信号与系统第四章

上一页 返回
4.3
4.3.1
若
单边拉普拉斯变换的性质
线性
f1 (t ) F1 ( S ), Re[ s ] > σ 1
f 2 (t ) F2 ( S ), Re[ s ] > σ 2
则
a1 f 1 (t ) + a2 f 2 (t ) a1 F1 ( S ) + a2 F2 ( S ), Re[ s ] > max(σ 1 , σ 2 )
σ
为实轴， 为实轴， jω
为虚轴如图 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合， 平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 Convergence），拉氏变换的ROC ），拉氏变换的ROC是非常重要的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。 概念。
+∞
∫
∞
存在。 f (t ) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件： 一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
下一页 返回
4.2
阶跃信号 f (t ) = ε (t ) 增长信号 周期信号
拉普拉斯变换
(a>0)
f (t ) = eat
f (t ) = sin ωt
上一页 下一页 返回
4.2拉普拉斯变换来自即满足狄里赫利条件，则该信号的傅里叶变换存在。 即满足狄里赫利条件，则该信号的傅里叶变换存在。 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 用 F (σ + jω ) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有 F (σ + jω ) = +∞ f (t )e (σ + jω )t dt ∫∞ 根据傅里叶逆变换的定义， 根据傅里叶逆变换的定义，则
L[δ (t )] = 1
=
1 +∞ ( s jω )t ( s + jω )t e dt e 2 j ∫0
上一页 下一页 返回
4.2
=
拉普拉斯变换
s s2 + ω 2
Re[ s ] > 0
1 1 1 ω = 2 (Re[ s ] > 0) 2 j s jω s + jω s + ω 2
(a是实常数 是实常数) 3． 指数函数 f (t )=e at ε (t ) (a是实常数)的拉氏变换
L[e at ε (t )] = ∫ e at e st dt = ∫ e( a s ) t dt = [
1 (Re[ s ] > a ) sa 4． 单位冲激函数 δ (t ) 的拉氏变换
即
4.2
4.2.4
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
+∞
1．单位阶跃函数 ε (t ) 的拉普拉斯变换
L[ε (t )] = ∫
0
e st +∞ 1 1× e dt = [ ]0 = s s
st
1 s 2．函数 f (t ) = tε (t ) 的拉普拉斯变换
即
L[ε (t )] =
L[tε (t )] = ∫
4.3.2
若 则
时移性质
f (t )ε (t ) F ( s ) , Re[ s ] > σ 0
f (t t0 )ε (t t0 ) e st0 F ( s ) , Re[ s ] > σ 0
下一页 返回
4.3
4.3.3
若 则
单边拉普拉斯变换的性质
复频移性质
f (t ) F ( s ), Re[ s ] > σ 0
返回
4.2
4.2.1
拉普拉斯变换
从傅立叶变换到拉氏变换
拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、 拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术与 科学领域中有着广泛的应用。由于它的原函数f(t)要求的条件比傅 科学领域中有着广泛的应用。由于它的原函数f(t)要求的条件比傅 f(t) 里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用 里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上， 面要广。 面要广。 有定义， 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 ( ∞, +∞ ) 有定义， 在任一有限区间上满足狄利赫利条件， 在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求
F1 (η ) F2 (s η )dη , Re[s] > σ1 + σ 2 , σ1 < c < Re[s] σ 2
上一页 下一页 返回
4.3
4.3.7
若 则
f
单边拉普拉斯变换的性质
时域微. 时域微.积分性质
n 1
f (t ) F ( s ), Re[ s ] > σ 0
(n)
(t ) s F ( s ) ∑ s n 1 m f ( m ) (0 ) , Re[ s ] > σ 0
f (t )e σ t = 1 2π
∫
+∞
∞
F (σ + jω )e jωt d ω
上式两边乘以 eσ t ，得
f (t ) = 1 2π
∫
+∞
∞
F (σ + jω )e jωt d ω eσ t
令 s = σ + jω , 则 d ( jω ) = ds ，代入上式得到
F ( s) = ∫
+∞ ∞
即 同理
L[sin ωt ] =
L[cos ωt ] =
s , (Re[ s ] > 0) 2 2 s +ω
从上述可以看出拉普拉斯变换的收敛域的边界位置是由拉普拉 斯变换的极点决定的，拉普拉斯变换的收敛域有以下的特征,归纳如 斯变换的极点决定的，拉普拉斯变换的收敛域有以下的特征, 下: 1）信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域由平行于 jω 的带 信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)的收敛域由平行于 f(t)的拉普拉斯变换F(s) 状区域构成。 状区域构成。收敛域是使 f (t )eσ t
∫
+∞
∞
f (t ) e σ t dt < +∞
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存 f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存 的双边拉普拉斯变换一定存在 在取决于能否选取适当的 决定， 决定，与S的虚部 σ 轴的直线。 jω 轴的直线。
上一页 下一页 返回
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 对这几种傅立叶变换不存在的信号， （ σ 为实数），构建新的信号： 为实数），构建新的信号： ），构建新的信号
ε (t )e σ t
e-σ t
e at e σ t
(σ > a )
e σ t sin ωt
对于新构建的信号 f (t ) e-σ t（ 的 绝对可积， σ 使 f (t )e-σ t 绝对可积， 为实数）， ），如果能选择适当 σ 为实数），如果能选择适当
σ
所以， 。进一步说，由于σ = Re[ s ] ，所以， 进一步说， 无关， 无关 所以，F(s)的收敛域的边界是 jω ，所以，F(s)的收敛域的边界是
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S 由于F(s)的收敛域由S F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实 是否存在取决于能否选取适当的 F(s)的收敛域由 部 平行
4.3.6
复频域卷积分性质
为因果信号，并且： 若 f1 (t ) ， f 2 (t ) 为因果信号，并且：
f1 (t ) F1 ( s ), Re[ s ] > σ 1
f 2 (t ) F2 ( s), Re[ s ] > σ 2
则 f1 (t ) f2 (t ) 1
2π j ∫c j∞
c + j∞
4.3.5
卷积性质
为因果信号，并且： 若 f1 (t ) ， f 2 (t ) 为因果信号，并且：
上一页 下一页 返回
4.3
单边拉普拉斯变换的性质
f1 (t ) F1 ( s ), Re[ s ] > σ 1
f 2 (t ) F2 ( s), Re[ s] > σ 2
则
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s ), Re[ s ] > max(σ 1 , σ 2 )
j 有关， ROC的边界总是平行于 有关，故ROC的边界总是平行于ω
绝对可积的那些S构成的， 绝对可积的那些S构成的，只与 σ 的直线。 的直线。
上一页 下一页 返回
4.2
拉普拉斯变换
2）拉氏变换的收敛域内无极点。 拉氏变换的收敛域内无极点。 3）时限信号的收敛域是整个S平面。 时限信号的收敛域是整个S平面。 4）右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。 右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。 5）左边信号的收敛域是最左边极点的左边。 左边信号的收敛域是最左边极点的左边。 6）双边信号的拉氏变换如果存在，则它的收敛域是一个带形 双边信号的拉氏变换如果存在， 区域。 区域。
f (t )e dt
st
f (t ) =
2π j ∫σ
1
σ + j∞
j∞
F ( s )e st ds
上一页 下一页 返回
4.2
4.2.2
拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式， 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域， 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立 一一对应的关系。 一一对应的关系。在以