牛顿定律的应用

y
3.得解
mg
(1
k0t
em
)
k0
由 dy
dt
（同学自解）
y(t)
1
例2 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 υ0 向上运动，
从时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常
量，粒子质量为 m 。
y
求 粒子的运动轨迹。
解 水平方向有
ax
dv x dt
Fx F0t max
例1 考虑空气阻力的落体运动（变力 直角坐标系）
已知：m, t 0,0 0
求： (t), y(t)
f阻力 k0
k0 0
o
f
解 第一步：画质点m的受力图
m
第二步：列牛顿定律方程（原理式）
mg
k0
m
d
dt
第三步：解上述微分方程
1.分离变量
2.两边分别积分
d
t
dt
0 g k0
t0
m
mg
l
T mg 2mg
T mg 2mg
T 3mg
5
例4 绞盘可以使人通过绳子用很小的力拉住很大张力作
用下的物体。
设绳子承受的巨大拉力TA，
绳子与圆柱间的摩擦系数为， 绳子绕圆柱的张角为。
o
B
A
试求人拉绳子的力TB。
TA
分析：
TB
• 靠静摩擦实现用小力拉大力。 • 绳子质量不能忽略 不同质量处张力不同 • 质量连续体怎么使用牛顿第二定律？分解成许多质量元，对每 个质量元分别使用定律。
v0
v 0
x
dv
x
t F0t dt 0m
vx
F0t 2 2m
dx dt
x
dx
t F0t 2 dt
0
0 2m
m F (t)
x
o
x F0 t3 6m
竖直方向有 运动轨迹为
2
Fy may 0
x
F0
6mv
3 0
y3
y v0t
例3 单摆在垂直面内摆动（变力自然坐标系）
已知：m, l , t =0, v0=0，水平方向。
v dv2
2gl
cos d
0
0
v 2 2gl sin
4
讨论
T 3mg sin
at g cos
an 2g sin
1）上述结果是普遍解， 适用于任意位置。
2）如特例：
lm
T aarn
T
mg at mg
2
T 3mg at 0 an 2g
中学时会解 牛顿定律 机械能守恒
T mg m 2
求: 绳中的张力 T 和加速度 a
解： T mg sin man ( 1)
mg cos mat (2)
运动学关系式
2
2 2gl sin ? an l (3)
lm
aarn
T
at mg
得 T 3mg sin
at g cos
3
an 2g sin
a an2 at2 g 1 3sin2
dv d t
f v M t
dt
v
t
0 d(ln( f v )) 0d(ln(M t))
ln f v ln M t
f
M
v f ( M 1)
M t
8
arctan an arctan 2g sin
at
g cos
由 mg cos mat (2)
及第一章的切向加速度公式
at
dv dt
lm
arn T a
at mg
圆周运动公式
d , v = d
dt
dt
l
g cos dv dv d dv dt d dt d
gl cos dv v = 1 dv 2 d 2 d
6
解：任取一质量元dm
(T dT ) d T d dN 0
22
化简
df (T dT ) T 0
Td dN 0 (1)
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dT
d df dN
d
T
2
df dT ( 2)
Td dT
df dN (3) Td dT dT d
T
TB dT d
T TA
0
TB TAe
讨论
TB
7
例5 装沙子后总质量为M 的车由静止开始运动，运动过程
中合外力始终为 f ，每秒漏沙量为 。
求 车运动的速度。
解 取车和沙子为研究对象，地面参考系，t = 0 时 v = 0
f d (mv ) dmv m dv
f
dt
dt
dt
m
f m dv v
x
mM t
f
v
dt (M
t) dv