空间向量及其运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
3.1空间向量及其运算
当堂自测
4．已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 1→ 2→ → → 确定的点 P 与 A，B，C 共面，则 由向量OP＝ OA＋ OB＋λOC 5 3 2 λ＝________ ． 15
向量概念的应用
例 1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( D ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 → ，CD → 满足|AB → |>|CD → |，则AB → >CD → C．若向量AB → 与CD → 满足AB → ＋CD → ＝0，则AB → ∥CD → D．若两个非零向量AB
范老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶 2 000 m， 再向西行驶 2 500 m， 最后乘电梯上升 30 m 到 10 楼的住处． 在 这个过程中， 范老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是 三个位移的合成(如图所示)，它们是不在同一平面内的位移．如 何刻画这样的位移呢？
复习与预习
当堂自测
1．在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交 → → → 点．若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列 → 向量中与B 1M相等的向量是 ( A ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b＋c B． a＋ b＋c 2 2 2 2 1 1 1 1 C． a－ b＋c D．－ a－ b＋c 2 2 2 2
[解析] (2)若 2ke1－e2 与 e1＋2(k＋1)e2 共线， 则 2ke1－e2＝λ[e1＋2(k
2k＝λ， 1 ＋1)e2]，∴ ∴k＝－ . 2 －1＝2λ（k＋1），
[小结 ] 可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线， 这 与利 用平 面向量 基本 定理 判断平 面内 三点共 线是 相似 的．结合共线向量的有关知识可知，要证空间中 E， F， B 三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可： → → → → → → → → (1)EB＝mEF；(2)AB＝AE＋λEF；(3)AB＝nAE＋(1－n)AF.
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
空间向量的基本概念与运算
空间向量的基本概念与运算空间向量是三维空间中具有大小和方向的量，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
本文将介绍空间向量的基本概念和运算。
一、空间向量的定义空间向量是由三个有序数组成的有向线段，通常用箭头标记表示。
一个空间向量具有大小和方向两个基本特性。
大小表示向量的长度或模，用绝对值表示，记作|V|。
方向则是从向量的起点指向终点的指向性。
二、空间向量的表示方法空间向量可以使用不同的表示方法，包括坐标表示、分量表示和符号表示。
1. 坐标表示：空间向量的坐标表示方式是将向量的起始点与终止点的坐标数值进行相减。
例如，向量AB可以表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起始点的坐标，(x2, y2, z2)为终止点的坐标。
2. 分量表示：分量表示方式将向量分解为三个轴方向上的分量。
例如，向量V可以表示为V = Vx * i + Vy * j + Vz * k，其中Vx, Vy和Vz分别代表向量V在x、y和z轴上的分量，i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。
3. 符号表示：符号表示方式则利用向量的起点和终点的字母符号进行表示，例如向量AB用→AB表示。
三、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B的加法可以表示为C = A + B，其中C的每个分量等于A和B对应分量之和。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。
例如，向量A和向量B的减法可以表示为C = A - B，其中C的每个分量等于A和B对应分量之差。
3. 数量乘法：数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个常数，得到一个新的向量。
例如，向量A的数量乘法可以表示为B = k * A，其中k为常数，B的每个分量等于A的对应分量乘以k。
3.1 空间向量及其运算
3.1 空间向量及其运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等． 2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a +b =b +a ；②结合律，即(a ()()+=+a +b c a b+c ；③分配律，即()λμλμ+a =a +a 及()λλλ=+a +b a b （其中λμ，均为实数）． 3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量，a b (0)≠，b a b ∥的充要条件是存在实数λ，使λa =b ．（２）共面向量定理：如果空间向量，a b 不共线，则向量c 与向量a,b 共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x y ，，使c =x y a +b ．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使x y z p =a +b+c ．其中{}，，a b c 是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底{}，，a b c 惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是cos <>，a b =a b a b ，数量积有如下性质： ①cos <> ，a e =a a e （e 为单位向量）；②0⇔ a b a b =⊥；③2a a =a ；④ ab a b ≤． 数量积运算满足运算律：①交换律，即 a b =b a ；②与数乘的结合律，即()()λλ a b =a b ；③分配律，即() a +b c =a c +b c ．5．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{}，，i j k 表示；在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}，，i j k ，可建立一个空间直角坐标系O xyz -，作空间直角坐标系O xyz -时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）． 6．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使123a a a a =i +j +k ，则123()a a a ，，叫作向量a 在空间的坐标，记作123()a a a ，，a =．对空间任一点A ，存在惟一的OA x y z =i +j +k ，点Ａ的坐标，记作()A x y z x y z ，，，，，分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．7．空间向量的直角坐标运算律（1）若123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =，则a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()a b a b a b =---，，，123()a a a λλλλ=，，a ，112233()a b a b a b ，，a b =，112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥，1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥．（2）若111222()()A x y z B x y z ，，，，，，则212121()AB x x y y z z =---，，．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量OA =a ，则点A 在空间的位置被a 所惟一确定，a 称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A为起点作向量AP t =a ，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．当堂训练一、选择题(每小题6分，共36分)1.如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD的交点，若AB＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )(A)－12a ＋12b ＋c (B)12a ＋12b ＋c(C)12a －12b ＋c (D)－12a －12b ＋c 2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin〈CM ，1D N〉的值为( )(A)19 (B)49 5 (C)29 5 (D)233.有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四个点，且满足AB ²AC ＝0，AD ²AC ＝0，AD ²AB＝0，则△BCD 的形状是( ) (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)无法确定5.已知ABCD 为四面体，O 为△BCD 内一点(如图)，则AO ＝13(AB ＋AC＋AD)是O 为△BCD 重心的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要条件6.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在1AC 上且AM ＝121MC，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( ) (A)216 (B)66 (C)156 (D)153二、填空题(每小题6分，共18分)7.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝ .8.已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA ＝2x BO ＋3y CO ＋4z DO，则2x ＋3y ＋4z ＝ .9.空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2). (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE⊥b ？(O 为原点)11.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点.(1)求BN的模；(2)求cos 〈1BA ，1CB〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M.【探究创新】(16分)在棱长为1的正四面体OABC 中，若P 是底面ABC 上的一点，求|OP|的最小值. 同步提升一、选择题1．下列命题正确的有( )(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)向量a ，b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，a ∥b ；(5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B.AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →4．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( )A .AD →B .BD →C .AC →D ．05．点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－cB.12(c ＋a )－bC.12(b ＋c )－a D ．a ＋12(b ＋c ) 6．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF → 等于( )A.PO → B ．3PO → C ．6PO →D ．07．设a 表示向东3 m ，b 表示向北4 m ，c 表示向上5 m ，则( )A ．a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mB ．a ＋b －c 表示向东3 m ，向北4 m ，向上5 mC ．2a －b ＋c 表示向东3 m ，向南4 m ，向上5 mD ．2(a ＋b ＋c )表示向东6 m ，向北8 m ，向上5 m8．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0 C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0 D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11B A =a ，11D A =b ，A A 1 =c ，则下列式子中与M B 1相等的是1A.－21a + 21b +cB.21a + 21b +c C. 21a － 21b +cD.－ 21a － 21b +c10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( ) (1)1CC )BC AB (++ (2)C D )D A AA (1111++ (3)111C B )BB AB (++ (4)11111C B )B A AA (++ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．已知点G是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外的一点，则A 1PD PC PB PA +++等于( )A ．4PGB ．3PGC ．2PGD ．PG12．在空间四边形OABC 中， OA →＋AB →－CB →等于( )A ．OA →B ．AB →C ． OC →D ．AC →二、填空题1、在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,5,6)，则点M 关于y 轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为_______.2、已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =3、已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ．4、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.选做：已知在四面体ABCD 中，= a ，= b ，PC = c ，G ∈平面ABC ． 若G 为△ABC 的重心，试证明31=PG (a +b +c )；ABCDGP三、解答题1.已知A(3,2,1)、B(1,0,4),求: (1)线段AB 的中点坐标和长度;(2)到A 、B 两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.2． 已知''''ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简'1223AA BC AB ++，并在图形中标出其结果；(2)设M 是底面A B C D 的中心，N 是侧面''BCC B 的对角线'BC 上的点，且':3:1BN NC =，设'MN AB AD AA αβγ=++，试求,,αβγ之值。
空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)
归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系基础知识归纳一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．基础题必做1．(课本习题改编)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( )A ．a ∥c ，b ∥cB ．a ∥b ，a ⊥cC ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对解析：选C ∵c ＝(－4，－6,2)＝2a ，∴a ∥c .又a ·b ＝0，故a ⊥b .2． 若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析：选C 若c 、a ＋b 、a －b 共面， 则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底．3．(教材习题改编)下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB u u u r ＋BC u u u r ＋CD u u u r ＋DA u u u r＝0；②若MB u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r，则M 、P 、A 、B 共面；③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 可判断①②③正确．4．在四面体O －ABC 中，OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：如图，OE u u u r ＝12OA u u u r ＋12OD u u u r＝12OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2；②1A C u u u u r ·(11A B u u u u r －1A A u u u u r )＝0；③向量1AD u u u u r 与向量1A B u u u u r的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u ur |.其中正确命题的序号是________．解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A u u u u r ＋11A D u u u u r ＋11A B u u u u r )2＝311A B u u u u r2＝3，故①正确；②中11A B u u u u r －1A A u u u u r ＝1AB u u u u r，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD u u u u r 与1A B u u u u r 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB u u u r ·1AA u u u u r ·AD u u u r|＝0.故④也不正确．答案：①②解题方法归纳1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB u u u r为直线l 的方向向量，与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC u u u u r ，AG u u u r .[自主解答] 1AC u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r＝a ＋b ＋c .AG u u u r ＝1AA u u u u r ＋1A G u u u u r＝1AA u u u u r ＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝1AA u u u u r ＋13(AD u u u r －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝131AA uu u u r ＋13AD u u u r ＋13AB u u u r ＝13a ＋13b ＋13c .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG u u u u r.解：如图，MG u u u u r ＝1MA u u u u r ＋1A G u u u u r＝－12(11A B uu u u r ＋11A D u u u u r )＋13(1A D u u u u r ＋1A B u u u u r )＝－12a －12b ＋13(AD u u ur －1AA u u u u r )＋13(AB u u u r －1AA u u u u r )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c解题方法归纳用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG u u u u r ＝2GN u u u r ，若OG u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r ) ＝12OA u uu r ＋23ON u u u r －23OM u u u u r ＝12OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )－23×12OA u u u r ＝16OA u uu r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案：16，13，13共线、共面向量定理的应用典题导入[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．[自主解答] 取ED 'u u u u r ＝a ，EF u u u r ＝b ，EH u u u r ＝c ，则HG u u u r ＝HBu u u r ＋BC u u u r ＋CG u u u r ＝D F 'u u u u r ＋2ED 'u u u u r ＋12AA 'u u u r＝b －a ＋2a ＋12(AH u u u r ＋HE u u u r ＋EA 'u u u r )＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG u u u r 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA u u u r ＝λPB u u u r且同过点P MP u u u r ＝x MA u u u r ＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OA u u u r →＋t AB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝OM u u u u r ＋x MA u u u r＋y MB u u u r对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OA u u u r ＋(1－x ) OB u u u r 对空间任一点O ，OP u u u r ＝x OM u u u u r ＋y OA u u u r＋(1－x －y ) OB u u u r以题试法2.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)连接BG ，则EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u ur＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r)＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ，由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r＝12AD u u ur －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12BD u u u r ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3] 已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，边长为2a ，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE u u u r ＝(a ，3a ，a )，BC u u u r ＝(2a,0，－a )， ∵AF u u u r ＝12(BE u u u r ＋BC u u ur )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF u u u r ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD u u u r ＝(－a ，3a,0)，ED u u u r ＝(0,0，－2a )，∴AF u u u r ·CD u u u r ＝0，AF u u u r ·ED u u u r＝0， ∴AF u u u r ⊥CD u u u r ，AF u u u r ⊥ED u u u r，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED .又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .解题方法归纳利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.以题试法3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)，∴1OD u u u u r＝(－1，－1，2)，又点B (2,2,0)，M (1,1，2)，∴BM u u u u r＝(－1，－1，2)， ∴1OD u u u u r ＝BM u u u u r ，又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD u u u u r ·1OB u u u r ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD u u u u r ·AC u u ur ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD u u u u r ⊥1OB u u u r ，1OD u u u u r ⊥AC u u u r ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则下列向量中与BM u u u u r相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A BM u u u u r ＝1BB u u u u r ＋1B M u u u u r ＝1AA u u u u r ＋12(AD u u u r －AB u u u r)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.32D.22解析：选A 设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA u u u r ·BC u u u r ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA u u u r ，BC u u u r 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB u u u r 、AD u u u r 、1AA u u uu r 两两的夹角均为60°，且|AB u u u r |＝1，|AD u u u r|＝2，|1AA u u u u r |＝3，则|1AC u u u u r |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，则1AC u u u u r＝a ＋b ＋c ，1AC u u u u r2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC u u u u r|＝5.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ u u u u r＝λMN u u u u r的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，y ＋12，1，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM u u u u r ＝2OA u u u r －OB u u u r －OC u u u r ；②OM u u u u r ＝15OA u u u r ＋13OB u u u r ＋12OC u u u r ；③MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u uu r ＝0；④OM u u u u r ＋OA u u u r ＋OB u u u r ＋OC u u u r ＝0.解析：∵MA u u u r ＋MB u u u r ＋MC u u u u r ＝0，∴MA u u u r ＝－MB u u u r －MC u u u u r ，则MA u u u r 、MB u u u r 、MC u u uu r 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案：③8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E u u u u r ＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB u u u r ＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需PB u u u r ―→·1B E u u u u r ＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：19.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB的中点，cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP u u u r ＝(0,0，a )，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP u u u r ，AE u u u r 〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．答案：(1,1,1)10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ；(2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC u u u r ·CD u u u r ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭⎫0，233，0， ∴CD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴AE u u u r ·CD u u u r ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE u u u r ⊥CD u u u r ，即AE ⊥CD .(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1. 又AE u u u r ·PD u u u r ＝34×233＋12×(－1)＝0，∴PD u u u r ⊥AE u u u r ，即PD ⊥AE .∵AB u u u r ＝(1,0,0)，∴PD u u u r ·AB u u u r ＝0.∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .法二：AB u u u r ＝(1,0,0)，AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1，显然PD u u u r ＝33n . ∵PD u u u r ∥n ，∴PD u u u r ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABE ；(2)求证：AC ⊥BE .证明：(1)如图1，设M 为BC 的中点，连接DM 、MF .∵F 为AC 的中点，M 为BC 的中点，∴MF ∥AB .又∵BM 綊DE ，∴四边形BMDE 为平行四边形，∴MD ∥BE .∵MF ∩MD ＝M ，AB ∩BE ＝B ，∴平面DFM ∥平面ABE .又∵PD ⊂平面DFM ，FD ⊄平面ABE ，∴FD ∥平面ABE .(2)在矩形ABCD (如图2)中，连接AC ，交BE 于G .BE u u u r ·AC u u u r ＝(BA u u u r ＋AE u u u r )·(AB u u u r ＋BC u u u r ) ＝－AB u u u r 2＋AE u u u r ·BC u u u r ＝－36＋36＝0. ∴AC ⊥BE .∴在图3中，AG ⊥BE ，CG ⊥BE .又∵AG ∩GC ＝G ，∴BE ⊥平面AGC .又∵AC ⊂平面AGC ，∴AC ⊥BE .12． 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)设点E 在棱PC 上，PE u u u r ＝λPC u u u r ，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：(1)证明：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD u u u r ＝(－1，－3，0)，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵BD u u u r ·PC u u u r ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB u u u r ＝(0，3，0)，DP u u u r ＝(0,0，a )，PA u u u r ＝(1,0，－a )，PC u u u r ＝(－3，3，－a )，∵PE u u u r ＝λPC u u u r ，∴PE u u u r ＝(－3λ，3λ，－aλ)，DE u u u r ＝DP u u u r ＋PE u u u r ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB u u u r ·n ＝0，PA u u u r ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0，x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)， ∵DE ∥平面P AB ，∴DE u u u r ·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14. 1．已知AB u u u r ＝(1,5，－2)，BC u u u r ＝(3,1，z )，若AB u u u r ⊥BC u u u r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB u u u r ⊥BC u u u r ，∴AB u u u r ·BC u u u r ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC u u u r ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP u u u r ＝OA u u u r ＋t AB u u u r ，其中0<t <1，则有( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段BA 的延长线上D ．点P 不一定在直线AB 上解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，所以1FC u u u u r ＝(0,2,1)，DA u u u r ＝(2,0,0)，AE u u u r ＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA u u u r ，n 1⊥AE u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA u u u r ＝2x 1＝0，n 1·AE u u u r ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为1FC u u u u r ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC u u u u r ⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B u u u u r ＝(2,0,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，则n 2⊥1FC u u u u r ，n 2⊥11C B u u u u r ，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC u u u u r ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B u u u u r ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．解析：设BD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，AC u u u r ＝c ，由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，|CD u u u r |2＝|CA u u u r ＋AB u u u r ＋BD u u u r |2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，则|CD u u u r |＝217. 答案：217 cm2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CD CC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b ，1CC u u u u r ＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，BD u u u r ＝CD u u u r －CB u u u r ＝a －b ，1CC u u u u r ·BD u u u r ＝c ·(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴1C C u u u u r ⊥BD u u u r ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，1CA u u u r ＝a ＋b ＋c ，1C D u u u u r ＝a －c .∴1CA u u u r ·1C D u u u u r ＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．∴PB u u u r ＝(2,0，－2)，FE u u u r ＝(0，－1,0)，FG u u u r ＝(1,1，－1)，设PB u u u r ＝s FE u u u r ＋t FG u u u r ，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB u u u r ＝2FE u u u r ＋2FG u u u r ，又∵FE u u u r 与FG u u u r 不共线，∴PB u u u r 、FE u u u r 与FG u u u r 共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
空间向量及其运算(共22张PPT)
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
1 1.1.1 空间向量及其线性运算
知识点二 空
→ OB
＝____O→_A__＋__A_→_B____
＝a＋b
减法
→ CA
＝___O→_A__－__O_→_C____
＝a－b
几何形式
运算律 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： a＋(b＋c)＝(a＋ b)＋c
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名称 数乘
代数形式
当 λ>0 时，λa＝
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段_________ 表示． (3)表示法： ②字母表示法：用字母表示，若向量a的 起 作点 __是 _A→_BA__，__终，点其是模B记，为则_向_|a_量|__a_也__可或以__记|_A→_B_|___．
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(4)几类特殊向量 特殊向量 零向量 单位向量
→ λOA
＝P→Q
；
当 λ<0 时，λa＝
→ λOA
＝M→N
；
当 λ＝0 时，λa＝0
几何形式
运算律
结合律： λ(μa)＝(λμ)a； 分配律： (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a ＋b)＝λa＋λb
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如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→A1 ＝
a，A→B ＝b，A→D ＝c，N，P 分别是 BC，C1D1 的中点，试
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共线(平行)向量
充要 条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0 )，
a∥b的充要条件是存在实数λ，使 __a_＝__λ_b_____
共面向量
如果两个向量a，b不共 线，那么向量p与向量a，
b共面的充要条件是存在 唯一的有序实数对(x，y)， 使__p_＝__x_a_＋__y_b_
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空间向量的计算公式
空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。
假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。
在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。
空间向量及其运算
C1
AB1
A1 D A
B1
B
（） 2 AB BB1 B1C1 ？ AC1
C
（） 3 AB BB1 B1C1 C1 D1 ？ AD1 首尾相连,首尾连. （） 4 AB BB1 B1C1 C1 D1 D1 A ？ 0
推广：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
到同一平面内？为什么？
B
b
M
A
思考：平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面内的两个向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中 有关结论仍适用于它们.
探究二：如何对空间任意两个向量进行加减运
算?
C O· B
b
A
b
a
首尾相连,首尾连.
a b OA AB
加法交换律 a b b a 加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
运 算 律
加法交换律 a b b ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa 加法结合律
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
作业
空间四边形 ABCD中， AB a ， BC ＝b ， AD c ， 试用a, b, c来表示CD， AC, BD.
B B C
b
M
b
M
a
A
a
A
向量加法的三角形法则
B
向量加法的平行四边形法则
b
M
a
A
向量减法的三角形法则
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
空间向量及其运算
空间向量及其运算1．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2.【几类特殊的向量】(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；(ⅰ)当λ＜0时，与a 的方向相反． ②当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a 与b ，有①λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 4．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ． (2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b ． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影如图所示， 过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量b 上的投影a ′.②数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a ′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影a ′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②a ·a ＝|a |2＝a 2；③|a ·b |≤|a ||b |；④(λa )·b ＝λ(a ·b )；⑤a ·b ＝b ·a (交换律)；5．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b．思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？【名师提醒】平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．【新高二数学专题】考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【新高二数学专题】1.（2020•龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b共线，则,a b所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则,a b一定不共面；③若三个向量,a b c，三个向量一定也共面；，两两共面，则,a b c④已知三个向量,a b c=++.，，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点二 空间向量的线性运算【例2】2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD →→→→=+-B ．112223EF AC AB AD →→→→=--+C ．112223EF AC AB AD →→→→=-+D ．112223EF AC AB AD →→→→=-+-【新高二数学专题】1.（多选题）已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，则下列四式中其中正确的有（ ） A ．AB CB AC -= B ．AC AB B C CC ''''=++ C ．AA CC ''=D ．AB BB BC C C AC '''+++=2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++B ．1122a b c --+C ．1122a b c -+D ．1122-++a b c3．（2020·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于（ ）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF 考点三 空间向量的共线、共面问题【例3】如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF 与AD ＋BC 是否共线？【例4】（2020•珠海期末）已知A ，B ，C 三点不共线，点M 满足．，，三个向量是否共面点M 是否在平面ABC 内【新高二数学专题】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______． 2．（2020•日照期末）如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且，．求证：向量，，共面．3.（2020·浙江高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，,,E F G 分别在棱1,,BB BC BA 上，且满足134BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，O 是平面1B GF ，平面ACE 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++= A.45B.65C.75D.85考点四 空间向量的数量积【例5】 （2020·山东高二期末（理））在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则(AE CF ⋅= ) A ．0B ．2-C ．2D ．3-【例6】 （2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.。
空间向量及其运算
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算1．空间向量的有关概念名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b相反向量 方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量． 2．零向量能作为基向量吗？提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示 无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( × ) 题组二 教材改编。
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空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB ;b a OB OA BA ;)(R a OP运算律：⑴加法交换律：a b b a⑵加法结合律：)()(c b a c b a⑶数乘分配律：b a b a)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A 它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP a或)(OA OB t OA OP OB t OA t )1(，中点公式．)(21OB OA OP7．向量与平面平行：已知平面 和向量a r，作OA a u u u r r ，如果直线OA 平行于 或在 内，那么我们说向量a r平行于平面 ，记作：//a r．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb r r raC'B'A'D'D A CA 'pb aOPA B Myk iA(x,y,z)O jxz推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB u u u r u u u r u u u r ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB u u u r u u u u r u u u r u u u r ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z u u u r u u u r u u u r u u u u r③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc r r r r若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC u u u r u u u r u u u r u u u r10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b rr ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b u u u r u u u r r r ，则AOB 叫做向量a r与b r 的夹角，记作,a b r r ；且规定0,a b r r ，显然有,,a b b a r r r r ；若,2a b r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b r r .11．向量的模：设OA a u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r .12．向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b r r r r 叫做,a b rr 的数量积，记作a b r r ，即a b r r ||||cos ,a b a b r rr r ．已知向量AB a u u u r r 和轴l ，e r是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A ，作点B在l 上的射影B ，则A B u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r上的正射影. 可以证明A B u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e u u u u r u u u r r r r r ．13．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e r r r r r．（2）0a b a b r r r r ．（3）2||a a a r r r ． 14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b r r r r r r．（2）a b b a r r r r （交换律）．（3）()a b c a b a c r r r r r r r（分配律）空间向量的直角坐标及其运算 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1位正交基底，用{,,}i j k r r r表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz ，点O 叫原点，向量 ,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D 的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz ，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体：如图所示，正四面体A BCD 的棱长为a ，一般选择A 在BCD 上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD 的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C 的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz ，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则 112233(,,)a b a b a b a b r r， 112233(,,)a b a b a b a b r r ，123(,,)()a a a a R r， 112233a b a b a b a b r r ， 112233//,,()a b a b a b a b R r r，1122330a b a b a b a b r r．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r，则||a r||b r ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b r r r r6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB u u u r，或,A B d空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z u u u r.平面法向量 如果a r ，那么向量a r叫做平面 的法向量.x二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R r r 或312123//aa a ab b b b r r .2.线面平行：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若a n r r 即0a n r r则//a r .3.面面平行：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12//n n u r u u r 即12n n u r u u r则// .三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b r r r r2．线面垂直：直线l 的方向向量为a r ，平面 的法向量为n r ，且l ，若//a n r r 即a n r r 则a r. 3.面面垂直：平面 的法向量为1n u r ，平面 的法向量为2n u u r ，若12n n u r u u r 即120n n u r u u r则 .四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a r 123(,,)b b b b r (0,90] 为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b r r r r r r；cos ,||||a b a b a b r rr r r r ；cos |cos ,|a b r r .2．线面夹角：如图，已知PA 为平面 的一条斜线，n 为平面 的一个法向量，过P 作平面 的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得sin |sin(,)|2OP APu u u r u u u r |cos ,|OP AP u u u r u u u r|cos ,|n AP r u u u r |cos ,|n PA r u u u r ||||||n PA n PA r u u u r r u u u r . 3． 面面夹角：设1n u r 、2n u u r 分别是二面角两个半平面 、 的法向量，当法向量1n u r 、2n u u r 同时指向二面角内或二面角外时，二面角 的大小为12,n n；当法向量1n u r 、2n u u r 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角 的大小为12,n n u r u u r.五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d ||AB u u u r 2．点面距离：A 为平面 任一点，已知PA 为平面 的一条斜线，n r为平面 的一个法向量，过P 作平面 的垂线PO ，连结OA 则PAO 为斜线PA 和平面 所成的角，记为 易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n u u u r u u u r u u u r u u u r r ||||||||PA n PA PA n u u u r r u u u r u u u r r ||||PA n n u u u r rr . 3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n r , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n r上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n r uuu r r uuu r r r .4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。
空间向量及其运算
空间向量及其运算
空间向量是指在三维空间中的一个有方向的矢量，由一个点和一个方向确定，可以用一个箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
空间向量的运算包括：
1.
加法：两个空间向量可以相加，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
2.
减法：两个空间向量可以相减，结果是一个新的空间向量，其大小和方向是由两个空间向量的大小和方向决定的。
3.
乘法：空间向量可以与一个标量相乘，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小乘以标量，方向不变。
4.
除法：空间向量可以与一个标量相除，结果是一个新的空间向量，其大小是原空间向量的大小除以标量，方向不变。
空间向量及其运算
①如何把已知条件转化为向量表示， 待解决问题需要用到哪些向量？ 可用什么向量知识解决？
②考虑一些未知的向量能否用基向 量表示．
③如何对已经表示出来的向量进行 运算，才能获得需要的结论.
例4、如图所示，已知线段AB在平面α内，线 段AC⊥α，线段BD⊥AB,且与α所成角是30°. 如果AB=a,AC=BD=b,求C.D间的距离.
线 OB, AC ， M , N 分 别 是 对 边 OA, BC 的 中 点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，用 基底向量 OA,OB,OC 表示向量 OG
新疆 王新敞
奎屯
3.1.3 两个向量的数量积
一、复习引入: 叙述空间向量基本定理.
设O,A,B,C是不共面的四点, 则对空间任一点 P, 都存在唯一的三个有序实数x,y,z, 使
2
2
三、课堂练习: 1.如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是 AD与BC的中点，求证： EF 1 (AB DC)
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思考: 如图设A是△BCD所在平面外的一点， G是△BCD的重心. 则用: AB, AC, AD表示AG.
3.1.2空间向量及其运算
一、预习内容： ⑴怎样的向量叫做共线向量？ ⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？ ⑹向量p与不共线向量a、b共面的 充要条件 是什么？ ⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什 么？
练习:
1、已知平行六面体 ABCD ABCD中，
AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 ， BAA DAA 60 ，求 AC的长
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解：(1)证明 设A→B＝p，A→C＝q，A→D＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且 p，q，r 三个向量两两夹角均为 60°. M→N＝A→N－A→M＝12(A→C＋A→D)－12A→B ＝12(q＋r－p)，
∴M→N·A→B＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2) ＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0. ∴M→N⊥A→B，即 MN⊥AB. 同理可证 MN⊥CD.
D．12a－12b＋c
解析：B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B) ＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c. 答案：A
3．正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为________． 解析：|E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2， ∴|E→F|＝ 2，∴EF 的长为 2.
空间向量及其运算
1．空间向量的有关概念 名称
零向量 单位向量 相等向量
概念 模为 0 的向量 长度(模)为 1 的向量 方向 相同 且模 相等 的向量
相反向量
方向 相反 且模 相等 的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相 共线向量 平行或重合 的向量
共面向量
平行于同一个 平面 的向量
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝ xa＋yb ，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y， z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
答案：B
5．已知 a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且 a⊥b，则|b|＝________. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，∴|b|＝ －42＋22＋22＝2 6. 答案：2 6
6．O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝34O→A＋18O→B＋tO→C，若 P， A，B，C 四点共面，则实数 t＝________. 解析：∵P，A，B，C 四点共面， ∴34＋18＋t＝1，∴t＝18. 答案：18
跟踪训练 1 (1)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．用A→B， A→D，A→A1表示O→C1，则O→C1＝________.
解析：∵O→C＝12A→C ＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1 ＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案：12A→B＋12A→D＋A→A1
∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cosθ＝ 23a× 23a×cosθ＝a22. ∴cosθ＝23. ∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关 系，通过向量共线确定点在线段上的位置． (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a|＝ a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝ λ(a·b) ； ②交换律：a·b＝ b·a ； ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
4．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示
数量积
a·b
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
答案：B
题型二 共线定理、共面定理的应用 例 2 (1)若 A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 m＋n＝________. 解析：∵A→B＝(3，－1,1)，A→C＝(m＋1，n－2，－2)， 且 A，B，C 三点共线，∴存在实数 λ，使得A→C＝λA→B.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
(1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对于非零向量 b，由 a·b＝b·c，则 a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ )
则实数 λ 等于________． 解析：由题意，可设 a＝xb＋yc， 故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，
即－ 4x＋x＋57y＝y＝－2， 1， －2x＋λy＝3，
解得 λ＝675.
答案：675
题型三 空间向量数量积的应用 例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．
(2)设向量A→N与M→C的夹角为 θ. ∵A→N＝12(A→C＋A→D)＝12(q＋r)， M→C＝A→C－A→M＝q－12p， ∴A→N·M→C＝12(q＋r)·q－12p
＝12q2－12p·q＋r·q－12r·p ＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60° ＝12a2－a42＋a22－a42＝a42. 又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a，
答案： 2
题组三 易错排查
4．在空间直角坐标系中，已知 A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则
直线 AB 与 CD 的位置关系是( )
A．垂直
B．平行
C．异面
D．相交但不垂直
解析：由题意得，A→B＝(－3，－3,3)，C→D＝(1,1，－1)， ∴A→B＝－3C→D，∴A→B与C→D共线，又 AB 与 CD 没有公共点，∴AB∥CD.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做
向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π 则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a⊥b.
，若〈a，b〉＝π2，
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉 ．
∴mn－＋21＝＝－3λλ，， －2＝λ，
解得 λ＝－2，m＝－7，n＝4.
∴m＋n＝－3.
答案：－3
(2)空间四点 A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为( )
A．共线
B．共面
C．不共面
D．无法确定
解析：A→B＝(2,0，－4)，A→C＝(－2，－3，－5)，A→D＝(0，－3，－4)，由不存在 实数 λ，使A→B＝λA→C成立知，A，B，C 不共线，故 A，B，C，D 不共线；假设 A，
B．－13，12
C．－3,2
D．2,2
解析：∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)， 即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴62＝ μ－k1λ＝＋01，， 2λ＝2k，
λ＝2， 解得μ＝12
λ＝－3， 或μ＝12，
故选 A.
答案：A
(2)已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a，b，c 三向量共面，
[熟记常用结论] 1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： (1)P→A＝λP→B(λ∈R)； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
题型一 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设A→A1 ＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
解：(1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b. (2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.
(2)如图，在三棱锥 O—ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设O→A＝a，O→B＝
b，O→C＝c，用 a，b，c 表示N→M，则N→M等于( ) A.12(－a＋b＋c) B.12(a＋b－c) C.12(a－b＋c) D.12(－a－b＋c)
解析：N→M＝N→A＋A→M＝(O→A－O→N)＋12A→B ＝O→A－12O→C＋12(O→B－O→A) ＝12O→A＋12O→B－12O→C＝12(a＋b－c)．
(6)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．( × )
题组二 教材改编
2．如图所示，在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若
A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3