2013考研数学三真题及答案

2013考研数三真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）
（A ）)()(3
2
x o x o x =⋅ （B ）)()()(3
2
x o x o x o = （C ）)()()(2
2
2
x o x o x o =+ （D ）)()()(2
2
x o x o x o =+
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2
3
3
2
x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是
)(2x o 故应该选（D ）．
2．函数x
x x x x f x
ln )1(1)(+-=
的可去间断点的个数为（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e
x x
x x
ln ~11ln -=-，
1ln ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
==+-=→→→x x x x x x x x x f x x
x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．
2
1
ln 2ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
1
1
=
=+-=→→→x
x x
x x
x x x x f x x
x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x
x x x x
x x x x f x x x x ln )1(ln lim
ln )1(1lim
)(lim 1
1
1
，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的
可去间断点．
故应该选（C ）．
３．设k D 是圆域{
}
1|),(2
2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=k
D k dxdy x y I )(，则
（ ）
（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
()πππ
πππθθθ
θθθθθ22
1
2211
02
22
)1(|cos sin 3
1
)sin (sin 31)cos (sin )(k k k
k k
k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-
=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰
所以ππ3
2
,32,04231-==
==I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a 收敛；
（B ）若
∑∞
=--11
)
1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；
（C ）若
∑∞
=1
n n
a
收敛．则存在常数1>P ，使n p
n a n ∞
→lim 存在；
（D ）若存在常数1>P ，使n p
n a n ∞
→lim 存在，则
∑∞
=1
n n
a
收敛．
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞
→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，
选项（B ）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价． （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价． （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价． （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价．
【详解】把矩阵A ，C 列分块如下：()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121ΛΛ==，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i ΛΛ=+++=αααγ，得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示．同时由于B 可逆，即1
-=CB A ，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价．应该选（B ）．
6．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件是
（A ）2,0==b a （B ）0=a ，b 为任意常数 （C ）0,2==b a （D ）2=a ，b 为任意常数
【详解】注意矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 是对角矩阵，所以矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00000002b 相
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
)22)2((1
1
1
1
22a b b a
a b a
a
A E -++--=---------=-λλλλλλλ
从而可知b a b 2222
=-，即0=a ，b 为任意常数，故选择（B ）．
7．设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2
3221N X N X N X ，
{}22≤≤-=i i X P P ，则
（A ）321P P P >> （B ）312P P P >> （C ）123P P P >> （D ）231P P P >> 【详解】若),(~2
σμN X ，则
)1,0(~N X σ
μ
-
1)2(21-Φ=P ，{}1)1(212122222-Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤-=≤≤-=X P X P P ，
{}())13737)1(3523535222333Φ-⎪⎭⎫
⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ--Φ=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ，
=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-⎪⎭
⎫
⎝⎛Φ+．
故选择（A ）．
8．设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为
则{}==+2Y X P （ ） （A ）
121 （B ）81 （C ）61 （D ）2
1 【详解】
{}{}{}{}6
12412411211,30,21,12=++=
-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ，故选择（C ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．设曲线)(x f y =和x x y -=2
在点()0,1处有切线，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以
2)1('22222)
1(221lim 2lim -=-=-+⋅
+--⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→f n
n n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x
=+确定，则
=∂∂)2,1(|x
z
． 【详解】 设
()xy
y z z y x F x -+=)(,,，
则
()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，
当2,1==y x 时，0=z ，所以
2ln 22|)2,1(-=∂∂x
z
． 11．
=+⎰
∞+x d x x
1
2
)1(ln ．
【详解】
2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )
1(ln 11111
2=+=+++-=+-=+∞
+∞+∞+∞+∞
+⎰⎰⎰
x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程04
1
=+
'-''y y y 的通解为． 【详解】方程的特征方程为04
1=+-λλr
，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通
解为2
21)(x
e x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．
13．设()
ij a A =是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足
)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，则A =．
【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+T
A A ，其中*A 为A 的伴随矩阵，从
而可知
A A
A A T -===-1
3**，所以A 可能为1-或0．
但由结论⎪⎩
⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知，0*=+T
A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只
能为3，所以.1-=A
14．设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ，则()
=X
Xe
E 2． 【详解】
()
=
X Xe E 2dx e
x e dx e
x dx e
xe x x x x
⎰⎰
⎰
∞+∞
---
∞+∞
-+--
∞+∞
--
+-=
=2
)2(2
22
)2(2
22
2
2
)22(2221π
π
π
22222222)(222
2
e e X E e dt e dt te e t t =+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞+∞--∞+∞--π． 所以为2
2e ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小，求常数n a ,． 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【
详
解
】
当
→x 时，
)(2
11cos 22
x o x x +-
=，)
(21)()2(21
12cos 2222x o x x o x x +-=+-=，
)(2
9
1)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，
所
以
)(7))(2
9
1))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+-
-=-，
由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小，所以2,7==n a ． 16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3
x y =
，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x
轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知
πππ35
3
202
5
3
a dx x dx y V a a
x ===⎰
⎰；
πππ37
3
40
7
6
2)(2a dx x dx x xf V a a
y ===⎰
⎰；
由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）
设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2
．
【详解】
3
416
83
6
2
2
33
2
2
2
222
1
=
+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-x
x x x D D D
dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,1000
60Q
P -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】
（1）设利润为y ，则60001000
40)206000(2
--
=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.500
40'Q y -
= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．
经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20． （3）令0'=y ，得.4010000
20000
60,20000=-==P Q
19．（本题满分10分）
设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞
→x f x ，证明
（1）存在0>a ，使得();1=a f
（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得a
f 1)('=ξ． 【详解】
证明（1）由于2)(lim =+∞
→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有
2
5)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f
（2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得a
a f a f f 1
)0()()('=-=ξ．
20．（本题满分11分）
设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B a A 110,011，问当b a ,为何值时，存在矩阵C ，使得B CA AC =-，并求出
所有矩阵C ．
【详解】
显然由B CA AC =-可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=4321
x x
x x C ， 则B CA AC =-变形为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 110324314213
2， 即得到线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=++-=+-b
ax x x x x ax x ax ax x 324314
2132110
，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
()⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----=b a a b a a
a a
b A 000010000001011101
01011
1011010010|，
所以，当0,1=-=b a 时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得B CA AC =-．
此时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--→00
0000000000110
11101
|b A ， 所以方程组的通解为⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100101110001214321C C x x x x x ，也就是满足B CA AC =-的矩阵
C 为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-++=2112
11C C C C C C ，其中21,C C 为任意常数．
21．（本题满分11分） 设
二
次
型
2
3322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=．记
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,b b b a a a βα．
（1）证明二次型f 对应的矩阵为 T
T
ββαα+2；
（2）若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 2
22
12y y +． 【详解】证明：（1）
()()()()()()()()
()(
)
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++=3213213213213213213213213213213213213213212
33221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T
T T
T
ββααββαα
所以二次型f 对应的矩阵为 T
T ββαα+2．
证明（2）设=A T
T
ββαα+2，由于0,1==αβαT
则(
)ααββα
ααββααα2222
=+=+=T T
T A ，
所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量；
()
ββββααβββααβ=+=+=2
22T T T A ，所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向
量；
而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T
T
T
T
r r r A r ββααββαα，所以03=λ也是矩阵的一个特征值．
故f 在正交变换下的标准形为 2
22
12y y +． 22．（本题满分11分）
设()Y X ,是二维随机变量，X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=其他
,01
0,3)(2x x x f X ，在给定
)10(<<=x x X 的条件下，Y 的条件概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧<<=其他,0,0,3)/(3
2
x y x y x y f X
Y ． （1）求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,； （2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ．
【详解】（1）()Y X ,的联合概率密度()y x f ,：
()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<<<=⋅=其他,00,10,9)()/(,2
x y x x y x f x y f y x f X X
Y
（2）Y 的的边缘概率密度)(y f Y ：
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-===⎰⎰∞+∞
-其他,010,ln 99),()(212
y y y dx x y dx y x f y f y
Y 23．（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00
,);(32x e x x f x θ
θθ，其中θ为为未知参数且大于零，
n X X X Λ,21为来自总体X 的简单随机样本．
（1）求θ的矩估计量； （2）求θ的极大似然估计量．
【详解】（1）先求出总体的数学期望E （X ）
θθθ
===⎰
⎰
∞+-
∞+∞
-0
2
2
)()(dx e x
dx x xf X E x ，
令∑===n n i X n X X E 11)(，得θ的矩估计量∑=∧==n
i i X n X 1
1θ．
（2）当),2,1(0n i x i Λ=>时，似然函数为
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==-∑
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛==∏∏n i i i
x n i i n
n
i x
i e x e x L 113121
32
)(θθ
θθθ，
取对数，∑∑==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n
i i n i i x x
n L 1
1ln 31
ln 2)(ln θθθ， 令0)(ln =θθd L d ，得0121=-∑=n i i
x n θ，
解得的极大似然估计量为．。