效用函数
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根据上述讨论和记号，可以初步给出效用函数的定义如 下。
定义3.1 在集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系≥一致，即：
若 P1, P2属于 P ，P1≥ P2当且仅当u(P1)≥u(P2) ，则 称u为效用函数。
•把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上，是
为了使效用函数能够反映决策人对风险的态度。
假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他相 当讨厌的工作。
1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；
2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就 很可能不干了。
问题一：1）、2）中后果的数值分别是多少？ 问题二：1）、2）中后果的实际价值哪个大？
(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a
is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
一、效用的基本概念与符号
(2) 无差异“～” a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b”
(a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。 1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定
行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高的行动。
一、效用的基本概念与符号
Allais悖论:a1和a2的优先关系与 b1和b2优先关系相对应(替代性)
P(a1)=500*1 + 2500*0 + 0*0 =500 P(a1)=500*0.11 + 2500*0 + 0*0+500*0.89 =500 P(b1)=500*0.11 +2500*0 + 0*0.89=55
P(a2)=500*0.89 + 2500*0.1 + 0*0.01 =695 P(a2)=500*0 + 2500*0.1 + 0*0.01+ 500*0.89 =695 P(b2)=500*0 +2500*0.1 + 0*0.01+0*0.89=250
3.2.2 效用存在性公理
式(3.3)推导:
P1
P2
αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2
αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3
公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例
被相等的量
替代后，优先关系不变.
例3.3 横过马路问题:效用有界 性证明
例3.5 Allais悖论:对预期效用 的独立性公理的挑战
首先作该问题的决策树如图所示。由题意可知决策人对四种后果优劣的排序是 ：c2 c3 c4 c1。
步骤:
第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。
第二步: 询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球
场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是
0.3，则c30.7 c2+0.3c1，u(c3)＝0.7u(c2) ＝0.7。
Allais悖论:
P(a1)=500*1 + 2500*0 + 0*0 =500 P(a2)=500*0.89 + 2500*0.1 + 0*0.01 =695
P(b1)=500*0.11 + 2500*0 + 0*0.89=55 P(b2)=500*0 + 2500*0.1 + 0*0.9=250
(1)后果的损失严重程度; (2)出现损失的可能性的大小.
一般的，可以用以下几种指标来度量风 险。
(1)方差
(2)自方差
(3)临界概率
(4)Fishburn的风险定义
3.4.2 效用函数包含的内容
1.对风险的态度 2.对后果的偏好强度 3.可测价值函数
1.对风险的态度
如图所示为几种典型的效 用函数曲线。曲线A是下凹的 ，曲线N是线性的，曲线P是凸 函数。这三种形状的曲线分别 反映了决策人的三种风险态度 ：风险厌恶(risk aversion)、风 险中立 (risk neutralness)和风 险追求 (risk proneness)。
例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：① 收入礼品1000元，或是②参与一次抽奖：有50% 的机会得0元，50%的机会得2500元。
有人选确定性的1000元的 收入。抽奖的期望值虽大，风 险也大，实际价值还不如保险 的1000元。而有人认为礼品不 如抽奖，因为抽奖提供了获得 2500元的机会。
3.2.3 效用的公理化定义和效用 的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别：
1.基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布), 是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可 以是整正数. 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5,2500; 0.5,0>
(4) 展望(prospect)
展望既考虑各种后果Ci，又考虑了 各种后果出现的概率(客观概率pi或主 观概率πi)， 全面地描述了在决策问题 中采取某种行动的可能前景。
复合展望
一、效用的基本概念与符号
⑴ 概率当量法
2．离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集C 中元素为有限个，构造后果集上的 效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。
离散型后果效用值的设定可以采用 概率当量法，简称NM法。
NM法步骤如下：
例3.6
例3.6 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。
3.1 引言
由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存 在如何描述或表达后果对决策人的实际价值， 以便反映决策的人心目中各种后果的偏好次序 （preference order）的问题。
偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它 与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素 养、心理和生理（身体）状态有关。
原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下 唯一), 原序数列可变换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1 等.
3.2.4 基数效用与序数效用
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 --总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一 定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量 的总和 ; -- 边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费 者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效 用量的增量.
序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法 希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的 顺序，并非效用的绝对数值。现在比较通用的是序 数效用。
无差异曲线（Indifference curve）
含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品组合的点的轨迹 。即无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组 合对消费者所提供的效用是相同的。
一、效用的基本概念与符号
(3) 弱序“≥” 记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a优
于或者无差异于b。
一、效用的基本概念与符号
(4) 展望(prospect) 展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果出 现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行 动a1和a2时的展望分别是:
(5) 抽奖与确定当量
由机会点和该机会点发出的 n 个机会枝的概率及相应
后果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。
若C1 ~ (p, C2; (1-P),C3), 则称 确定性后果C1为抽奖(p, C2; (1-P),C3)的确定当量（certainty equivalent）。
二、效用的定义
效用函数
2020年5月24日星期日
3.1 引言
在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
(1) 后果本身是用语言表述，可能没有任 何合适的直接测量标度。
(2) 即使有一个明确的标度可以测量后果 ，按这个标度测得的量也可能并不反映 后果对决策人的真正价值。
3.1 引言
例3.1 考虑钱对同一个人的价值。
3.2 效用的定义和公理系统
3.2.1 效用的定义 3.2.2 效用存在性公理 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用
3.2.1 效用的定义
效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时 所感受到的满足程度.
在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。
3.2.2 效用存在性公理
定义3.1给出了效用函数的最基本性质，这就 是可以根据它的大小来判断展望P的优劣。
但是这样的效用函数是否一定存在呢?回答是 不一定。
至于决策人的价值判断在满足什么条件时存在 与之一致的效用函数，von NeumannMorgenstern (1944)给出了效用的存在性公理 ，又称理性行为公理。
特征: (1) 无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线，其斜 率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为了获得同样的 满足程度，增加一种商品消费时就必须放弃或减少另一种商品的 消费。 (2) 两种商品在消费者偏好不变的条件下，不能同时减少或增多。 在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差异曲线代表同 样的满足程度，不同的无差异曲线代表不同的满足程度，离原点 越远，满足程度越大，反之则越小。 (3) 在同一平面图上，任意两条无差异曲线不能相交，否则与第二 点矛盾。
4．用解析函数近似效用曲线
为了分析和运算方便，分析人员通常希 望能够用某种解析函数式u(x)来近似地表 达效用。
常用的函数有幂函数和对数函数.
3.4 风险与效用
3.4.1 风险的含义 3.4.2 效用函数包含的内容 3.4.3 相对风险态度
3.4.1 风险的含义
风险包含有两个方面的内容:
3.3 效用函数的构造
1．估计效用函数值的方法 2．离散型后果的效用设定 3．连续型后果的效用函数构造 4．用解析函数近似效用曲线
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别 ；但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最 优后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率 当量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损 失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只 要有可能，应该尽可能使用概率当量法。
3．连续型后果的效用函数构造
当后果c为连续变量时，上述方法就不再 适用。
但是如果能通过分析找到u(c)的若干特征 值，求特征点的效用后，再连成光滑曲 线；
或者u(c)是连续、光滑的,则可以分段构 造u(c)。
每天学习时间与效用
•随着学习时间的增加，效用值也会有所增加 •但是由于进入状态需要一定的时间，所以在t较小时，效用的增加较慢； •过了一小段时间后，效用与所化时间基本上是线性关系； •随着学习时间的不断增加，人会疲劳，效率会下降； •时间太长，这时的效果不如时间适度，即存在效用值最大的点tm； •再增加学习时间又会从效用最大值处下降。其中与效用最大值对应的tm是因人 而异。 •由于效用函数的惟一性(即在正线性变换下惟一，见效用的公理化定义)，效用的 值域可以是整个实轴，而不必限于[0,1]区间。
第三步:询问决策人，无雨看电视这种后果与去球场看
Байду номын сангаас
球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是0.6，
则c40.4c2+0.6c1，得u (c4)＝0.4c2＝0.4。
第四步:
进行一致性校验。c30.4c2+0.6c4，则
u’(c3)=0.64≠0.7。重复二、三，若u(c3)不变，则调整
u(c4)=0.5，决策人仍认为c30.4c2+0.6c4，则通过校验。
定义3.1 在集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系≥一致，即：
若 P1, P2属于 P ，P1≥ P2当且仅当u(P1)≥u(P2) ，则 称u为效用函数。
•把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上，是
为了使效用函数能够反映决策人对风险的态度。
假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他相 当讨厌的工作。
1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；
2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就 很可能不干了。
问题一：1）、2）中后果的数值分别是多少？ 问题二：1）、2）中后果的实际价值哪个大？
(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a
is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
一、效用的基本概念与符号
(2) 无差异“～” a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b”
(a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。 1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定
行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高的行动。
一、效用的基本概念与符号
Allais悖论:a1和a2的优先关系与 b1和b2优先关系相对应(替代性)
P(a1)=500*1 + 2500*0 + 0*0 =500 P(a1)=500*0.11 + 2500*0 + 0*0+500*0.89 =500 P(b1)=500*0.11 +2500*0 + 0*0.89=55
P(a2)=500*0.89 + 2500*0.1 + 0*0.01 =695 P(a2)=500*0 + 2500*0.1 + 0*0.01+ 500*0.89 =695 P(b2)=500*0 +2500*0.1 + 0*0.01+0*0.89=250
3.2.2 效用存在性公理
式(3.3)推导:
P1
P2
αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2
αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3
公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例
被相等的量
替代后，优先关系不变.
例3.3 横过马路问题:效用有界 性证明
例3.5 Allais悖论:对预期效用 的独立性公理的挑战
首先作该问题的决策树如图所示。由题意可知决策人对四种后果优劣的排序是 ：c2 c3 c4 c1。
步骤:
第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。
第二步: 询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球
场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是
0.3，则c30.7 c2+0.3c1，u(c3)＝0.7u(c2) ＝0.7。
Allais悖论:
P(a1)=500*1 + 2500*0 + 0*0 =500 P(a2)=500*0.89 + 2500*0.1 + 0*0.01 =695
P(b1)=500*0.11 + 2500*0 + 0*0.89=55 P(b2)=500*0 + 2500*0.1 + 0*0.9=250
(1)后果的损失严重程度; (2)出现损失的可能性的大小.
一般的，可以用以下几种指标来度量风 险。
(1)方差
(2)自方差
(3)临界概率
(4)Fishburn的风险定义
3.4.2 效用函数包含的内容
1.对风险的态度 2.对后果的偏好强度 3.可测价值函数
1.对风险的态度
如图所示为几种典型的效 用函数曲线。曲线A是下凹的 ，曲线N是线性的，曲线P是凸 函数。这三种形状的曲线分别 反映了决策人的三种风险态度 ：风险厌恶(risk aversion)、风 险中立 (risk neutralness)和风 险追求 (risk proneness)。
例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：① 收入礼品1000元，或是②参与一次抽奖：有50% 的机会得0元，50%的机会得2500元。
有人选确定性的1000元的 收入。抽奖的期望值虽大，风 险也大，实际价值还不如保险 的1000元。而有人认为礼品不 如抽奖，因为抽奖提供了获得 2500元的机会。
3.2.3 效用的公理化定义和效用 的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别：
1.基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布), 是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可 以是整正数. 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5,2500; 0.5,0>
(4) 展望(prospect)
展望既考虑各种后果Ci，又考虑了 各种后果出现的概率(客观概率pi或主 观概率πi)， 全面地描述了在决策问题 中采取某种行动的可能前景。
复合展望
一、效用的基本概念与符号
⑴ 概率当量法
2．离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集C 中元素为有限个，构造后果集上的 效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。
离散型后果效用值的设定可以采用 概率当量法，简称NM法。
NM法步骤如下：
例3.6
例3.6 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。
3.1 引言
由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存 在如何描述或表达后果对决策人的实际价值， 以便反映决策的人心目中各种后果的偏好次序 （preference order）的问题。
偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它 与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素 养、心理和生理（身体）状态有关。
原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下 唯一), 原序数列可变换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1 等.
3.2.4 基数效用与序数效用
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 --总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一 定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量 的总和 ; -- 边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费 者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效 用量的增量.
序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法 希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的 顺序，并非效用的绝对数值。现在比较通用的是序 数效用。
无差异曲线（Indifference curve）
含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品组合的点的轨迹 。即无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组 合对消费者所提供的效用是相同的。
一、效用的基本概念与符号
(3) 弱序“≥” 记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a优
于或者无差异于b。
一、效用的基本概念与符号
(4) 展望(prospect) 展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果出 现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行 动a1和a2时的展望分别是:
(5) 抽奖与确定当量
由机会点和该机会点发出的 n 个机会枝的概率及相应
后果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。
若C1 ~ (p, C2; (1-P),C3), 则称 确定性后果C1为抽奖(p, C2; (1-P),C3)的确定当量（certainty equivalent）。
二、效用的定义
效用函数
2020年5月24日星期日
3.1 引言
在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
(1) 后果本身是用语言表述，可能没有任 何合适的直接测量标度。
(2) 即使有一个明确的标度可以测量后果 ，按这个标度测得的量也可能并不反映 后果对决策人的真正价值。
3.1 引言
例3.1 考虑钱对同一个人的价值。
3.2 效用的定义和公理系统
3.2.1 效用的定义 3.2.2 效用存在性公理 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用
3.2.1 效用的定义
效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时 所感受到的满足程度.
在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。
3.2.2 效用存在性公理
定义3.1给出了效用函数的最基本性质，这就 是可以根据它的大小来判断展望P的优劣。
但是这样的效用函数是否一定存在呢?回答是 不一定。
至于决策人的价值判断在满足什么条件时存在 与之一致的效用函数，von NeumannMorgenstern (1944)给出了效用的存在性公理 ，又称理性行为公理。
特征: (1) 无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线，其斜 率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为了获得同样的 满足程度，增加一种商品消费时就必须放弃或减少另一种商品的 消费。 (2) 两种商品在消费者偏好不变的条件下，不能同时减少或增多。 在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差异曲线代表同 样的满足程度，不同的无差异曲线代表不同的满足程度，离原点 越远，满足程度越大，反之则越小。 (3) 在同一平面图上，任意两条无差异曲线不能相交，否则与第二 点矛盾。
4．用解析函数近似效用曲线
为了分析和运算方便，分析人员通常希 望能够用某种解析函数式u(x)来近似地表 达效用。
常用的函数有幂函数和对数函数.
3.4 风险与效用
3.4.1 风险的含义 3.4.2 效用函数包含的内容 3.4.3 相对风险态度
3.4.1 风险的含义
风险包含有两个方面的内容:
3.3 效用函数的构造
1．估计效用函数值的方法 2．离散型后果的效用设定 3．连续型后果的效用函数构造 4．用解析函数近似效用曲线
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别 ；但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最 优后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率 当量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损 失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只 要有可能，应该尽可能使用概率当量法。
3．连续型后果的效用函数构造
当后果c为连续变量时，上述方法就不再 适用。
但是如果能通过分析找到u(c)的若干特征 值，求特征点的效用后，再连成光滑曲 线；
或者u(c)是连续、光滑的,则可以分段构 造u(c)。
每天学习时间与效用
•随着学习时间的增加，效用值也会有所增加 •但是由于进入状态需要一定的时间，所以在t较小时，效用的增加较慢； •过了一小段时间后，效用与所化时间基本上是线性关系； •随着学习时间的不断增加，人会疲劳，效率会下降； •时间太长，这时的效果不如时间适度，即存在效用值最大的点tm； •再增加学习时间又会从效用最大值处下降。其中与效用最大值对应的tm是因人 而异。 •由于效用函数的惟一性(即在正线性变换下惟一，见效用的公理化定义)，效用的 值域可以是整个实轴，而不必限于[0,1]区间。
第三步:询问决策人，无雨看电视这种后果与去球场看
Байду номын сангаас
球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是0.6，
则c40.4c2+0.6c1，得u (c4)＝0.4c2＝0.4。
第四步:
进行一致性校验。c30.4c2+0.6c4，则
u’(c3)=0.64≠0.7。重复二、三，若u(c3)不变，则调整
u(c4)=0.5，决策人仍认为c30.4c2+0.6c4，则通过校验。