高考专题突破四 高考中的立体几何问题

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(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值； 解答
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9.(2017·铁 岭 调 研 ) 如 图 所 示 ， 平 面 ABDE⊥ 平 面 ABC ， △ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是 直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝ 1 AE＝2，O，M分
2 别为CE，AB的中点. (1)求证：OD∥平面ABC； 证明
(2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2，求五棱锥 D′-ABCFE 的体积.
解答
思维升华
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利 用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割 或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直 观图，然后根据条件求解.
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(2)求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值. 解答
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7.(2016·山 东 牟 平 一 中 期 末 ) 如 图 ， 在 四 棱 柱 ABCD －
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A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分 别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G. (1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D； 证明
∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1. 又AC⊥B1D，BB1∩B1D＝B1， ∴AC⊥平面BB1D. ∵AC⊂平面ACD1， ∴平面ACD1⊥平面BB1D.
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(2)证明：GH∥平面ACD1. 证明
设AC∩BD＝O，连接OD1. ∵E，F分别为AD，CD的中点，EF∩OD＝G， ∴G为OD的中点. ∵H为DD1的中点，∴HG∥OD1. ∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1， ∴GH∥平面ACD1.
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5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的 中点，点F是棱CD上的动点，当 CF ＝___1___时，
FD D1E⊥平面AB1F. 答案 解析
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6.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点， D是B1C1的中点. (1)证明：A1D⊥平面A1BC； 证明
4.(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列 三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ， 且 ________ ， 则 a∥b” 为 真 命 题 ， 则 可 以 在 横 线 处 填 入 的 条 件 是 __①_或__③___.(把所有正确的序号填上) 答案 解析
题型分类 深度剖析
题型一 求空间几何体的表面积与体积
例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与 BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF 交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)证明：AC⊥HD′； 证明
由已知得AC⊥BD，AD＝CD， 又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF， 故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′， 所以AC⊥HD′.
(2)BC⊥SA. 证明
由 平 面 SAB⊥ 平 面 SBC ， 平 面 SAB∩ 平 面 SBC ＝ SB ， AF⊂ 平 面 SAB ， AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC. 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.
题型三 平面图形的翻折问题
(2)求三棱锥M－CDE的体积. 解答
题型四 立体几何中的存在性问题 例4 (2016·邯郸第一中学研究性考试)在直棱柱ABC－ A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1，BC 的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点. (1)证明：DF⊥AE. 证明
(2)是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余 弦值为 14 ？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由.
思维升华
平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度 量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变 化，不在同一个平面上的性质发生变化.
跟踪训练3 (2017·深圳月考)如图(1)，四边形 ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝ PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E， F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在 线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF； 证明 几何画板展示
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
解答
题型二 空间点、线、面的位置关系
例2 (2016·济南模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， 侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E， F分别是A1C1，BC的中点. (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； 证明
(2)求证：C1F∥平面ABE； 证明
高考专题突破四
高考中的立体几何问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面
A1B1BA的位置关系为 答案 解析
A.相交
B.平行
C.垂直相交
D.不确定
如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE， 则EF∥A1B1，DF∥B1B， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA.
跟踪训练1 正三棱锥的高为1，底面边长为2 6 ，内有 一个球与它的四个面都相切(如图).求： (1)这个正三棱锥的表面积； 解答
底面正三角形中心到一边的距离为13× 23×2 6＝ 2， 则正棱锥侧面的斜高为 12＋ 22＝ 3. ∴S 侧＝3×12×2 6× 3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝9 2＋12× 23×(2 6)2 ＝9 2＋6 3.
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3.(2016·华中师大附中质检)已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等， 且AB＝AC＝ 3 ，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为___9_0_°___.
答案 解析
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4. 如 图 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC ＝ 90° ， AD∶BC∶AB ＝ 2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行 翻折，给出四个结论： ①DF⊥BC； ②BD⊥FC； ③平面DBF⊥平面BFC； ④平面DCF⊥平面BFC. 在翻折过程中，可能成立的结论是__②__③__.(填写结论序号) 答案 解析
例3 (2015·陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π ， 2
AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE
折起到△A1BE的位置，如图2. (1)证明：CD⊥平面A1OC； 证明
几何画板展示
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余 弦值. 解答
跟踪训练2 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平 面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F， 点E，G分别是棱SA，SC的中点. 求证：(1)平面EFG∥平面ABC； 证明
由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点， 则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B， 因此平面EFG∥平面ABC.
由线面平行的性质定理可知，①正确； 当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确. 故应填入的条件为①或③.
5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC， AC，AB的中点.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则 直线PA与平面DEF的位置关系是__平__行____；平面BDE 与平面ABC的位置关系是__垂__直____.(填“平行”或“垂 直”) 答案 解析
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解答
思维升华
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件 下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的 条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设. (2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间 点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存 在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
3.(2016·成都模拟)如图是一个几何体的三视图(侧视图中
的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 答案 解析
A.20＋3π
B.24＋3π
C.20＋4π
D.24＋4π
根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的
组合体，其中正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2， 故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2× 12π＝20＋3π.
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8.(2016·四川广安第二次诊断)如图，在四棱锥P － ABCD 中 ， PA⊥ 底 面 直 角 梯 形 ABCD ， ∠DAB 为直角，AD＝CD＝2，AB＝1，E，F分别为PC， CD的中点. (1)求证：CD⊥平面BEF； 证明
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(2)设PA＝k，且二面角E－BD－C的平面角大于30°，求k的取值 范围. 解答
(3)求三棱锥E－ABC的体积. 解答
因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 所以三棱锥E－ABC的体积 V＝13S△ABC·AA1＝13×12× 3×1×2＝ 33.
思维升华
(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再 将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE： (ⅰ) 利 用 判 定 定 理 ， 关 键 是 在 平 面 ABE 中 找 ( 作 ) 出 直 线 EG ， 且 满 足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个 平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化. (2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不 能直接用公式时，注意进行体积的转化.
2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平
面；④x、y、z均为平面.
其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是 答案 解析
A.③④
B.①③
C.②③
D.①②
由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为 真命题.
跟踪训练4 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱 A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1， AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点. (1)证明：B1C1⊥CE； 证明
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值； 解答
(3) 设 点 M 在 线 段 C1E 上 ， 且 直 线 AM 与 平 面 ADD1A1 所 成 角 的 正 弦 值 为 2 ，求线段AM的长. 解答
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课时作业
1.(2016·北京顺义区一模)如图所示，已知平面α∩平面β
＝l，α⊥β.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两
点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平
面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P－
ABCD体积的最大值是 答案 解析
A.48
B.16
√C.24 3
D.144
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2.(2016·江西赣中南五校第一次联考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，
γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 答案 解析
A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
√C.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D.若m∥n，m∥α，则n∥α
对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或相交； 对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或相交； 对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α.故选C.