弹塑性力学第三章

§ 3-1
多项式解答
a 3 b 2 例题1 试检验函数 y y 6 2
能否作为
应力函数?若能，求出应力分量（不计体 力），并画出如图 （ a ） 所示杆件的面力，指 出该应力函数所能解的问题。
O
x
l
y l
h
1
2
2
§ 3-1
多项式解答
解：满足双调和方程，能作为应力函数
y xy 0, x ay b
2c
y
图 3-1c
2c
§ 3-1
多项式解答
三、三次式
ay 3
a 0
相容方程（2-27）总能满足。
x 6ay, y 0, xy yx 0


M
(a)
h
h 2
y
M
x
x
h 2
x图
y
1
l
图 3 2
可见，此应力函数能解决矩形梁纯弯曲问题。
§ 3-1
多项式解答


M
h
M
2 2
x 图
x
y
y
l
h
x
1
h
图3-3
Φ ay
3
上节已推出:
x 6ay, y 0, xy 0
6a y dy M
2 h 2 h 2
将其代入，上面二式成为：
6a ydy 0
h 2 h 2
2M 前一式总能满足，而后一式要求： a 3 h
1 h 3 因为梁截面的惯性矩是 I ，所以上式可改写 12
q q q 3q , D , E . A 3 , C 5h 10h 4 4h
q 3 2 x 3 h 6x2 4 y 2 y h 5 q 3 y 4 y3 y 1 3 2 h h 3 q 4 y2 xy 1 2 x 2 h h
2Φ y 2 0 x
h 2 h 2
xy dy
6ky 3k 3 dy 2h h
h 2
2ky 3 3ky k 3 h h 2 h
2
2Φ xy xy 6ky 2 3k 3 h 2h
12 M x 3 y, y 0, xy yx 0 代入式（a），得： h
M x y, y 0, xy yx 0 I 结果与材料力学中完全相同。 对于长度l 远大于深度h 的梁，上面答案 是有实用价值的；对于长度l与深度h 同等大 小的所谓深梁，这个解答是不准确的。
§ 3-1
多项式解答
小结 逆解法的步骤： 先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数，求 出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各 种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的 面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问 题。
§3-2 位移分量的求出
平面应力状态的纯弯曲梁
M M x y, y y, xy 0 EI EI
u M v M u v y, y, 0 EI x EI y x y
M u EI xy f1 ( y ) M 2 v y f 2 ( x) 2 EI
(a)
(b)
(c )
§3-2 位移分量的求出
df 2 ( x ) M df1 ( y ) x 0 dx EI dy
2
k O l y
kl h k x
结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。
k
矩形梁的纯弯曲


M
h
M
2 2
x 图
x
y
y
l
h
x
1
h
Φ ay
3
图3-3
如图,设有矩形截面的长梁(l 远大于h),取 单位厚度的梁来考察。并命每单位厚度上的力 偶矩为M 。 这里M 的量纲是[力][长度]/[长 度]，即[力]。
§3-2 位移分量的求出
代入式（d），得出该悬臂梁的位移分量：
M l x y u EI M 2 M 2 l x y v 2 EI 2 EI
右边界（次要边界） x l :


h 2 h 2
x dy
ຫໍສະໝຸດ Baidu
h 2 h 2
12kly dy 0 3 h
2
k O
l
h
kl k x
y
h 3 2 h 2
h 2 h 2
x ydy
h 2 h 2
12kly 12kly dy 3 3h 3 h
kl
2Φ 12kxy x 2 3 y h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-1 多项式解答 §3-2 位移分量的求出 §3-3 简支梁受均布荷载 §3-4 楔形体受重力和液体压力 §3-5 级数式解答 §3-6 简支梁受任意横向荷载
§ 3-1 多项式解答
逆解法在求出几个简单平面问题的多项式解答。假 定体力可以不计，也就是 fx=fy=0。 一、一次式
§3-2 位移分量的求出
♦ 梁的各纵向纤维的曲率是
2v M 2 x EI 1
(3 2)
这是材料力学里求梁的挠度所用的基本公式。
§3-2 位移分量的求出
例1
M
O
M
x
A
l
y
图3 3 a
(u ) x 0 0 ,
y0
(v ) x 0 0 ,
y0
(v ) x l 0
显然可得上下边界无面力作用。
左边界（次要边界）

h 2 h 2
x dy
h 2 h 2
12kxy dy 0 3 h
h 2 h 2
k O
l
h
x
y


h 2 h 2
x ydy
h 2 h 2
12kxy dy 0 3 h
2
2
2Φ 12kxy x 2 3 y h
左右两边： f x 0, f y b 上下两边： f x b, f y 0 可见，应力函数 bxy 能解决矩形板受均布剪 力的问题。
b
y
b
x
图 3-1b
§ 3-1
多项式解答
♦ 同理，应力函数
cy 2
c 0
O
能解决矩形板在 x 方向受 均布拉力（设 c> 0 ）或均 布压力 （设 c < 0 ） 的问 题，图3-1c 。
为：
§ 3-1
多项式解答
思考题 如下图所示悬臂梁，承受均布荷载q的 作用。试检验函数
Ay 5 Bx 2 y 2 C y 3 D x 2 Ex 2 y
能否作为应力函数？并求出各系数及应力分量。
y q
h
O l
x
1
§ 3-1
多项式解答
解:
当 B 5 A 时可作为应力函数。
2M a 3 h
b
§ 3-1
多项式解答
♦ 应当指出，组成梁端力偶的面力必须按直线分 布，解答（3-1）才是完全正确的。如果梁端的面力 按其他方式分布，解答（3-1）是有误差的。但是， 按照圣维南原理，只在梁的两端附近有显著的误 差；在离开梁段较远之处，误差是可以不计的。 ♦ 由此可见，对于长度远大于深度的梁，解答（31 ）是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的 所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。
df 1 ( y ) df 2 ( x ) M x dy dx EI
df1 ( y ) , dy df 2 ( x) M x dx EI
f1 ( y ) y u 0 M f2 ( x) x 2 x v0 2 EI
§3-2 位移分量的求出
§ 3-1
多项式解答
二、二次式
ax 2 bxy cy 2
相容方程（2-27）总能满足。
2a
O
(1) ax 2
a 0
y 2a, xy yx 0
2a
x 0,
x
左右两边： f x 0, f y 0 下上两边： f x 0, f y 2a

M

h
M
2 2
x 图
x
y
y
l
h
x
1
h
Φ ay
3
图3-3
在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而 力偶的矩为M ，这就要求：

h 2 h 2
x dy 0, x ydy M
h 2 h 2

h 2 h 2 h 2 h 2
x dy 0 x ydy M
2
2 2Φ 12kxy Φ x 2 3 y 2 0 y h x 2Φ 6ky 2 3k 3 xy xy h 2h
O l y
h x
(2)边界条件：

上下边界
y y h 2
0
2

xy y h 2
h 6k 3k 2 0 3 h 2h
y0
u0 0 ,
v0 0 ,
Ml l v0 0 2 EI
2
§3-2 位移分量的求出
M l u x y EI 2 M M 2 v y (l x) x 2 EI 2 EI
梁的挠度方程是
3 3
v y 0
a bx cy
相容方程（2-27）总能满足
x 0, y 0, xy yx 0
fx f y 0
§ 3-1
多项式解答
于是可见 ： (1)线性应力函数对应于无体力、无面力、无应 力的状态； (2)把平面问题的应力函数加上一个线性函数， 并不影响应力。
M l x x 2 EI
和材料力学的结果相同。
§3-2 位移分量的求出
例2
M
M
O
x l y
图3 3 b
v v x l 0, 0 u xy l 0, 0 y 0 l x x y 0 Ml 2 Ml l v0 0, 0 u0 0, 2 EI EI 2 Ml Ml , u0 0 , v0 EI 2 EI
取单位宽度的梁来考察，命每单位宽度上力偶 的矩为 M ，则
h 2 h 2 h 2 h 2

x dy 0,

x ydy M
h 2 h 2 2
6a ydy 0,
h 2 h 2
6a y dy M
12 M M x 3 y y, y 0, xy yx 0 h I
2kxy 3kxy Φ 3 2h h
解： (1)代入相容方程,可得
4 4 4
3
O l y
h x
Φ Φ Φ 2 2 2 4 0 满 足 4 x x y y
(2) 应力分量
Φ 12kxy x 2 3 y h
2 2 2 Φ 6 ky 3k Φ 3 y 2 0 xy xy h 2h x
2Φ y 2 0 x

h 2 h 2
xy dy
h 2 h 2
6ky 2 3k 3 dy 2h h
h 2
2Φ xy xy 6ky 2 3k 3 h 2h
2ky 3 3ky h 3 2h h k
面力如图（b）所示。
b
ah 2
e
ah b 2
N
ah h 2 1 3 M m wz ah 2 6 12 FN N A bh
M ha e FN 12b
2
能解决偏心距为e的轴向拉伸问题。
例：图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计， 厚度取1个单位。试证以下函数是应力函数，并 指出能解决什么问题。式中k为常数。
M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
♦ 考察铅直线段的转角
(d )
u M x y EI
在同一个截面上，x是常量，因而 也是常
量。于是可见，同一个横截面上的个铅直线段的 转角相同，说明横截面保持为平面。
y
图 3-1 a
§ 3-1
多项式解答
可见，应力函数 ax 能
2
2a
O
解决矩形板在y方向受均布 拉力（设a > 0）或均布压 力（设a < 0）的问题。
2a
y 图 3-1a
x
§ 3-1
多项式解答
(2) bxy
b 0
b b
O
x 0, y 0, xy yx b