式(26)难以求解接触力F的解析解.此处采用时间增量法,将整个接触过程分为l个时间段,每一段时长为Δt,如果l取的足够大,那么可以认为在任意时间段[iΔt,(i+1)Δt]内接触力F与接触系数k为常数,且不影响计算结果.在这一假设下可得[8](27)其中∑Dl-i+1Fi= 2∑(l-i)∑(-1)i-jFj+∑(-1)l-iFi(28)式(27)即为接触力的数值解.2 问题的求解首先,为求解与推导的便利性,引入无量纲变化及刚度系数如下代入式(18)可得其无量纲化的运动控制方程、此处考虑图1中固支边界条件,可以得到其无量纲边界条件如下：显然,对式(18)、式(27)的问题是难求得其解析解的,因此本研究使用有限差分法和Newmark法对变量在空间和时间上进行离散,离散后在任意离散时间Δt内使用有限迭代法进行求解.应用有限差分法对浅球壳进行划分,则U、W及其各阶偏导均可用差分公式来表示.W关于时间t的偏导由Newmark法可表示为[9](29)其中，XI为变量X在迭代步I时的值.由于式(17)中存在非线性项使求解变得困难,此处先对其中的非线性项进行线性化处理[10]如下(x·y)I=(x)I·(y)IP(30)其中，(y)IP由二次外推法推算前几步的值得出,即(31)其中(32)为减小二次外推法运算带来的误差,在时间段[(I-1)Δt,IΔt]内进行有限次迭代运算,直到前后两次迭代结果的误差小于0.1%即可停止迭代,并进行I+1步的运算[11].3 结果与讨论针对图1所示结构,在曲率半径有限且不可近似为板结构的情形下进行模拟数值计算.考虑一功能梯度浅球壳受到一弹性小球的冲击,取浅球壳与凹壳的厚度为5 mm，基圆半径为200 mm，中面内曲率半径为1 000 mm,受冲击面材料的弹性模量、泊松比、热传导系数、热膨胀系数、密度分别为200 GPa、0.3、10 W/(m·K)、6×10-6 K-1、7 800 kg/m3,反面材料的弹性模量、泊松比、热传导系数、热膨胀系数、密度分别为100 GPa、0.3、10 W/(m·K)、6×10-6 K-1、7 800 kg/m3,冲击物直径为4 cm,材料选取与受冲击面一致,冲击速度为10 m/s.温度场施加于反面且高于无应力温度300 K,受冲击面维持无应力温度,体积分数指数n为1.在未作说明的算列中,计算均采用上面所示的默认参数.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图2所示.图2 考虑不同冲击速度下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.2 Response of deflection of shallow spherical shell under different impact velocities由图可见，随着时间推移,冲击中心处的位移会逐渐增大,而且冲击速度增加时最大挠度有显著的增加,而响应时长只是略有增加.功能梯度壳在不同冲击速度下的冲击力历史曲线如图3所示.由图可以看出,冲击速度对冲击力的影响非常大,对接触时间也有一定影响,随着冲击速度的增加,接触时间会略有增加.考虑不同温度对响应结果的影响,设T为与无热应力时温度之差,分别选取270、350和420 K 3个温度差进行计算.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图4所示.从图4可以看出,当温度升高时,功能梯度壳变“软”了,即最大挠度随温度的升高而增大,这是由温度应力增大导致的,同时冲击响应周期也随温差增大略微增大. 图3 考虑不同冲击速度下功能梯度浅球壳冲击力响应Fig.3 Response of impact force of shallow spherical shell under different impact velocities图4 考虑不同温度场下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.4 Response of deflection of shallow spherical shell under different temperature fields功能梯度壳在不同冲击速度下的冲击力历史曲线如图5所示.由图可以看出,冲击力受温度的影响相比较受冲击速度的影响要小得多,而且随温度升高冲击力幅值有所减小,这可以理解为由于温度升高降低了板的抗弯性能.同时温度对接触时间有较小的影响,随着温度升高,接触时间会略有上升.图5 考虑不同温度场下功能梯度浅球壳冲击力响应Fig.5 Response of impact force of shallow spherical shell under different temperature fields考虑不同体积分数指数对响应结果的影响,设n为体积分数指数,分别选取0.1、0.5和2.0进行计算.功能梯度壳在冲击中心处的位移历史曲线如图6所示.由图6可以看出,随着功能梯度指数减小,功能梯度壳变“软”了,即随着功能梯度材料的体积分数指数减小，挠度会有所增大.由功能梯度材料的分布函数可知,体积分数指数减小是结构中杨氏模量偏大的那部分成分减小所导致的,同时冲击响应周期也会随温度升高略微减小.图6 考虑不同体积分数指数下功能梯度浅球壳挠度响应Fig.6 Response of deflection of shallow spherical shell with different index of volume fraction 功能梯度浅球壳在不同体积分数指数下的冲击力响应历史曲线如图7所示.由图可以看出,冲击力受体积分数指数的影响相对受冲击速度的影响要小一些,而且功能梯度浅球壳的体积分数增大时,冲击力曲线会有较为明显的增大,这是由于此时FGM 板的材料主要由下表面的材料组成,因而FGM浅球壳材料整体的弹性模量较大，从而导致冲击下的最大冲击力的值较大.值得注意的是,当FGM板的整体弹性模量较大时,冲击过程中冲击力的峰值也更大,但冲击过程的时长会略有缩短.功能梯度浅球壳和与之几何对称的功能梯度浅凹壳在冲击中心处的位移历史曲线如图8所示.由图可以看出,两者几何对称而功能梯度体积分布指数方向相反,浅凹壳相比浅球壳结构有更强的抗冲击能力,在相同工况下受到冲击时其挠度会相对小一些. 功能梯度浅球壳和与之几何对称的功能梯度浅凹壳在冲击中心处的冲击力历史曲线对比如图9所示.图7 考虑不同体积分数指数下功能梯度浅球壳的冲击力响应Fig.7 Response ofimpact force of shallow spherical shell with different index of volume fraction图8 功能梯度浅球壳和浅凹壳挠度响应Fig.8 Response of deflection of shallow spherical shell and shallow concave shell图9 功能梯度浅球壳和浅凹壳冲击力响应Fig.9 Response of impact force of shallow spherical shell and shallow concave shell由图可以看出,两者结构几何对称而功能梯度体积分布指数方向相反.从前文推导可见,两种结构的冲击力差别是由接触面的形状所决定的.凹壳结构的接触系数更大一些,相对而言其有更强的抗冲击能力,冲击力幅值略大而接触时间略短,这也可以理解为凹壳结构抗冲击能力更强.4 结语本文研究了功能梯度浅凹壳与浅球壳结构在定常温度场下在弹性冲击下运用动态接触模型的力学响应问题,就此模型出发,推导了相应的动态接触力及相应的支配方程,并进行数值求解与讨论.通过数值结果分析可以得到以下结论.1) 功能梯度浅壳结构在弹性冲击下,对响应结果影响最大的是冲击动能,冲击动能增加会大大增加其挠度幅值,略微增加接触时长.2) 在环境温度有所上升的情况下,功能梯度浅壳结构会显得更“软”,即在相同的外部条件下,其挠度响应幅值会随温度上升,而冲击力幅值略有下降同时接触时长略微增加.3) 功能梯度浅凹壳相比与之结构对称、功能梯度分布相反的功能梯度浅球壳来讲，具有更强的抗冲击能力.参考文献:【相关文献】[1] HAMMETTER C I,JONES R L,STAUFFACHER H L,et al.Measurement and modeling of supersonic hailstone impacts[J].International Journal of Impact Engineering,2017,99:48-57.[2] GHORBANPOUR ARANI A,KOLAHCHI R,MOSALLAIE BARZOKI A,et al.Electro-thermo-mechanical behaviors of FGPM spheres using analytical method and ANSYSsoftware[J].Applied Mathematical Modelling,2012,36(1):139-157.[3] DAI H L,DAI T,ZHENG H Y.Stresses distributions in a rotating functionally graded piezoelectric hollow cylinder[J].Meccanica,2012,47 (2):423-436.[4] MAO Y Q,FU Y M.Nonlinear dynamic response and active vibration control for piezoelectric functionally graded plate[J].Journal of Sound 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轴向运动功能梯度梁横向振动问题的
第２０卷第６期２０２２年１２月动力学与控制学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＶｏｌ．２０Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２２文章编号：１６７２ ６５５３ ２０２２ ２０（６） １０１ ０５ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２ ６５５３ ２０２２ ０４７ ２０２２ ０８ ２０收到第１稿，２０２２ ０９ ２８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１２１７２２８１，１１９７２２８４），基础加强１７３计划基金项目（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），陕西省科技创新团队资助（２０２２ＴＤ ６１）和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者Ｅ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛１ 周洋忻２ 胡伟鹏２（１．榆林市城市投资经营集团有限公司，榆林 ７１９０００）（２．西安理工大学土木建筑工程学院，西安 ７１００４８）摘要 轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战．本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上，基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，构造了横向振动模型的保结构数值格式，并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件．分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率，发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好，在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源，以指导微分求积法的改进，并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径．关键词 保结构， 轴向运动功能梯度梁， 对称破缺， 广义多辛， 横向振动中图分类号：Ｏ３０２文献标志码：Ａ引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化，使材料的热应力大为缓和，而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛［１ ３］．智慧建造［４］这一全新概念的提出，使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求，因此，功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择．作为智慧建造中的基本力学构件，功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要．特别是在装配式智慧建造过程中，功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著．Ｓａｎｋａｒ［５］基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论，得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解．Ｒｅｄｄｙ［６］基于ｖｏｎＫａｒｍａｎ几何非线性理论，建立了功能梯度梁的非线性Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．丁虎［７］、王忠民等［８］轴向运动功能梯度梁振动模型，并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性，为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础．刘金建等［９］基于Ｅｕｌｅｒ梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题．Ｂａｌｉｒｅｄｄｙ和Ｐｉｔｃｈａｉｍａｎｉ［１０］分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性．从本质上讲，功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺［１１］因素．对于含有对称破缺因素的动力学系统，本课题组基于多辛分析方法，建立了广义多辛分析方法［１２］这一保结构理论框架，并解决了一系列复杂动力学问题［１３ １６］．因此，本文将基于保结构思想，分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性，为功能梯度梁的横向振动控制提供参考．１ 轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献［８，９］，简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程．考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁（图１），梁长度为Ｌ，横截面宽度为ｂ、高为ｈ，轴向运动速度为定常速度，大小为η．为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度，假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷密度均为ｚ坐标的函数，即Ｅ（ｚ）和ρ（ｚ）．图１ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．１ Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ以含两种组分（如金属材料和陶瓷材料）的功能梯度材料为例，其有效材料参数可表述为：Ｅ（ｚ）＝（Ｅｃ－Ｅｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋Ｅｍ ＝Ｅｍ［（βＥ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］ρ（ｚ）＝（ρｃ－ρｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋ρｍ ＝ρｍ［（βρ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］（１）其中Ｅｃ，Ｅｍ，ρｃ，ρｍ分别为两种材料组分的物理参数，βＥ＝Ｅｃ／Ｅｍ，βρ＝ρｃ／ρｍ，ｋ为梯度指标．需要说明的是，从式（１）即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合．基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁基本假设，依据文献［８］，功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移ｕ（ｘ，ｔ）和横向位移ｗ（ｘ，ｔ）表述：ｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｔｕｚ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｔ）（２）功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为：εｘ＝ ｘｕ－ｚ ｘｘｗσｘ＝Ｅ（ｚ）εｘ＝Ｅ（ｚ）（ ｘｕ－ｚ ｘｘｗ）（３）由其描述的梁的应变能可表述为：Ｕ＝１２∫Ｌ０∫ＡσｘεｘｄＡｄｘ ＝１２∫Ｌ０［Ｄ１（ ｘｕ）２－２Ｄ２ ｘｕ ｘｘｗ＋ Ｄ３（ ｘｘｗ）２］ｄｘ（４）其中，Ａ为梁的横截面面积，并且：（Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３）＝∫ＡＥ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为：ｖｘ＝ ｔｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ） ＝ ｔｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｔｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｖｚ＝ ｔｗ（ｘ，ｔ）＋η ｘｗ（ｘ，ｔ）（５）由此描述的梁的动能可表述为：Ｋ＝１２∫Ｌ０∫Ａρ（ｚ）（ｖ２ｘ＋ｖ２ｚ）ｄＡｄｘ＝ １２∫Ｌ０｛Ｉ１［（ ｔｕ）２＋η２＋２η ｔｕ＋（ ｔｗ）２＋ η２（ ｘｗ）２＋２η ｔｗ ｘｗ］－２Ｉ２η ｔｘｗ－ ２Ｉ２ ｔｕ ｔｘｗ＋Ｉ３（ ｔｘｗ）２｝ｄｘ（６）其中（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝∫Ａρ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ由哈密顿原理，忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项，并消去轴向位移项，得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程：（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１） ｘｘｘｘｗ－（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１） ｔｔｘｘｗ＋ Ｉ１（ ｔｔｗ＋η２ｘｘｗ＋２η ｔｘｗ）＝０ｗｉｔｈｗ（０，ｔ）＝０ｗ（Ｌ，ｔ）＝０ｘｘｗ（０，ｔ）＝０ ｘｘｗ（Ｌ，ｔ）＝{０（７）２ 振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量： ｔｗ＝ ｘψ＝Ｄ１φ－Ｄ１Ｉ１χＤ２Ｉ２－Ｄ１Ｉ３， ｘｗ＝φ， ｘχ＝φ，并定义状态向量：ｚ＝（ｗ，φ，χ，ψ，φ）Ｔ，轴向运动功能梯度梁横向振动方程（不含边界条件）可以写成如下近似一阶对称形式：Ｍ ｔｚ＋Ｋ ｘｚ＝ ｚＳ（ｚ）＋τ（ｚ）（８）其中，Ｍ，Ｋ∈Ｒ５×５为反对称矩阵：Ｍ＝００００１０００００００００００００００－１００００，Ｋ＝ ０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０００００１０拟哈密顿函数为：Ｓ（ｚ）＝－１２［Ｉ１η２ｗ２＋（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１）φ２－２０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 Ｉ１χ２＋（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１）ψ２］余项为：τ（ｚ）＝［－２Ｉ１ηψ，０，φ，０，０］Ｔ．与标准的多辛形式不同，近似对称形式含有如下对称破缺因素［１１］：①系数矩阵Ｍ，Ｋ及哈密顿函数Ｓ（ｚ）显含空间变量；②哈密顿函数梯度存在余项τ（ｚ）；③系数矩阵Ｍ非严格地反对称，因此将其分解Ｋ＝Ｋ＋Ｋ⌒０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１／２Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０－１／２－１／２００１／２０＋００００１／２００００００００００００００１／２１／２００１／２０ ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献［１１］显式给出，第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献［１７］进行．为避免与已有工作重复，在此不给出详细表达式和具体处理步骤，只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差，以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能．在梁长度方位内（０≤ｘ≤Ｌ）采用空间步长进行均匀划分单元，并对系统采用时间步长进行Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ离散，得到保结构差分格式：Ｍδ＋ｔｚｊｉ＋１／２＋Ｋδ＋ｘｚｊ＋１／２ｉ＝ ｚＳ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）＋τ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）（９）其中：ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２＝１４（ｚｊｉ＋ｚｊｉ＋１＋ｚｊ＋１ｉ＋ｚｊ＋１ｉ＋１），δ＋ｘ，δ＋ｔ均为一阶前向差分．限于篇幅，格式的展开形式和消参后的形式不再给出，同时，离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出．需要强调的是，多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据，后续在数值结果中会详细讨论．３ 数值算例为了将结果与文献［８，９］的部分结果进行对比，材料参数取值如下：Ｅｃ＝３９０ＧＰａ，Ｅｍ＝２１０ＧＰａ，ρｃ＝３９６０ｋｇ／ｍ３，ρｍ＝７８００ｋｇ／ｍ３．为保证数值格式的保结构性能，依照广义多辛理论［１２］，需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内，离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差，即Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ），其中ｏ（Δｔ，Δｘ）为格式的数值截断误差．为了计算方便，忽略高阶项并取Δｔ／Δｘ＝０．５后，可以将数值截断误差上限估计值近似取为：ｏ（Δｔ，Δｘ）≤［ｏ］＝７Δｔ２（１０）在考虑梯度指标取值较大的情形下，确定容许的最大时间步长．取ｋ＝１０５，将时间步长取值从Δｔ＝０．００１ｓ逐渐增大，当式（１０）刚好严格满足时，得到最大允许时间步长为Δｔ＝０．０６４ｓ，此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图２所示．因此，在后续模拟过程中，取时间步长为Δｔ＝０．０５ｓ，空间步长为Δｘ＝０．１ｍ，就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能．分别取ｋ＝０．００１，１００两种梯度指标，分别采用微分求积法（ＤＱＭ）［８］、复模态法（ＣＭＭ）［９］和保结构方法（ＳＰＭ）模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程，得到梁的前六阶频率值如表１所示．从表１中不难发现，采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好．随着频率阶次升高，复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果．考察微分求积法的求解过程，可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面：①在进行微分求积运算之前，将偏微分方程化为常微分方程过程中，只考虑了方程解的一阶频率分３０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷量而忽略了高阶频率分量；②微分求积法采用非均匀网格离散，无法判断每一时间步内不等式（Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ））的满足情况，不具有评价其保结构性能的条件．复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题，故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好．上述结果表明，复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度．图２ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．２ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｒｅｓｉｄｕａｌｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ表１ 前六阶频率结果对比（Ｈｚ）Ｔａｂｌｅ１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ（Ｈｚ）ｋＭｏｄｅＮｏ．ＤＱＭＣＭＭＳＰＭ１ｓｔ１８．０３８５１８．０３８５１８．０３８５２ｎｄ７２．５８０１７２．５３３９７２．５３３９０．００１３ｒｄ１６１．１９７５１６０．００１８１６０．００１８４ｔｈ２８９．８８０６２８６．２１４７２８６．２１４２５ｔｈ４５８．９３８０４５２．７３１１４５２．７０９６６ｔｈ６６６．２０３９６５９．９０１８６５９．３０８９１ｓｔ９．７８４９９．７８４９９．７８４８２ｎｄ３２．９０９１３２．２２８６３２．２２５９１００３ｒｄ８０．３６１０７８．４３９２７８．４２９８４ｔｈ１４８．１３１５１４４．３６１８１４３．８１００５ｔｈ２３７．２０２７２３１．２１５６２３０．９０３５６ｔｈ３４６．７７３８３３８．８０３３３３８．３２７１４ 结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型，发展了保结构分析方法，并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况．研究结果表明：本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能，得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好，同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因，为微分求积法的进一步改进指明了方向，也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径．参 考 文 献１ＲｅｄｄｙＪＮ，ＣｈｉｎＣＤ．Ｔｈｅｒｍｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｐｌａｔｅｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｒ ｍａｌＳｔｒｅｓｓｅｓ，１９９８，２１（６）：５９３～６２６２ＮａｅｂｅＭ，ＳｈｉｒｖａｎｉｍｏｇｈａｄｄａｍＫ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉａｌｓ：ａｒｅｖｉｅｗｏｆｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１６，５：２２３～２４５３ＢａｒｔｌｅｔｔＮＷ，ＴｏｌｌｅｙＭＴ，ＯｖｅｒｖｅｌｄｅＪＴＢ，ｅｔａｌ．Ａ３Ｄ ｐｒｉｎｔｅｄ，ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｓｏｆｔｒｏｂｏｔｐｏｗｅｒｅｄｂｙｃｏｍ ｂｕｓｔｉｏｎ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，３４９（６２４４）：１６１～１６５４ＴｕａｎＡＮ，ＡｉｅｌｌｏＭ．Ｅｎｅｒｇｙｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｂｕｉｌｄｉｎｇｓｂａｓｅｄｏｎｕｓｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ：ａｓｕｒｖｅｙ．ＥｎｅｒｇｙａｎｄＢｕｉｌｄｉｎｇｓ，２０１３，５６：２４４～２５７５ＳａｎｋａｒＢＶ．Ａｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１（５）：６８９～６９６６ＲｅｄｄｙＪＮ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｔｈｅｏ ｒｉｅｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎ ｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２０１１，５９（１１）：２３８２～２３９９７ＤｉｎｇＨ，ＣｈｅｎＬＱ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅ ｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１０，３２９（１７）：３４８４～３４９４８姚晓莎，王忠民，赵凤群．轴向运动功能梯度梁的横向振动．机械工程学报，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ＹａｏＸＳ，ＷａｎｇＺＭ，ＺｈａｏＦＱ．Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｍａｄｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉ ａｌｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））９刘金建，蔡改改，谢锋，等．轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析．动力学与控制学报，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ＬｉｕＪＪ，ＣａｉＧＧ，ＸｉｅＦ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ｉｎＣｈｉ ｎｅｓｅ））１０ＢａｌｉｒｅｄｄｙＳＮ，ＰｉｔｃｈａｉｍａｎｉＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒｏｆｂｉ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓｕｂｊｅｃ ｔｅｄｔｏｖａｒｉａｂｌｅａｘｉａｌｌｏａｄ．ＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙＣｏｍｍｕｎｉｃａ ｔｉｏｎｓ，２０２２，３２：１０４０４３１１ＨｕＷ，ＷａｎｇＺ，ＺｈａｏＹ，ｅｔａｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，２０２０，１０３：１０６２０７４０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析１２ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＨａｎＳＭ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅＰＤＥｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２３５：３９４～４０６１３宋明哲，邓子辰，赵云平，等．含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析．动力学与控制学报，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ＳｏｎｇＭＺ，ＤｅｎｇＺＣ，ＺｈａｏＹＰ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｅｒｓｅｖｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｗｅａｋｄａｍｐｉｎｇ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））１４ＨｕＷ，ＨｕａｉＹ，ＸｕＭ，ｅｔａｌ．Ｍｅｃｈａｎｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｍｏｄｅｌｏｆｌｏｎｉｃ ｔｙｐｅｓｏｌｖｅｎｔ ｆｒｅｅｎａｎｏｆｌｕｉｄｓ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５９：１０７８３３１５ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＳｏｎｇＪ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｆｌｅｘｉｂｌｅｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇｈｕｂ ｂｅａｍｓｙｓｔｅｍ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５１：１０７３８９１６ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＺｈａｎｇＦ，ｅｔａｌ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｎｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｗｉｔｈｓｔｅｐ ｖａｒｉａｂｌｅｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｍｅｃｈａｎｉ ｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２２，１８０：１０９４２３１７ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＷａｎｇＢ，ｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｉｎａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１３，７２（１ ２）：３８９～３９８ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ ＰＲＥＳＥＲＶＩＮＧＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥＶＩＢＲＡＴＩＯＮＯＦＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＬＹＧＲＡＤＥＤＢＥＡＭＷＩＴＨＡＮＡＸＩＡＬＶＥＬＯＣＩＴＹＬｉｕＴａｏ１ ＺｈｏｕＹａｎｇｘｉｎ２ ＨｕＷｅｉｐｅｎｇ２（１．ＹｕｌｉｎＣｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｙｕｌｉｎ ７１９０００，Ｃｈｉｎａ）（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌ’ｓｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｇｒｅａｔｃｈａｌｌｅｎｇｅｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄｉｎｂｒｉｅｆｆｉｒｓｔｌｙ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｒｉｔｉ ｃａｌｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ ｓｕｌｔｓ，ｉｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｈｉｇｈｌｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｉｎｔｈｅｅｒｒｏｒａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｏｓｉｎｇａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｌｉｋｅｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ， ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇ， ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ， ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎＲｅｃｅｉｖｅｄ２０Ａｕｇｕｓｔ２０２２，ｒｅｖｉｓｅｄ２８Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２０２２．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（１２１７２２８１，１１９７２２８４），ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇＰｒｏｇｒａｍｍｅＴｅｃｈｎｉｃａｌＡｒｅａＦｕｎｄ（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），ｔｈｅＦｕｎｄｏｆｔｈｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉ（２０２２ＴＤ ６１）ａｎｄＦｕｎｄｏｆｔｈｅＹｏｕｔｈＩｎｎｏ ｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ５０１Copyright ©博看网. 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含功能梯度材料的周期管路振动特性研究
含功能梯度材料的周期管路振动特性研究杜春阳;郁殿龙;温激鸿;刘江伟;贾鹏飞【摘要】In order to control the vibration of a pipe,the vibration properties of a periodic beam with functionally graded material (FGM) were investigated.Based on the finite element method,the band gap of the periodic pipeline with functionally graded materials was calculated.The properties of tunable band gap of FGM were discussed Results show that a considerable stress concentration can be alleviated by the application of the FGM.The results reveal that the band gap of classic periodic pipeline can be improved as well as the stress concentration problem because of the functionally graded materials.The FGMs can be used to provide a new way for tunable band gap and eliminating the stress concentration.%以管路振动控制为目标,研究了含功能梯度材料的周期管路振动特性研究.利用有限元法计算功能梯度材料管路的带隙特性和应力分布情况.深入分析了影响功能梯度材料管路带隙特性的因素,包括单元内功能梯度材料管路长度,过渡函数性质,研究表明功能梯度材料能有效调节经典周期管路的带隙特性;同时功能梯度材料可以有效减弱周期管路不同材料界面处应力集中问题.研究结果为带隙调节和消除应力集中提供了一个新思路.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2018(037)004【总页数】7页(P170-176)【关键词】功能梯度材料;周期管路;带隙;应力集中【作者】杜春阳;郁殿龙;温激鸿;刘江伟;贾鹏飞【作者单位】国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室,长沙410073【正文语种】中文【中图分类】TB535+.1管路系统通常用来传递能量或物质，广泛应用与船舶动力、航空航天等领域。
旋转设备在运行中振动大处理的思路与探索
旋转设备在运行中振动大处理的思路与探索发布时间：2022-05-19T08:23:01.937Z 来源：《科学与技术》2021年36期作者：何国栋康亚红[导读] 旋转机械是现代生产企业应用比较广泛的一类设备，我们身边常见的有很多，何国栋康亚红国投新疆罗布泊钾盐有限责任公司摘要：旋转机械是现代生产企业应用比较广泛的一类设备，我们身边常见的有很多，如汽轮机、发电机、风机等，论文中所阐述的都是比较大型的旋转设备，如果个体太小，则振动造成的影响不明显，也不会酿成大的事故。
如果机械设备个头大转速比较高,振动就成为检测机械设备的一项重要参数，将振动参数控制在一定的范围内对于设备的稳定高效运行至关重要。
关键字：振动、旋转、干扰（一）运行设备振动产生的常见原因及测量方法：这里我们经常谈到的X方向振动Y方向振动。
而x方向振动与Y方向振动的定义也因设备不同而区别对待，并不是所有的X方向都是水平方向，Y方向都是垂直方向，就拿汽轮机转子振动测量来说，x方向与Y方向往往会形成90度的夹角，与水平面或者垂直面形成45度的夹角。
定义的时候是面对机头向机主的方向进行旋转，如果是顺时针旋转，则左面为X，右面为Y，如果是逆时针旋转，刚好相反。
在实际振动测量，常常采用速度传感器或电涡流传感探头来进测量。
我厂汽轮机采用本特利3500配合涡流传感探头再经过伺服放大模块完成电压信号采集和放大，最终传输至DCS画面进行显示。
而其他高压电机是采用振动速度传感器配合现场振动监测保护仪完成对高速旋转设备的振动监测。
既然振动作为高速旋转设备最重要的控制参数，那么数据的准确性就显得尤为重要。
理想状态是没有振动或者控制在一个非常小的可控范围内。
但实际中，经常会处于失准状态。
接下来我们就共同探讨实际旋转过程中振动大的多种原因。
第一，完整大轴出现弯曲造成旋转不平衡形成的剧烈振动。
第二，在两轴之间对接的过程中出现对接过程不平滑。
轴心不在同一条水平线上导致在高速旋转过程中震动偏大。
单∕双层圆柱壳振动及声辐射对比
单∕双层圆柱壳振动及声辐射对比单层圆柱壳和双层圆柱壳都是常见的工程结构，它们的振动和声辐射特性不同，本文将对它们进行对比分析。
一、单层圆柱壳振动及声辐射分析单层圆柱壳在振动时，可以进行径向、周向和轴向振动，其中径向振动对应于柱面上的圆环扭动变形，周向振动对应于环周向走波和横波，轴向振动对应于柱侧壁的纵波。
在单频激励下，单层圆柱壳振动模态主要包括轴向振动、环向振动和径向振动三种类型。
其中，环向振动和径向振动都有强烈的声辐射现象，而轴向振动则主要表现为柱内固有噪声。
单层圆柱壳的声辐射主要来自振动能量的辐射。
由于单层圆柱壳的振动模态较少，因此排放能力较低。
同时，由于单层圆柱壳的组成材料和几何尺寸的限制，其声辐射效应较难减小。
二、双层圆柱壳振动及声辐射分析相比于单层圆柱壳，双层圆柱壳可以更有效地减少振动和降低噪声。
其主要原因在于双层圆柱壳内部的两层圆柱壳相互作用，并且存在弹性缓冲层，可以消耗部分振动能量，从而减少振动和噪声。
在双频激励下，双层圆柱壳主要振动模态包括1T1S模态、1T2S模态、2T1S模态和2T2S模态。
其中，1T1S模态较强的径向振动对应于圆柱壳与圆筒悬挂系统之间的振动耦合，有利于减小振动。
1T2S模态和2T1S模态的振动都较弱，均没有强烈的声辐射。
2T2S模态的径向振动和环向振动相互作用，具有很强的声辐射效应。
双层圆柱壳的振动和声辐射主要受到以下因素的影响：一是内外层圆柱壳的组成材料和尺寸；二是弹性缓冲层的性质和几何尺寸；三是受到的载荷和激励类型。
这些因素综合起来决定了双层圆柱壳的振动和声辐射特性。
三、结论综合以上分析，可以看出双层圆柱壳振动和声辐射效应显著优于单层圆柱壳。
由于存在内外层圆柱壳的振动减缓和弹性缓冲层的吸能作用，双层圆柱壳的振动和声辐射能力得到了很好的改善。
因此，在一些工程应用中，双层圆柱壳可以被广泛应用。
在进行单层圆柱壳和双层圆柱壳振动和声辐射的对比分析时，我们需要了解相关的数据和参数。
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析
复杂边界条件圆柱壳自由振动特性分析1. 引言1.1 背景介绍圆柱壳是一种常见的结构，在工程中具有广泛的应用。
圆柱壳在多种领域中都扮演着重要的角色，比如航空航天领域的发动机壳体、海洋工程领域的钻井平台支柱等。
由于复杂的工作环境和载荷作用，圆柱壳的振动特性对结构的稳定性和安全性有着重要影响。
在实际工程中，圆柱壳往往会受到各种边界条件的限制，如固支、弹簧支座、不同形状的约束等。
这些复杂的边界条件会对圆柱壳的振动特性产生显著影响，因此需要深入研究和分析。
本文旨在通过有限元方法对具有复杂边界条件的圆柱壳进行自由振动特性分析，探讨不同边界条件对圆柱壳振动行为的影响，为工程实践提供理论支持。
通过数值模拟和参数分析，结合实验数据进行模型验证和结果讨论，揭示圆柱壳在不同工况下的振动特性。
通过对圆柱壳振动特性的研究，我们可以进一步了解结构的工作状态和性能，为优化设计和改进提供参考。
1.2 问题提出特别是在一些特殊工况下，比如边界条件不规则或者受到外部扰动等情况下，圆柱壳的振动特性会受到更大的影响，这就需要我们针对不同边界条件下的圆柱壳进行深入研究和分析。
如何解决这一问题成了当前研究的重要课题。
通过对圆柱壳的复杂边界条件进行分析，可以更好地理解结构的振动行为，为工程实践提供重要参考。
本研究旨在通过有限元方法等数值模拟手段，对复杂边界条件下圆柱壳的自由振动特性展开深入研究，为相关工程领域提供理论支持和技术指导。
1.3 研究意义研究圆柱壳的自由振动特性能够为工程设计提供重要参考。
通过深入探究圆柱壳在复杂边界条件下的振动特性，可以为工程师提供更准确的设计参数和指导，从而提高工程结构的性能和安全性。
通过对复杂边界条件下圆柱壳的自由振动特性进行深入分析，可以为工程设计和实际应用提供重要的理论基础和指导，具有重要的研究意义和应用前景。
2. 正文2.1 复杂边界条件对圆柱壳振动影响分析在研究过程中，首先需要建立合适的数学模型来描述圆柱壳的振动行为，并考虑复杂边界条件的影响。
薄壁圆柱壳的高阶模态振动特性研究
薄壁圆柱壳的高阶模态振动特性研究王宇;罗忠;李昌;刘健【摘要】采用解析法研究了不同边界条件下薄壁圆柱壳的高阶模态振动特性.首先基于Love壳体理论,在简支-简支、固支-固支和固支-自由三种边界条件下,通过伽辽金法建立了动力学模型,对模态特性进行求解,得到了高阶固有频率和三维模态振型,并通过文献和有限元法进行了比较.算例结果表明,两端简支边界条件下采用解析法得到的固有频率误差值不超过2％,当周向波数较小时固有频率先减小后增加,在高阶时的固有频率逐渐升高,当轴向半波数增加时固有频率明显增大,通过解析法、文献和有限元法得到的三维模态振型相吻合.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2016(014)002【总页数】7页(P131-137)【关键词】薄壁圆柱壳;边界条件;高阶固有频率;三维模态振型【作者】王宇;罗忠;李昌;刘健【作者单位】辽宁科技大学机械工程学院,鞍山114051;东北大学机械工程学院,沈阳110819;辽宁科技大学机械工程学院,鞍山114051;辽宁科技大学机械工程学院,鞍山114051【正文语种】中文2014-12-04收到第1稿，2014-12-27收到修改稿.*国家自然科学基金资助项目（51105187）、辽宁科技大学青年基金资助项目（2014QN13）薄壁圆柱壳是指壁厚与其它最小特征尺寸之比在1/80和1/5之间的壳体［1］.薄壁圆柱壳构件在航空航天和造船等领域中应用广泛，例如航空发动机的机匣、鼓筒和卫星外壳等，在外界复杂工况下的振动行为复杂，可能会产生高阶共振、失稳和损伤等故障，对薄壁圆柱壳构件的高阶振动特性进行深入研究，具有重要的应用价值.目前，关于薄壁圆柱壳构件低阶固有特性的研究较多，而许多薄壁壳体的振动疲劳问题中，主要是高阶模态所对应的共振引起的，国外学者的研究成果如下：Rongong J A和Tomlinson G R［2］针对带阻尼层的薄壁圆环，对其高节径（即周向波数）的振动特性进行了研究. Wang C和Lai J C S［3］采用波动方法预测了有限长圆柱壳的固有频率，但没有考虑相应的模态振型. El-Kaabazi N和Kennedy D［4］基于Donnell、Timoshenko和Flügge理论，采用Wittrick-Williams方法研究了变厚度圆柱壳的固有特性，而对高阶模态特性并不太清楚. El-Mously M［5］通过对三种壳体理论方程，仅对固有频率进行了求解.我国学者对圆柱壳类结构的低阶固有特性进行了许多研究，但是对高阶固有频率和三维模态振型的研究较少［6～9］.陈正翔和陈维衡［10］对圆柱壳中较高阶周向模态振动波的频散特性进行了研究，得到了自由振动波随频率变化的规律.韩清凯、王宇和李学军［11］对圆柱壳的高阶固有频率进行了求解，但是没有考虑模态振型的特性［11］.李晖［12］等利用实验方法对约束态圆柱壳的模态振型进行了测试，得到了部分低阶模态振型.陈丽华［13］等用哈密顿原理和Rayleigh - Ritz方法研究了简支、自由和固定边界条件下三阶剪切变形板的固有频率和振型.针对薄壁圆柱壳构件，基于Love薄壳理论，在简支-简支、固支-固支和固支-自由三种边界条件下，采用解析法对高阶模态特性进行了求解，通过算例分析得到了其高阶固有频率和三维模态振型，并通过相关文献和有限元法对振动特性进行了比较.1. 1 力学模型如图1所示为薄壁圆柱壳模型.在柱坐标系Oxθz中，坐标原点O为端面圆心，纵向x轴与轴线重合，径向z轴在端面径向上，切向θ为端面上偏离z轴初始位置的偏转角，u、v和w表示中面上任意一点在轴向、切向和径向的位移，L、H和R分别表示薄壁圆柱壳的长度、厚度与中面半径.1. 2 模态特性求解薄壳理论假定应力与应变服从Hooke′s定律，各点的振动位移比厚度H小得多，基于Love壳体理论［14］采用位移u（x，θ，t）、v（x，θ，t）和w（x，θ，t）表示的动力学平衡方程为式中，‘·’表示位移对时间的求导，ρ为材料密度，L算子的表达式为式中，Lij（i，j =1，2，3）表示微分算子，具体表达式为选取振动位移解的形式为式中，m表示轴向半波数，n表示周向波数，¯Umn、¯Vmn和¯Wmn为振型幅值系数，Tmn（t）为模态坐标，轴向振型函数φkm（x）（k = u，v，w）表示为式中，λ1、σ1和αi（i =1，2，3，4）的数值由边界条件确定，具体表达式如下：（1）简支-简支边界条件（2）固支-固支边界条件（3）固支-自由边界条件周向振型函数φkn（θ）（k = u，v，w）表示为将式（2）代入式（1），进行Galerkin离散得对式（8）进行积分运算，得到固有频率特征方程为式中，cij（i，j =1，2，3）的具体表达式为式中，通过式（10）求解固有频率，然后利用振型函数式（2）可得到三种边界条件下对应的三维模态振型.利用解析法、有限元法和文献［15］，在简支-简支、固定-固定和固定-自由三种边界条件下，求解薄壁圆柱壳的m = 1～3和n = 1～25阶固有频率和三维模态振型，其材料参数和几何参数如表1所示.利用有限元程序ANSYS进行求解时，取三维高阶实体单元SOLID186，采用VROATA命令从截面绕轴旋转生成圆柱壳模型，通过从相邻面扫掠体的方法生成网格，共计3420个单元，19530个节点. （1）简支-简支边界条件在简支-简支边界条件下，采用解析法、文献和有限元法得到的各阶固有频率随轴向半波数和周向波数变化的关系如图2所示.由图2（a）可知，通过三种方法求得的固有频率随着周向波数的变化趋势相同，当周向波数较小时，固有频率先减小后增大，当m = 1，n = 7时的固有频率达到最小值2404Hz，当周向波数继续增大时的固有频率逐渐升高；同时，随着轴向半波数的增加固有频率也随之增加，在高阶m =3，n =25时的固有频率达到最大值.由图2（b）可知，通过解析法与文献和有限元法的固有频率误差比较可知，在m =1～3，n = 1～25范围内，固有频率的最大误差值均小于2%，通过文献求得的固有频率值稍大于解析法求得的结果，而通过有限元法求得的固有频率值略小于解析法的频率值，这是因为有限元法是一种近似方法，其模态分析只能针对线性结构，文献得到的结果是基于经验公式，而解析法的位移解是基于梁函数的假设，导致了三种方法计算误差的存在.薄壁圆柱壳的三维模态振型如表2所示，由解析法和有限元法得到的三维模态振型相互吻合，在圆周方向上表现为均匀的花瓣形状，例如在固有频率最低的第（1，7）阶三维模态振型表现为周向波数为7的花瓣形状；由于两端简支的边界条件对上下两侧边界上节点的限制作用相同，引起壳体中部的振动幅度最大；最低阶模态也是构件最容易发生共振的一阶模态，并且在低阶固有频率的振动模态以周向振动为主.（2）固支-固支边界条件在固支-固支边界条件下，薄壁圆柱壳的固有频率变化曲线如图3所示，三维模态振型如表3所示.可以看出，低阶固有频率先减小后增加，当m =1，n =7时的固有频率最小值为3146Hz，高阶固有频率值随着周向波数的增加而逐渐升高；另外，随着轴向半波数的增大，固有频率值也随之增大；薄壁圆柱壳构件的三维模态振型在低阶时以周向模态振动为主，在高阶时出现轴向模态和周向模态的组合振型.这是因为两端固支的边界条件对壳体的作用，限制了边界上各节点的全部自由度，引起中部出现最大振动位移.（3）固支-自由边界条件在固支-自由（即悬臂）边界条件下固有频率随周向波数和轴向半波数的关系曲线如图4所示，三维模态振型图如表4所示.可以看出，利用解析法求得的固有频率和简支-简支和固支-固支两种边界条件所求得的结果变化趋势相似，在低阶处的固有频率值先减小后增大，最小值出现在第（1，6）阶，对应的固有频率为1668Hz，在高阶时的固有频率随着周向波数的增加而逐渐升高；同时，随着轴向半波数的增大固有频率明显增加；如表4所示，固支-自由边界条件下的三维模态振型主要表现为自由端周向节点的振动，即悬臂端的振动位移最大，这是因为下端是固定的，对于圆柱壳有较强的约束作用，而对于上部约束影响较小，引起固有频率和模态振型发生相应变化；同时，固有频率最低的（1，6）阶对应的三维模态振型表现为周向波数为6的花瓣形状，是构件在服役过程中容易发生共振和产生故障的一阶模态，应当采取减振措施对振动进行预防和控制.在简支-简支、固支-固支和固支-自由三种边界条件下，给出了求解薄壁圆柱壳高阶模态特性的解析法，利用文献和有限元法对结果进行了比较，算例结果表明：求得的固有频率值和文献与有限元法得到的结果变化趋势相同，固有频率的误差绝对值在2%以内；当周向波数较小时的固有频率先减小后增加，在高阶时的固有频率逐渐升高，当轴向半波数增加时固有频率依次增大，在简支-简支和固支-固支边界条件下的最低阶固有频率发生在第（1，7）阶，而固支-自由边界条件下的最低阶固有频率发生在（1，6）阶，最低阶模态也是构件在服役过程中最容易发生共振的一阶模态；同时，通过解析法和有限元法得到的三维模态振型吻合，主要表现为周向节点的振动，并且在低阶时以周向花瓣形状的振动模态为主，在高阶时出现轴向模态和周向模态的组合振型.【相关文献】1 吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社，2001（Wu J L. Elastic mechanics M. Beijing：Higher Education Press，2001（in Chinese））2 Rongong J A，Tomlinson G R. Suppression of ring vibration modes of high nodal diameter using constrained layer damping methods. Smart Materials and Structures，1996，5（5）：672～6843 Wang C，Lai J C S. Prediction of natural frequencies of finite length circular cylindrical shells. Applied Acoustics，2000，59（4）：385～4004 El-Kaabazi N，Kennedy D. Calculation of natural frequencies and vibration modes of variable thickness cylindrical shells using the Wittrick-Williams algorithm. Computers & Structures，2012，104-105（4）：4～125 El-Mously M. Fundamental natural frequencies of thin cylindrical shells：a comparative study. Journal of Sound and Vibration，2003，264（5）：1167～11866 李国臣，李永强.薄壁圆柱壳固有频率的计算.机械科学与技术，2010，9（9）：1226～1229（Li G C，Li Y Q. Calculating natural frequencies of thin circular cylindrical shells. Mechanical Science and Technology，2010，9（9）：1226～1229（in Chinese））7 杜长城，李映辉.功能梯度薄壁圆柱壳的自由振动.动力学与控制学报，2010，8（3）：219～223（Du C C，Li Y H. Free vibration of functionally graded cylindrical thin shells. Journal of Dynamics and Control，2010，8（3）：219～223 （in Chinese））8 张爱国，李文达，杜敬涛等.不同边界条件正交各向异性圆柱壳结构固有振动分析.哈尔滨工程大学学报，2014，（4）：420～425（Zhang A G，Li W D，Du J T，et al. Natural vibration analysis of the orthotropic cylindrical shell structure with various boundary conditions.Journal of Harbin Engineering University，2014，（4）：420～425（in Chinese））9 杨毅，魏光涛，阎桂荣.圆柱壳自由振动特性分析方法研究.应用力学学报，2011，28（1）：59～63，110（Yang Y，Wei G T，Yan G R. The research of vibration analysis methods for circular shell. Chinese Journal of Applied Mechanics，2011，28（1）：59～63，110（in Chinese））10 陈正翔，陈维衡.圆柱壳中较高阶结构振动波的传播特性.华中理工大学学报，1997，（11）：93～95（Chen Z X，Zhang W H. Dispersion characteristics of higher orderstructural vibration waves in cylindrical shells. Journal of Huazhong University of Science and Technology，1997，（11）：93～95（in Chinese））11 韩清凯，王宇，李学军.旋转薄壁圆柱壳的高节径振动特性以及篦齿结构的影响.中国科学：物理学、力学、天文学，2013，43（4）：436～458（Han Q K，Wang Y，Li X J. High nodal diameter vibration characteristics of rotating shell and the effects of its sealing teeth. Scientia Sinica Physica，Mechanica & Astronomica，2013，43（4）：436 ～458（in Chinese））12 李晖，孙伟，许卓等.基于激光旋转扫描的约束态薄壁圆柱壳模态振型测试新方法.振动与冲击，2014，33 （16）：155～159（Li H，Sun W，Xu Z，et al. Experimental method of laser rotating scanning to measure mode shapes of constrained thin cylindrical shell. Journal of Vibration and Shock，2014，33（16）：155～159（in Chinese））13 陈丽华，孙玥，张伟.三阶剪切变形板的振动特性研究.动力学与控制学报，2014，12（1）：50～55（Chen L H，Sun Y，Zhang W. Study on vibration characteristic of third order shear deformation theory of plate. Journal of Dynamics and Control，2014，12（1）：50～55（in Chinese））14 Soedel W. Vibrations of shells and plates. CRC Press，200415 洪杰，郭宝亭，朱梓根.高速转动壳体行波振动实验研究.航空动力学，1998，13（4）：390～394（Hong J，Guo B T，Zhu Z G. Experimental investigation on travelling wave vibrationof high-speed rotating shell. Journal of Aerospace Power，1998，13（4）：390～394（in Chinese））Received 04 December 2014，revised 27 December 2014.*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（51105187）and Research Fund for Young Teachers of University of Science and Technology Liaoning （2014QN13）。
旋转机械振动分析案例资料
本例的特点在于，齿轮故障的频率特征很明显， 随着故障的排除，故障特征频率发生了很大的变化， 有的消失，有的减弱。这再一次证明利用频率分析 诊断齿轮故障是很有成效的。本例的另一个特点是 将故障处理前后的振动值及其频率特征作对比分析，
这是故障诊断中应当坚持的基本原则，值得借鉴。
●振动故障识别方法
－主频识别法 实例1 某钢铁厂化铁炉除尘风机，型号D28，电动机功 率800Kw，转速750 rpm ，结构简图如下。
滚动轴承故障的振动诊断及实例
a.外环损坏： b.内环损坏：
f (Hz)fi nfr (1 d cos / D) / 2 f (Hz) nfr (1 d cos / D) / 2
c.滚动体损坏： f (Hz ) fr (D / d ){1 [d (cos ) / D]2}/ 2
d.保持架故障： f (Hfz0 ) { fi [1 d (cos) / D] fo[1 d (cos) / D]} / 2
（26Hz）
V 5.5 3.4 1.0 － 4.5
A 3.7 2.4 1.6 － －
H、V、A分别代表水平、垂直和轴向
测点①水平方向频谱
从频率结构看，测点 ①水平方向的频率结 构非常简单，几乎只 存在风机的转速频率 （26Hz近似于转频）。 对比表中测点①、② 振值，可见测点②的 振值比测点①要小得 多。测点①最靠近风 机叶轮，其振动值最 能反映风机叶轮的振 动状态。据此判断风 机叶轮存在不平衡故 障。
停机检查时发现汽轮机后轴承的一侧有两颗 地脚螺栓没有上紧，原因在于预留热膨胀间隙过 大。后来按要求旋紧螺母，振幅则从85μm下降 至27μm，其余各点的振动值也有所下降，实现 了平稳运行。
这个实例的振动过程完整，它给我们的启示 在于，判断松动故障，频率特征仍是最重要的信 息。此例中因为轴承一侧的螺栓没有上紧，却表 现出水平振动大的现象，这再一次证明，振动的 方向特征是有条件的，只能作为判断时的参考， 应用时必须小心。
功能梯度材料圆柱壳的振动特性研究
ｓｕｄ ｅ ｈ ｏ ｇ ｈｅ ｅ ａ ｌ ｓＴｈ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ｃ ｎ ｇ ｒ ｔｏ ｓ ｏ ｏ ｓｉｕ ｎ ｔ ｒａ ｓｈａ ｅ ｃ ｎ ｉ — ｔ ｉｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｘ ｍｐ ｅ ． ｅ ｒ ｓ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｆ ｕ ａ ｉｎ ｆｃ ｎ ｔｔ ｅ ｔｍａ ｅ ｉ ｌ ｖ ｏ ｓｄ ｉ ｅ ａ ｌ ｆｅ ｔ ｏ ｈ ｅ ｅ ｃ ｈａ ａ ｔ ｒｓｉ ｆＦＧ ｙ ｉ ｄ ｃ ｌ ｈｅｌ ， ｌ ｈｅ ｖ ｌ ｒ ｂ ｅ ｅ ｃ ｎ ｔ ｅ ｆ ｑｕ ｎ ｙ ｃ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｏ ｒ ｃ ｌｎ ｒ ａ ｓ ｌｓｗｈｉｅ ｔ ｏｕｍｅ ｆａ ｔｏ ｓ ｍｉ ｏ ｉ ｃｉ ｎ ｈａ ｎ ｒ ｒ
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